💡 10. Sınıf Matematik: Fonksiyon modeli ile günlük yaşam durumu raporu Çözümlü Örnekler
1
Çözümlü Örnek
Günlük Hayattan Örnek
Bir manav, tanesi 5 TL'den elma satmaktadır. Manavın günlük satışından elde ettiği geliri gösteren fonksiyonu modelleyiniz.
Çözüm ve Açıklama
Bu problemi bir fonksiyon modeli ile ifade edebiliriz.
Değişkenleri Tanımlama:
Satılan elma sayısı: \(x\) (bağımsız değişken)
Günlük elde edilen gelir (TL): \(f(x)\) (bağımlı değişken)
Fonksiyonu Oluşturma:
Her bir elmanın fiyatı 5 TL olduğuna göre, \(x\) tane elma satıldığında elde edilecek gelir, satılan elma sayısı ile birim fiyatın çarpımına eşittir.
\[ f(x) = 5x \]
Yorumlama:
Bu fonksiyon, manavın sattığı elma sayısına (\(x\)) göre günlük gelirini (\(f(x)\)) hesaplar. Örneğin, 10 elma satarsa geliri \(f(10) = 5 \times 10 = 50\) TL olur. 💡
2
Çözümlü Örnek
Günlük Hayattan Örnek
Bir taksi, açılış ücreti olarak 10 TL almaktadır. Kilometre başına ise 4 TL ek ücret almaktadır. Bir taksinin aldığı yolculuk mesafesine göre toplam ücretini veren fonksiyonu yazınız.
Çözüm ve Açıklama
Taksi ücretini hesaplayan fonksiyonu kuralım.
Değişkenler:
Yolculuk mesafesi (km): \(x\) (bağımsız değişken)
Toplam taksi ücreti (TL): \(T(x)\) (bağımlı değişken)
Fonksiyon Modeli:
Açılış ücreti sabit (10 TL) ve kilometre başına ücret değişkenlik gösterir (4 TL/km).
\[ T(x) = 10 + 4x \]
Uygulama:
Bu fonksiyon, 15 km'lik bir yolculuk için ödenecek ücreti \(T(15) = 10 + 4 \times 15 = 10 + 60 = 70\) TL olarak verir. 🚕
3
Çözümlü Örnek
Kolay Seviye
Bir aracın deposunda başlangıçta 60 litre yakıt bulunmaktadır. Araç her 100 km'de 8 litre yakıt tüketmektedir. Depodaki yakıt miktarını, aracın katettiği mesafeye göre veren fonksiyonu bulunuz.
Çözüm ve Açıklama
Yakıt miktarını mesafeye bağlayan fonksiyonu oluşturalım.
Depodaki kalan yakıt miktarı (litre): \(Y(m)\) (bağımlı değişken)
Fonksiyon Kurulumu:
Her 100 km'de 8 litre yakıt harcanıyorsa, 1 km'de harcanan yakıt miktarı \( \frac{8}{100} = 0.08 \) litredir.
Toplam tüketilen yakıt: \(0.08m\)
Başlangıçta 60 litre yakıt olduğuna göre, kalan yakıt:
\[ Y(m) = 60 - 0.08m \]
Örnek Hesaplama:
Araç 250 km yol giderse, depoda kalan yakıt \(Y(250) = 60 - 0.08 \times 250 = 60 - 20 = 40\) litre olur. ⛽
4
Çözümlü Örnek
Orta Seviye
Bir fabrikada üretilen ürün sayısı arttıkça, birim başına üretim maliyeti düşmektedir. İlk 100 ürün için birim maliyet 20 TL iken, 100'den sonraki her 50 ürün için birim maliyet 2 TL azalmaktadır. Üretilen toplam ürün sayısına göre toplam üretim maliyetini veren bir fonksiyon modeli oluşturulmaya çalışılıyor. Bu modelleme için ilk 100 ürünü ayrı, sonraki ürünleri ayrı ele almak gerekir.
Çözüm ve Açıklama
Bu tür durumlarda parçalı fonksiyonlar kullanmak daha uygundur.
Parçalı Fonksiyon Yapısı:
Üretim maliyeti, üretilen ürün sayısına (\(x\)) göre iki farklı kurala bağlıdır.
