🎓 10. Sınıf
📚 10. Sınıf Matematik
💡 10. Sınıf Matematik: Fonksiyon olma şartı Çözümlü Örnekler
10. Sınıf Matematik: Fonksiyon olma şartı Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Bir A kümesi \( \{1, 2, 3\} \) ve bir B kümesi \( \{a, b, c, d\} \) olarak verilsin.
A kümesinden B kümesine tanımlanan aşağıdaki bağıntılardan hangisinin fonksiyon belirtip belirtmediğini inceleyiniz.
\( f = \{ (1, a), (2, b), (3, c) \} \)
\( g = \{ (1, a), (2, a), (3, d) \} \)
\( h = \{ (1, a), (2, b), (1, c) \} \)
A kümesinden B kümesine tanımlanan aşağıdaki bağıntılardan hangisinin fonksiyon belirtip belirtmediğini inceleyiniz.
\( f = \{ (1, a), (2, b), (3, c) \} \)
\( g = \{ (1, a), (2, a), (3, d) \} \)
\( h = \{ (1, a), (2, b), (1, c) \} \)
Çözüm:
Fonksiyon olmanın temel şartlarını hatırlayalım:
✅ Bağıntı f:
✅ Bağıntı g:
✅ Bağıntı h:
- Tanım kümesindeki her elemanın değer kümesinde yalnız bir karşılığı olmalıdır.
✅ Bağıntı f:
- Tanım kümesi A'daki 1 elemanı B'de 'a'ya eşlenmiş.
- Tanım kümesi A'daki 2 elemanı B'de 'b'ye eşlenmiş.
- Tanım kümesi A'daki 3 elemanı B'de 'c'ye eşlenmiş.
✅ Bağıntı g:
- Tanım kümesi A'daki 1 elemanı B'de 'a'ya eşlenmiş.
- Tanım kümesi A'daki 2 elemanı B'de 'a'ya eşlenmiş.
- Tanım kümesi A'daki 3 elemanı B'de 'd'ye eşlenmiş.
✅ Bağıntı h:
- Tanım kümesi A'daki 1 elemanı hem B'de 'a'ya hem de 'c'ye eşlenmiş.
Örnek 2:
Tanım kümesi \( A = \{-1, 0, 1\} \) ve değer kümesi \( B = \{0, 1, 2\} \) olan bir \( f: A \to B \) fonksiyonu için \( f(x) = x^2 + 1 \) kuralı veriliyor.
Bu kuralın bir fonksiyon belirtip belirtmediğini kontrol ediniz.
Bu kuralın bir fonksiyon belirtip belirtmediğini kontrol ediniz.
Çözüm:
Fonksiyon olmanın temel şartı, tanım kümesindeki her elemanın değer kümesinde tek bir karşılığının olmasıdır. \( f(x) = x^2 + 1 \) kuralını tanım kümesindeki elemanlar için uygulayalım:
Değer kümesi \( B = \{0, 1, 2\} \) idi.
- \( f(-1) = (-1)^2 + 1 = 1 + 1 = 2 \)
- \( f(0) = (0)^2 + 1 = 0 + 1 = 1 \)
- \( f(1) = (1)^2 + 1 = 1 + 1 = 2 \)
Değer kümesi \( B = \{0, 1, 2\} \) idi.
- -1 elemanı 2'ye eşlenmiş ve 2, B kümesindedir.
- 0 elemanı 1'e eşlenmiş ve 1, B kümesindedir.
- 1 elemanı 2'ye eşlenmiş ve 2, B kümesindedir.
Örnek 3:
\( f: \mathbb{R} \setminus \{2\} \to \mathbb{R} \) olmak üzere, \( f(x) = \frac{x+1}{x-2} \) kuralı veriliyor.
Bu kuralın bir fonksiyon olup olmadığını inceleyiniz.
Bu kuralın bir fonksiyon olup olmadığını inceleyiniz.
Çözüm:
Bir fonksiyonun tanımlı olabilmesi için tanım kümesindeki her elemanın değer kümesinde bir karşılığının olması gerekir. Özellikle rasyonel ifadelerde paydanın sıfır olmaması esastır. 🤔
Verilen fonksiyonun tanım kümesi \( \mathbb{R} \setminus \{2\} \) olarak belirtilmiş.
