💡 10. Sınıf Matematik: Fonksiyon Nitelikleri Çözümlü Örnekler
10. Sınıf Matematik: Fonksiyon Nitelikleri Çözümlü Örnekler
Bir fonksiyonun tanımı ve gösterimi nasıl yapılır? Aşağıdaki ifadeyi fonksiyon olarak tanımlayın:
"Bir sayının karesi"
- 🔹 Adım 1: Fonksiyon tanımlaması yapalım. "Bir sayının karesi" ifadesi için bağımsız değişken olarak x kullanalım.
- 🔹 Adım 2: Fonksiyonu gösterimi: \( f(x) = x^2 \)
- 🔹 Adım 3: Tanım kümesi: Eğer sınırlama yoksa \( x \in \mathbb{R} \)
- 🔹 Adım 4: Değer kümesi: \( f(x) \geq 0 \) olduğundan \( y \in [0, +\infty) \)
İki fonksiyonun eşit olma koşunu inceleyin. Eğer \( f(x) = 2x + 3 \) ve \( g(x) = 4x - 1 \) fonksiyonları eşitse, x kaçtır?
- 🔹 Adım 1: Fonksiyonları eşitleyelim: \( f(x) = g(x) \)
- 🔹 Adım 2: Eşitlik kurulumu: \( 2x + 3 = 4x - 1 \)
- 🔹 Adım 3: Bilinmeyenleri bir tarafa alalım: \( 3 + 1 = 4x - 2x \)
- 🔹 Adım 4: Çözüm: \( 4 = 2x \) yani x = 2
- 🔹 Adım 5: Kontrol: \( f(2) = 7 \) ve \( g(2) = 7 \) ✓
Bir fonksiyonun bileşke fonksiyon nasıl kurulur? Aşağıdaki fonksiyonlar için \( (f \circ g)(x) \) hesabını yapın:
\( f(x) = 2x - 1 \) ve \( g(x) = x^2 + 3 \)
- 🔹 Adım 1: Bileşke fonksiyon tanımı: \( (f \circ g)(x) = f(g(x)) \)
- 🔹 Adım 2: g(x) fonksiyonunu f fonksiyonuna yerine koyalım
- 🔹 Adım 3: \( f(g(x)) = f(x^2 + 3) \)
- 🔹 Adım 4: f fonksiyonunda x yerine \( x^2 + 3 \) koyuyoruz: \( 2(x^2 + 3) - 1 \)
- 🔹 Adım 5: Dağıtma yasası: \( 2x^2 + 6 - 1 = 2x^2 + 5 \)
- 🔹 Sonuç: \( (f \circ g)(x) = 2x^2 + 5 \)
LGS tarzı problem: Bir fabrikada üretim miktarı (x) arttıkça, birim maliyet (f(x)) azalmaktadır. Bu durumda aşağıdaki ifadelerden hangisi doğrudur?
- A) f(x) = 100/x fonksiyonu artan fonksiyandır
- B) x = 50 olduğunda f(50) = 2'dir
- C) Tanım kümesi x > 100'dür
- D) Değer kümesi y > 50'dir
- 🔹 Adım 1: Verilen fonksiyon: \( f(x) = \frac{100}{x} \)
- 🔹 Seçenek A analizi: \( f(x) = \frac{100}{x} \) fonksiyonu azalan fonksiyandır ❌
- 🔹 Seçenek B analizi: \( f(50) = \frac{100}{50} = 2 \) Doğru ✓
- 🔹 Seçenek C analizi: Tanım kümesi x ≠ 0'dır, x > 100 yanlış ❌
- 🔹 Seçenek D analizi: Değer kümesi y > 0'dır, y > 50 yanlış ❌
- 🔹 Cevap: B şıkkı doğrudur
Günlük hayattan fonksiyon uygulaması: Bir otobüs şoförü, sürüş yaptığı saat sayısının (x) üzerinden yaptığı toplam km'yi hesaplıyor. Saatte ortalama 60 km yaptığını biliyoruz. Bu durumu bir fonksiyon ile ifade edelim ve 8 saatte kaç km yaptığını bulalım.