1. Durum: İlk 100 Ürün (\(0 \le x \le 100\))
Bu aralıkta birim maliyet sabittir: 20 TL.
Toplam Maliyet \(M_1(x) = 20x\)
2. Durum: 100'den Sonraki Ürünler (\(x > 100\))
İlk 100 ürün için toplam maliyet: \(M_1(100) = 20 \times 100 = 2000\) TL.
100'den sonraki her 50 ürün için maliyet 2 TL azalıyor. Bu şu anlama gelir: 101-150 ürün arası birim maliyet 18 TL, 151-200 ürün arası 16 TL gibi.
Bu durumu daha genel ifade etmek için, 100'den sonraki ek ürün sayısını \(x - 100\) olarak alalım.
Her 50 ürünlük grupta 2 TL'lik bir azalış olduğundan, \( \lfloor \frac{x-100}{50} \rfloor \) kadar bu azalıştan faydalanılır.
Yani, 100'den sonraki birim maliyet \( 20 - 2 \times \lfloor \frac{x-100}{50} \rfloor \) olur.
Bu birim maliyet ile 100'den sonraki ek ürün sayısını çarparız ve ilk 100 ürünün maliyetini ekleriz.
Not: Bu tür karmaşık durumlar için fonksiyon modellemesi, müfredatımızda daha çok temel doğrusal ve karesel fonksiyonlar üzerinden ilerlemektedir. Bu örnek, daha ileri düzey bir düşünce yapısı gerektirebilir. 🧠
Bir sosyal medya platformunda, bir kullanıcının takipçi sayısının zamanla artışını modellemek istiyoruz. Başlangıçta 500 takipçisi olan kullanıcı, her ay ortalama 150 yeni takipçi kazanmaktadır.
a) 10 ay sonra kullanıcının takipçi sayısını veren fonksiyonu yazınız.
b) Kaç ay sonra kullanıcının takipçi sayısı 5000'e ulaşır?
Çözüm ve Açıklama
Sosyal medya takipçi artışını fonksiyon ile modelleyelim.
Değişkenler:
Geçen ay sayısı: \(t\) (bağımsız değişken)
Takipçi sayısı: \(F(t)\) (bağımlı değişken)
a) Fonksiyonu Yazma:
Başlangıç takipçi sayısı 500 ve her ay 150 takipçi artıyor.
\[ F(t) = 500 + 150t \]
b) Takipçi Sayısının 5000'e Ulaşma Süresi:
Takipçi sayısının 5000 olmasını istediğimiz için \(F(t) = 5000\) denklemini çözeriz.
\[ 500 + 150t = 5000 \]
Her iki taraftan 500 çıkaralım:
\[ 150t = 4500 \]
Her iki tarafı 150'ye bölelim:
\[ t = \frac{4500}{150} \]
\[ t = 30 \]
Sonuç: Kullanıcının takipçi sayısı 30 ay sonra 5000'e ulaşır. 📈
6
Çözümlü Örnek
Günlük Hayattan Örnek
Bir telefon operatörü, aylık sabit 50 TL'ye ek olarak, her dakika görüşme için 0.50 TL ücret almaktadır. Bir abonenin aylık toplam faturasını, konuştuğu toplam dakika sayısına göre veren fonksiyonu modelleyiniz.
Çözüm ve Açıklama
Aylık telefon faturasını hesaplayan fonksiyonu kuralım.
Değişkenler:
Konuşulan toplam dakika sayısı: \(d\) (bağımsız değişken)
Aylık toplam fatura tutarı (TL): \(Fatura(d)\) (bağımlı değişken)
Fonksiyon Modeli:
Sabit ücret 50 TL ve dakika başına ücret 0.50 TL'dir.
\[ Fatura(d) = 50 + 0.50d \]
Örnek Fatura:
Eğer abone bir ayda 120 dakika konuşursa, faturası \(Fatura(120) = 50 + 0.50 \times 120 = 50 + 60 = 110\) TL olur. 📞
7
Çözümlü Örnek
Kolay Seviye
Bir depoda başlangıçta 1000 litre su bulunmaktadır. Her saat 50 litre su kullanılmaktadır. Depodaki su miktarını, geçen zamana göre veren fonksiyonu yazınız.