Bu şu anlama gelir: Reel sayılardan ( \( \mathbb{R} \) ) sadece 2 sayısı çıkarılmıştır. Yani tanım kümesinde 2 sayısı bulunmamaktadır.
Fonksiyon kuralı \( f(x) = \frac{x+1}{x-2} \) şeklindedir.
Eğer tanım kümesinde 2 sayısı olsaydı, paydayı sıfır yapacağı için fonksiyon tanımsız olurdu. Ancak tanım kümesi bu sayıyı zaten dışladığı için, tanım kümesindeki her eleman için kural geçerli olacaktır.
👉 Sonuç: Tanım kümesindeki hiçbir eleman, paydadaki \( x-2 \) ifadesini sıfır yapmaz. Dolayısıyla, verilen kural bir fonksiyondur. 👍
Verilen fonksiyonun tanım kümesi \( \mathbb{R} \setminus \{2\} \) olarak belirtilmiş.
Bu şu anlama gelir: Reel sayılardan ( \( \mathbb{R} \) ) sadece 2 sayısı çıkarılmıştır. Yani tanım kümesinde 2 sayısı bulunmamaktadır.
Fonksiyon kuralı \( f(x) = \frac{x+1}{x-2} \) şeklindedir.
Eğer tanım kümesinde 2 sayısı olsaydı, paydayı sıfır yapacağı için fonksiyon tanımsız olurdu. Ancak tanım kümesi bu sayıyı zaten dışladığı için, tanım kümesindeki her eleman için kural geçerli olacaktır.
👉 Sonuç: Tanım kümesindeki hiçbir eleman, paydadaki \( x-2 \) ifadesini sıfır yapmaz. Dolayısıyla, verilen kural bir fonksiyondur. 👍
Örnek 4:
\( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) olmak üzere, \( f(x) = \sqrt{x-3} \) kuralı veriliyor.
Bu kuralın bir fonksiyon belirtip belirtmediğini inceleyiniz.
Bu kuralın bir fonksiyon belirtip belirtmediğini inceleyiniz.
Çözüm:
Kök içindeki ifadenin negatif olmaması gerekir. Çünkü reel sayılarda negatif sayıların karekökü tanımsızdır. 😟
Fonksiyonun tanım kümesi \( \mathbb{R} \) olarak verilmiş. Bu, tüm reel sayıların tanım kümesinde olduğu anlamına gelir.
Fonksiyon kuralı \( f(x) = \sqrt{x-3} \) şeklindedir.
Fonksiyonun tanımlı olabilmesi için kök içindeki \( x-3 \) ifadesinin sıfırdan büyük veya eşit olması gerekir.
\( x-3 \ge 0 \implies x \ge 3 \)
Bu durumda, tanım kümesindeki tüm reel sayılar için fonksiyon tanımlı değildir. Örneğin, tanım kümesinde bulunan \( x=0 \) değeri için \( f(0) = \sqrt{0-3} = \sqrt{-3} \) olur ki bu reel sayılarda tanımsızdır. ❌
👉 Sonuç: Tanım kümesindeki bazı elemanlar (örneğin 3'ten küçük tüm reel sayılar) için fonksiyonun karşılığı reel sayılarda bulunmamaktadır. Bu nedenle, verilen kural bir fonksiyon belirtmez. 👎
Fonksiyonun tanım kümesi \( \mathbb{R} \) olarak verilmiş. Bu, tüm reel sayıların tanım kümesinde olduğu anlamına gelir.
Fonksiyon kuralı \( f(x) = \sqrt{x-3} \) şeklindedir.
Fonksiyonun tanımlı olabilmesi için kök içindeki \( x-3 \) ifadesinin sıfırdan büyük veya eşit olması gerekir.
\( x-3 \ge 0 \implies x \ge 3 \)
Bu durumda, tanım kümesindeki tüm reel sayılar için fonksiyon tanımlı değildir. Örneğin, tanım kümesinde bulunan \( x=0 \) değeri için \( f(0) = \sqrt{0-3} = \sqrt{-3} \) olur ki bu reel sayılarda tanımsızdır. ❌
👉 Sonuç: Tanım kümesindeki bazı elemanlar (örneğin 3'ten küçük tüm reel sayılar) için fonksiyonun karşılığı reel sayılarda bulunmamaktadır. Bu nedenle, verilen kural bir fonksiyon belirtmez. 👎
Örnek 5:
Bir teknoloji mağazasında satılan akıllı telefonların modelleri ve bu modellere karşılık gelen satış fiyatları aşağıda verilmiştir.