- 🔹 Adım 1: Bağımsız değişken: x = saat sayısı
- 🔹 Adım 2: Bağımlı değişken: y = toplam km
- 🔹 Adım 3: Fonksiyon ilişkisi: \( f(x) = 60 \times x \)
- 🔹 Adım 4: 8 saatteki yol: \( f(8) = 60 \times 8 = 480 \) km
- 🔹 Adım 5: Doğal olarak saat sayısı arttıkça km de artar, bu fonksiyon artan bir fonksiyondur 📈
İki fonksiyon aynı anda verilmiştir: \( f(x) = 3x - 2 \) ve \( g(x) = x + 4 \). Aşağıdaki ifadelerden hangileri eşit fonksiyonlardır?
- A) (f + g)(x) ve (g + f)(x)
- B) (f - g)(x) ve (g - f)(x)
- C) (f \cdot g)(x) ve (g \cdot f)(x)
- 🔹 Adım 1: (f + g)(x) = \( (3x - 2) + (x + 4) = 4x + 2 \)
- 🔹 Adım 2: (g + f)(x) = \( (x + 4) + (3x - 2) = 4x + 2 \) Aynıdır ✓
- 🔹 Adım 3: (f - g)(x) = \( (3x - 2) - (x + 4) = 2x - 6 \)
- 🔹 Adım 4: (g - f)(x) = \( (x + 4) - (3x - 2) = -2x + 6 \) Farklıdır ❌
- 🔹 Adım 5: (f · g)(x) = \( (3x - 2)(x + 4) = 3x^2 + 10x - 8 \)
- 🔹 Adım 6: (g · f)(x) = \( (x + 4)(3x - 2) = 3x^2 + 10x - 8 \) Aynıdır ✓
- 🔹 Sonuç: A ve C şıkları eşit fonksiyonlardır
Bir fonksiyonun tanım kümesi ve değer kümesi bulunduğunda, fonksiyonun eşdeğeri nasıl bulunur? Aşağıdaki fonksiyon için eşdeğerini bulun:
\( f: \{1, 2, 3, 4\} \rightarrow \{1, 4, 9, 16\} \), \( f(x) = x^2 \)
- 🔹 Adım 1: Fonksiyonun eşdeğeri, aynı gönderim ilişkisini taşıyan farklı bir gösterimdir
- 🔹 Adım 2: Verilen fonksiyonun eşleşmelerini yazalım:
- - 1 → 1 (çünkü \( 1^2 = 1 \))
- - 2 → 4 (çünkü \( 2^2 = 4 \))
- - 3 → 9 (çünkü \( 3^2 = 9 \))
- - 4 → 16 (çünkü \( 4^2 = 16 \))
- 🔹 Adım 3: Eşdeğer fonksiyon gösterimi: \( g = \{(1,1), (2,4), (3,9), (4,16)\} \)
- 🔹 Adım 4: Başka bir eşdeğer: \( h(x) = |x|^2 \) aynı eşleşmeye sahiptir
Bir ikametgah için aylık aidat, konut büyüklüğüne göre değişmektedir. 100 m² için 1500 TL, 150 m² için 2000 TL aidat ödeniyor. Bu durumu doğrusal bir fonksiyon ile modelleyelim ve 200 m² için aidatı bulalım.
- 🔹 Adım 1: Doğrusal fonksiyon formu: \( f(x) = ax + b \)
- 🔹 Adım 2: Bilinen noktalar: (100, 1500) ve (150, 2000)
- 🔹 Adım 3: Eğim hesaplama: \( a = \frac{2000 - 1500}{150 - 100} = \frac{500}{50} = 10 \)
- 🔹 Adım 4: a değerini bulduktan sonra b'yi bulalım:
- \( 1500 = 10 \times 100 + b \)
- \( b = 1500 - 1000 = 500 \)
- 🔹 Adım 5: Fonksiyon: \( f(x) = 10x + 500 \)
- 🔹 Adım 6: 200 m² için: \( f(200) = 10 \times 200 + 500 = 2500 \) TL
- 🔹 Sonuç: 200 m² konut için 2500 TL aidat ödenir 💰
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/10-sinif-matematik-fonksiyon-nitelikleri/sorular