Çözüm ve Açıklama
Depodaki su miktarını zamanla ilişkilendirelim.
Değişkenler:
Geçen saat sayısı: \(s\) (bağımsız değişken)
Depodaki su miktarı (litre): \(S(s)\) (bağımlı değişken)
Fonksiyon Tanımı:
Başlangıçta 1000 litre su var ve her saat 50 litre azalıyor.
\[ S(s) = 1000 - 50s \]
Kullanım Örneği:
4 saat sonra depoda \(S(4) = 1000 - 50 \times 4 = 1000 - 200 = 800\) litre su kalır. 💧
8
Çözümlü Örnek
Orta Seviye
Bir firma, bir ürünün birim satış fiyatını düşürdükçe satış miktarının arttığını gözlemlemiştir. Eğer ürünün birim satış fiyatı \(x\) TL ise, aylık satış miktarı \(S(x) = 2000 - 100x\) fonksiyonu ile veriliyor. Buna göre, firmanın aylık toplam gelirini, ürünün birim satış fiyatına göre veren fonksiyonu bulunuz.
Çözüm ve Açıklama
Gelir fonksiyonunu, satış miktarı ve birim fiyat arasındaki ilişkiyi kullanarak bulacağız.
Tanımlar:
Ürünün birim satış fiyatı: \(x\) TL
Aylık satış miktarı: \(S(x) = 2000 - 100x\) adet
Aylık toplam gelir: \(G(x)\) TL
Gelir Fonksiyonu:
Toplam gelir, birim satış fiyatı ile aylık satış miktarının çarpımına eşittir.
Aylık Toplam Gelir = Birim Satış Fiyatı \( \times \) Aylık Satış Miktarı
\[ G(x) = x \times S(x) \]
Şimdi \(S(x)\) yerine fonksiyonunu yazalım:
\[ G(x) = x \times (2000 - 100x) \]
Dağılma özelliğini kullanarak fonksiyonu açalım:
\[ G(x) = 2000x - 100x^2 \]
Yorumlama:
Bu fonksiyon, firmanın ürünün birim satış fiyatını (\(x\)) değiştirdiğinde elde edeceği aylık toplam geliri (\(G(x)\)) gösterir. Bu bir ikinci dereceden fonksiyondur ve grafiği parabol şeklindedir. 💰
10. Sınıf Matematik: Fonksiyon modeli ile günlük yaşam durumu raporu Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Bir manav, tanesi 5 TL'den elma satmaktadır. Manavın günlük satışından elde ettiği geliri gösteren fonksiyonu modelleyiniz.
Çözüm:
Bu problemi bir fonksiyon modeli ile ifade edebiliriz.
Değişkenleri Tanımlama:
Satılan elma sayısı: \(x\) (bağımsız değişken)
Günlük elde edilen gelir (TL): \(f(x)\) (bağımlı değişken)
Fonksiyonu Oluşturma:
Her bir elmanın fiyatı 5 TL olduğuna göre, \(x\) tane elma satıldığında elde edilecek gelir, satılan elma sayısı ile birim fiyatın çarpımına eşittir.
\[ f(x) = 5x \]
Yorumlama:
Bu fonksiyon, manavın sattığı elma sayısına (\(x\)) göre günlük gelirini (\(f(x)\)) hesaplar. Örneğin, 10 elma satarsa geliri \(f(10) = 5 \times 10 = 50\) TL olur. 💡
Örnek 2:
Bir taksi, açılış ücreti olarak 10 TL almaktadır. Kilometre başına ise 4 TL ek ücret almaktadır. Bir taksinin aldığı yolculuk mesafesine göre toplam ücretini veren fonksiyonu yazınız.
Çözüm:
Taksi ücretini hesaplayan fonksiyonu kuralım.