Modeller: \( \{A, B, C, D\} \)
Fiyatlar (TL): \( \{15000, 18000, 15000, 20000\} \)
Bu durum bir fonksiyon olarak ifade edilebilir mi? Açıklayınız.
Modeller: \( \{A, B, C, D\} \)
Fiyatlar (TL): \( \{15000, 18000, 15000, 20000\} \)
Bu durum bir fonksiyon olarak ifade edilebilir mi? Açıklayınız.
Çözüm:
Bu durumu bir fonksiyon olarak ifade edip edemeyeceğimizi anlamak için fonksiyonun temel şartlarını gözden geçirelim:
👉 Sonuç: Tanım kümesindeki her modelin değer kümesinde (fiyatlar) tek bir karşılığı olduğu için, bu durum bir fonksiyon olarak ifade edilebilir. ✅
- Tanım kümesindeki her elemanın değer kümesinde yalnız bir karşılığı olmalıdır.
- Tanım Kümesi: Akıllı telefon modelleri \( \{A, B, C, D\} \)
- Değer Kümesi: Satış fiyatları \( \{15000, 18000, 15000, 20000\} \)
- Model A'nın fiyatı 15000 TL.
- Model B'nin fiyatı 18000 TL.
- Model C'nin fiyatı 15000 TL.
- Model D'nin fiyatı 20000 TL.
👉 Sonuç: Tanım kümesindeki her modelin değer kümesinde (fiyatlar) tek bir karşılığı olduğu için, bu durum bir fonksiyon olarak ifade edilebilir. ✅
Örnek 6:
Bir öğrencinin girdiği matematik sınavlarından aldığı notlar ve bu notların derse göre durumu aşağıdaki gibidir:
Dersler: \( \{\text{Matematik}, \text{Fizik}, \text{Kimya}, \text{Biyoloji}\} \)
Notlar: \( \{85, 70, 85, 90\} \)
Bu durum bir fonksiyon mudur? Neden?
Dersler: \( \{\text{Matematik}, \text{Fizik}, \text{Kimya}, \text{Biyoloji}\} \)
Notlar: \( \{85, 70, 85, 90\} \)
Bu durum bir fonksiyon mudur? Neden?
Çözüm:
Fonksiyon olmanın en önemli kuralı, tanım kümesindeki her elemanın değer kümesinde tek bir karşılığının olmasıdır. 🤔
Bu örnekte:
👉 Sonuç: Tanım kümesindeki her dersin değer kümesinde tek bir karşılığı olduğu için, bu durum bir fonksiyondur. ✅
Bu örnekte:
- Tanım Kümesi: Dersler \( \{\text{Matematik}, \text{Fizik}, \text{Kimya}, \text{Biyoloji}\} \)
- Değer Kümesi: Alınan notlar \( \{85, 70, 85, 90\} \)
- Matematik dersinden alınan not 85.
- Fizik dersinden alınan not 70.
- Kimya dersinden alınan not 85.
- Biyoloji dersinden alınan not 90.
- Matematik dersi 85 notuna eşlenmiş.
- Fizik dersi 70 notuna eşlenmiş.
- Kimya dersi 85 notuna eşlenmiş.
- Biyoloji dersi 90 notuna eşlenmiş.
👉 Sonuç: Tanım kümesindeki her dersin değer kümesinde tek bir karşılığı olduğu için, bu durum bir fonksiyondur. ✅
Örnek 7:
\( f: A \to B \) fonksiyonu için \( A = \{x \in \mathbb{Z} \mid -2 < x \le 3\} \) ve \( f(x) = 2x - 1 \) olarak veriliyor.
Eğer \( f \) bir fonksiyon ise, değer kümesi \( B \) en az hangi elemanları içermelidir?
Eğer \( f \) bir fonksiyon ise, değer kümesi \( B \) en az hangi elemanları içermelidir?
Çözüm:
Öncelikle tanım kümesi \( A \) 'yı oluşturan tam sayıları belirleyelim.
\( -2 < x \le 3 \) koşulunu sağlayan tam sayılar: \( -1, 0, 1, 2, 3 \).
