💡 10. Sınıf Matematik: Fonksiyon modeli ile günlük yaşam durumu raporu Çözümlü Örnekler

• Satılan elma sayısı: \(x\) (bağımsız değişken)
• Günlük elde edilen gelir (TL): \(f(x)\) (bağımlı değişken)

Her bir elmanın fiyatı 5 TL olduğuna göre, \(x\) tane elma satıldığında elde edilecek gelir, satılan elma sayısı ile birim fiyatın çarpımına eşittir.

Bu fonksiyon, manavın sattığı elma sayısına (\(x\)) göre günlük gelirini (\(f(x)\)) hesaplar. Örneğin, 10 elma satarsa geliri \(f(10) = 5 \times 10 = 50\) TL olur. 💡

• Yolculuk mesafesi (km): \(x\) (bağımsız değişken)
• Toplam taksi ücreti (TL): \(T(x)\) (bağımlı değişken)

Açılış ücreti sabit (10 TL) ve kilometre başına ücret değişkenlik gösterir (4 TL/km).

Bu fonksiyon, 15 km'lik bir yolculuk için ödenecek ücreti \(T(15) = 10 + 4 \times 15 = 10 + 60 = 70\) TL olarak verir. 🚕

• Aracın katettiği mesafe (km): \(m\) (bağımsız değişken)
• Depodaki kalan yakıt miktarı (litre): \(Y(m)\) (bağımlı değişken)

Her 100 km'de 8 litre yakıt harcanıyorsa, 1 km'de harcanan yakıt miktarı \( \frac{8}{100} = 0.08 \) litredir.

Toplam tüketilen yakıt: \(0.08m\)

Başlangıçta 60 litre yakıt olduğuna göre, kalan yakıt:

Araç 250 km yol giderse, depoda kalan yakıt \(Y(250) = 60 - 0.08 \times 250 = 60 - 20 = 40\) litre olur. ⛽

Üretim maliyeti, üretilen ürün sayısına (\(x\)) göre iki farklı kurala bağlıdır.

Bu aralıkta birim maliyet sabittir: 20 TL.

Toplam Maliyet \(M_1(x) = 20x\)

İlk 100 ürün için toplam maliyet: \(M_1(100) = 20 \times 100 = 2000\) TL.

100'den sonraki her 50 ürün için maliyet 2 TL azalıyor. Bu şu anlama gelir: 101-150 ürün arası birim maliyet 18 TL, 151-200 ürün arası 16 TL gibi.

Bu durumu daha genel ifade etmek için, 100'den sonraki ek ürün sayısını \(x - 100\) olarak alalım.

Her 50 ürünlük grupta 2 TL'lik bir azalış olduğundan, \( \lfloor \frac{x-100}{50} \rfloor \) kadar bu azalıştan faydalanılır.

Yani, 100'den sonraki birim maliyet \( 20 - 2 \times \lfloor \frac{x-100}{50} \rfloor \) olur.

Bu birim maliyet ile 100'den sonraki ek ürün sayısını çarparız ve ilk 100 ürünün maliyetini ekleriz.

Toplam Maliyet \(M_2(x) = 2000 + (x-100) \times (20 - 2 \times \lfloor \frac{x-100}{50} \rfloor )\)

Not: Bu tür karmaşık durumlar için fonksiyon modellemesi, müfredatımızda daha çok temel doğrusal ve karesel fonksiyonlar üzerinden ilerlemektedir. Bu örnek, daha ileri düzey bir düşünce yapısı gerektirebilir. 🧠

• Geçen ay sayısı: \(t\) (bağımsız değişken)
• Takipçi sayısı: \(F(t)\) (bağımlı değişken)

Başlangıç takipçi sayısı 500 ve her ay 150 takipçi artıyor.

Takipçi sayısının 5000 olmasını istediğimiz için \(F(t) = 5000\) denklemini çözeriz.

Her iki taraftan 500 çıkaralım:

Her iki tarafı 150'ye bölelim:

Sonuç: Kullanıcının takipçi sayısı 30 ay sonra 5000'e ulaşır. 📈

• Konuşulan toplam dakika sayısı: \(d\) (bağımsız değişken)
• Aylık toplam fatura tutarı (TL): \(Fatura(d)\) (bağımlı değişken)

Sabit ücret 50 TL ve dakika başına ücret 0.50 TL'dir.

Eğer abone bir ayda 120 dakika konuşursa, faturası \(Fatura(120) = 50 + 0.50 \times 120 = 50 + 60 = 110\) TL olur. 📞

• Geçen saat sayısı: \(s\) (bağımsız değişken)
• Depodaki su miktarı (litre): \(S(s)\) (bağımlı değişken)

Başlangıçta 1000 litre su var ve her saat 50 litre azalıyor.

4 saat sonra depoda \(S(4) = 1000 - 50 \times 4 = 1000 - 200 = 800\) litre su kalır. 💧

• Ürünün birim satış fiyatı: \(x\) TL
• Aylık satış miktarı: \(S(x) = 2000 - 100x\) adet
• Aylık toplam gelir: \(G(x)\) TL

Toplam gelir, birim satış fiyatı ile aylık satış miktarının çarpımına eşittir.

Aylık Toplam Gelir = Birim Satış Fiyatı \( \times \) Aylık Satış Miktarı

Şimdi \(S(x)\) yerine fonksiyonunu yazalım:

Dağılma özelliğini kullanarak fonksiyonu açalım:

Bu fonksiyon, firmanın ürünün birim satış fiyatını (\(x\)) değiştirdiğinde elde edeceği aylık toplam geliri (\(G(x)\)) gösterir. Bu bir ikinci dereceden fonksiyondur ve grafiği parabol şeklindedir. 💰