Değişkenler:
Yolculuk mesafesi (km): \(x\) (bağımsız değişken)
Toplam taksi ücreti (TL): \(T(x)\) (bağımlı değişken)
Fonksiyon Modeli:
Açılış ücreti sabit (10 TL) ve kilometre başına ücret değişkenlik gösterir (4 TL/km).
\[ T(x) = 10 + 4x \]
Uygulama:
Bu fonksiyon, 15 km'lik bir yolculuk için ödenecek ücreti \(T(15) = 10 + 4 \times 15 = 10 + 60 = 70\) TL olarak verir. 🚕
Örnek 3:
Bir aracın deposunda başlangıçta 60 litre yakıt bulunmaktadır. Araç her 100 km'de 8 litre yakıt tüketmektedir. Depodaki yakıt miktarını, aracın katettiği mesafeye göre veren fonksiyonu bulunuz.
Çözüm:
Yakıt miktarını mesafeye bağlayan fonksiyonu oluşturalım.
Depodaki kalan yakıt miktarı (litre): \(Y(m)\) (bağımlı değişken)
Fonksiyon Kurulumu:
Her 100 km'de 8 litre yakıt harcanıyorsa, 1 km'de harcanan yakıt miktarı \( \frac{8}{100} = 0.08 \) litredir.
Toplam tüketilen yakıt: \(0.08m\)
Başlangıçta 60 litre yakıt olduğuna göre, kalan yakıt:
\[ Y(m) = 60 - 0.08m \]
Örnek Hesaplama:
Araç 250 km yol giderse, depoda kalan yakıt \(Y(250) = 60 - 0.08 \times 250 = 60 - 20 = 40\) litre olur. ⛽
Örnek 4:
Bir fabrikada üretilen ürün sayısı arttıkça, birim başına üretim maliyeti düşmektedir. İlk 100 ürün için birim maliyet 20 TL iken, 100'den sonraki her 50 ürün için birim maliyet 2 TL azalmaktadır. Üretilen toplam ürün sayısına göre toplam üretim maliyetini veren bir fonksiyon modeli oluşturulmaya çalışılıyor. Bu modelleme için ilk 100 ürünü ayrı, sonraki ürünleri ayrı ele almak gerekir.
Çözüm:
Bu tür durumlarda parçalı fonksiyonlar kullanmak daha uygundur.
Parçalı Fonksiyon Yapısı:
Üretim maliyeti, üretilen ürün sayısına (\(x\)) göre iki farklı kurala bağlıdır.
1. Durum: İlk 100 Ürün (\(0 \le x \le 100\))
Bu aralıkta birim maliyet sabittir: 20 TL.
Toplam Maliyet \(M_1(x) = 20x\)
2. Durum: 100'den Sonraki Ürünler (\(x > 100\))
İlk 100 ürün için toplam maliyet: \(M_1(100) = 20 \times 100 = 2000\) TL.
100'den sonraki her 50 ürün için maliyet 2 TL azalıyor. Bu şu anlama gelir: 101-150 ürün arası birim maliyet 18 TL, 151-200 ürün arası 16 TL gibi.
Bu durumu daha genel ifade etmek için, 100'den sonraki ek ürün sayısını \(x - 100\) olarak alalım.
Her 50 ürünlük grupta 2 TL'lik bir azalış olduğundan, \( \lfloor \frac{x-100}{50} \rfloor \) kadar bu azalıştan faydalanılır.
Yani, 100'den sonraki birim maliyet \( 20 - 2 \times \lfloor \frac{x-100}{50} \rfloor \) olur.
Bu birim maliyet ile 100'den sonraki ek ürün sayısını çarparız ve ilk 100 ürünün maliyetini ekleriz.
Not: Bu tür karmaşık durumlar için fonksiyon modellemesi, müfredatımızda daha çok temel doğrusal ve karesel fonksiyonlar üzerinden ilerlemektedir. Bu örnek, daha ileri düzey bir düşünce yapısı gerektirebilir. 🧠
Bir sosyal medya platformunda, bir kullanıcının takipçi sayısının zamanla artışını modellemek istiyoruz. Başlangıçta 500 takipçisi olan kullanıcı, her ay ortalama 150 yeni takipçi kazanmaktadır.
a) 10 ay sonra kullanıcının takipçi sayısını veren fonksiyonu yazınız.
b) Kaç ay sonra kullanıcının takipçi sayısı 5000'e ulaşır?
Çözüm:
Sosyal medya takipçi artışını fonksiyon ile modelleyelim.