Yani, \( A = \{-1, 0, 1, 2, 3\} \).
Şimdi bu elemanları \( f(x) = 2x - 1 \) kuralına göre değer kümesindeki karşılıklarını bulalım:
Bir \( f: A \to B \) fonksiyonunda, değer kümesi \( B \), tanım kümesindeki her elemanın görüntüsünü (karşılığını) içermelidir. Bu bulduğumuz değerler \( f \)'nin görüntü kümesidir.
👉 Sonuç: Fonksiyonun bir fonksiyon olabilmesi için, değer kümesi \( B \), en azından bu görüntüleri içermelidir. Dolayısıyla, \( B \) kümesi en az \( \{-3, -1, 1, 3, 5\} \) elemanlarını içermelidir. 🎯
\( -2 < x \le 3 \) koşulunu sağlayan tam sayılar: \( -1, 0, 1, 2, 3 \).
Yani, \( A = \{-1, 0, 1, 2, 3\} \).
Şimdi bu elemanları \( f(x) = 2x - 1 \) kuralına göre değer kümesindeki karşılıklarını bulalım:
- \( f(-1) = 2(-1) - 1 = -2 - 1 = -3 \)
- \( f(0) = 2(0) - 1 = 0 - 1 = -1 \)
- \( f(1) = 2(1) - 1 = 2 - 1 = 1 \)
- \( f(2) = 2(2) - 1 = 4 - 1 = 3 \)
- \( f(3) = 2(3) - 1 = 6 - 1 = 5 \)
Bir \( f: A \to B \) fonksiyonunda, değer kümesi \( B \), tanım kümesindeki her elemanın görüntüsünü (karşılığını) içermelidir. Bu bulduğumuz değerler \( f \)'nin görüntü kümesidir.
👉 Sonuç: Fonksiyonun bir fonksiyon olabilmesi için, değer kümesi \( B \), en azından bu görüntüleri içermelidir. Dolayısıyla, \( B \) kümesi en az \( \{-3, -1, 1, 3, 5\} \) elemanlarını içermelidir. 🎯
Örnek 8:
Bir fabrikada üretilen ürünlerin adetleri ve bu ürünlerin üretim maliyetleri arasındaki ilişkiyi gösteren bir grafik çizilmiştir. Grafikte x ekseni ürün adedini, y ekseni ise toplam üretim maliyetini (TL) göstermektedir.
Grafikte, belirli bir ürün adedi için birden fazla farklı maliyet değeri gösterilmiştir.
Bu durum bir fonksiyon olarak adlandırılabilir mi? Nedenini açıklayınız.
Grafikte, belirli bir ürün adedi için birden fazla farklı maliyet değeri gösterilmiştir.
Bu durum bir fonksiyon olarak adlandırılabilir mi? Nedenini açıklayınız.
Çözüm:
Fonksiyon olmanın temel şartı, tanım kümesindeki her elemanın değer kümesinde tek bir karşılığının olmasıdır. 🤔
Bu senaryoda:
Örneğin, 100 adet ürün üretildiğinde maliyetin hem 5000 TL hem de 6000 TL olduğu bir durum düşünelim. Bu, 100 adetlik ürün adedinin hem 5000 TL'ye hem de 6000 TL'ye eşlendiğini gösterir.
Bu durum, fonksiyon olma şartını ihlal eder. ❌
👉 Sonuç: Tanım kümesindeki bir elemanın değer kümesinde birden fazla karşılığı olduğu için, bu durum bir fonksiyon olarak adlandırılamaz. 👎
Bu senaryoda:
- Tanım Kümesi: Üretilen ürün adetleri (x ekseni)
- Değer Kümesi: Toplam üretim maliyetleri (y ekseni)
Örneğin, 100 adet ürün üretildiğinde maliyetin hem 5000 TL hem de 6000 TL olduğu bir durum düşünelim. Bu, 100 adetlik ürün adedinin hem 5000 TL'ye hem de 6000 TL'ye eşlendiğini gösterir.
Bu durum, fonksiyon olma şartını ihlal eder. ❌
👉 Sonuç: Tanım kümesindeki bir elemanın değer kümesinde birden fazla karşılığı olduğu için, bu durum bir fonksiyon olarak adlandırılamaz. 👎
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/10-sinif-matematik-fonksiyon-olma-sarti/sorular