Değişkenler:
Geçen ay sayısı: \(t\) (bağımsız değişken)
Takipçi sayısı: \(F(t)\) (bağımlı değişken)
a) Fonksiyonu Yazma:
Başlangıç takipçi sayısı 500 ve her ay 150 takipçi artıyor.
\[ F(t) = 500 + 150t \]
b) Takipçi Sayısının 5000'e Ulaşma Süresi:
Takipçi sayısının 5000 olmasını istediğimiz için \(F(t) = 5000\) denklemini çözeriz.
\[ 500 + 150t = 5000 \]
Her iki taraftan 500 çıkaralım:
\[ 150t = 4500 \]
Her iki tarafı 150'ye bölelim:
\[ t = \frac{4500}{150} \]
\[ t = 30 \]
Sonuç: Kullanıcının takipçi sayısı 30 ay sonra 5000'e ulaşır. 📈
Örnek 6:
Bir telefon operatörü, aylık sabit 50 TL'ye ek olarak, her dakika görüşme için 0.50 TL ücret almaktadır. Bir abonenin aylık toplam faturasını, konuştuğu toplam dakika sayısına göre veren fonksiyonu modelleyiniz.
Çözüm:
Aylık telefon faturasını hesaplayan fonksiyonu kuralım.
Değişkenler:
Konuşulan toplam dakika sayısı: \(d\) (bağımsız değişken)
Aylık toplam fatura tutarı (TL): \(Fatura(d)\) (bağımlı değişken)
Fonksiyon Modeli:
Sabit ücret 50 TL ve dakika başına ücret 0.50 TL'dir.
\[ Fatura(d) = 50 + 0.50d \]
Örnek Fatura:
Eğer abone bir ayda 120 dakika konuşursa, faturası \(Fatura(120) = 50 + 0.50 \times 120 = 50 + 60 = 110\) TL olur. 📞
Örnek 7:
Bir depoda başlangıçta 1000 litre su bulunmaktadır. Her saat 50 litre su kullanılmaktadır. Depodaki su miktarını, geçen zamana göre veren fonksiyonu yazınız.
Çözüm:
Depodaki su miktarını zamanla ilişkilendirelim.
Değişkenler:
Geçen saat sayısı: \(s\) (bağımsız değişken)
Depodaki su miktarı (litre): \(S(s)\) (bağımlı değişken)
Fonksiyon Tanımı:
Başlangıçta 1000 litre su var ve her saat 50 litre azalıyor.
\[ S(s) = 1000 - 50s \]
Kullanım Örneği:
4 saat sonra depoda \(S(4) = 1000 - 50 \times 4 = 1000 - 200 = 800\) litre su kalır. 💧
Örnek 8:
Bir firma, bir ürünün birim satış fiyatını düşürdükçe satış miktarının arttığını gözlemlemiştir. Eğer ürünün birim satış fiyatı \(x\) TL ise, aylık satış miktarı \(S(x) = 2000 - 100x\) fonksiyonu ile veriliyor. Buna göre, firmanın aylık toplam gelirini, ürünün birim satış fiyatına göre veren fonksiyonu bulunuz.
Çözüm:
Gelir fonksiyonunu, satış miktarı ve birim fiyat arasındaki ilişkiyi kullanarak bulacağız.
Tanımlar:
Ürünün birim satış fiyatı: \(x\) TL
Aylık satış miktarı: \(S(x) = 2000 - 100x\) adet
Aylık toplam gelir: \(G(x)\) TL
Gelir Fonksiyonu:
Toplam gelir, birim satış fiyatı ile aylık satış miktarının çarpımına eşittir.
Aylık Toplam Gelir = Birim Satış Fiyatı \( \times \) Aylık Satış Miktarı
\[ G(x) = x \times S(x) \]
Şimdi \(S(x)\) yerine fonksiyonunu yazalım:
\[ G(x) = x \times (2000 - 100x) \]
Dağılma özelliğini kullanarak fonksiyonu açalım:
\[ G(x) = 2000x - 100x^2 \]
Yorumlama:
Bu fonksiyon, firmanın ürünün birim satış fiyatını (\(x\)) değiştirdiğinde elde edeceği aylık toplam geliri (\(G(x)\)) gösterir. Bu bir ikinci dereceden fonksiyondur ve grafiği parabol şeklindedir. 💰