💡 10. Sınıf Matematik: Fonksiyon Modeli ile Günlük Yaşam Durumlarını Açıklama Çözümlü Örnekler

Bu durumu bir fonksiyon modeli ile açıklayabiliriz.

• Değişkenler:
• Üretilen poğaça sayısı: \( x \)
• Her poğaçadan elde edilen kâr: \( 2 \) TL
• Toplam günlük kâr: \( K(x) \)

Toplam kâr, üretilen poğaça sayısı ile her bir poğaçadan elde edilen kârın çarpımına eşittir.
Dolayısıyla, fırıncının günlük toplam kârını gösteren fonksiyon şu şekildedir:
\[ K(x) = 2x \] Bu fonksiyon, fırıncının ürettiği poğaça sayısına göre günlük kârını hesaplamasına olanak tanır. Örneğin, 100 poğaça üretirse, kârı \( K(100) = 2 \times 100 = 200 \) TL olacaktır. ✅

Bu taksi ücretlendirmesini bir fonksiyon olarak ifade edelim.

• Değişkenler:
• Gidilen mesafe (kilometre): \( m \)
• Açılış ücreti: \( 5 \) TL
• Kilometre başına ücret: \( 3 \) TL
• Toplam ödenecek ücret: \( Ü(m) \)

Toplam ücret, sabit açılış ücreti ile gidilen mesafeye göre hesaplanan ücretin toplamıdır.
Kilometre başına ücret, gidilen mesafe ile çarpılır: \( 3m \).
Bu ücrete açılış ücreti eklenir.
Dolayısıyla, toplam ödenecek ücreti gösteren fonksiyon şu şekildedir:
\[ Ü(m) = 3m + 5 \] Bu fonksiyon sayesinde, müşterinin kat ettiği mesafeyi bilerek ödenecek toplam ücreti kolayca hesaplayabiliriz. Örneğin, 10 kilometre yol giden bir müşteri \( Ü(10) = 3 \times 10 + 5 = 30 + 5 = 35 \) TL ödeyecektir. 💰

İnternet kullanım ücretini bir fonksiyon modeli ile açıklayalım.

• Değişkenler:
• Aylık internet kullanımı (GB): \( i \)
• Sabit aylık ücret: \( 50 \) TL
• Her GB için ek ücret: \( 4 \) TL
• Toplam aylık fatura: \( F(i) \)

Toplam fatura, sabit ücrete ek olarak internet kullanımına göre hesaplanan ücretin toplamıdır.
İnternet kullanımına göre hesaplanan ücret: \( 4i \).
Bu ücrete sabit aylık ücret eklenir.
Dolayısıyla, toplam fatura tutarını gösteren fonksiyon şu şekildedir:
\[ F(i) = 4i + 50 \] Bu fonksiyon, kullanıcının ne kadar internet kullandığını bilerek aylık faturasını öngörmesini sağlar. Örneğin, bir kullanıcı 15 GB internet kullanırsa, faturası \( F(15) = 4 \times 15 + 50 = 60 + 50 = 110 \) TL olacaktır. 💸

Depodaki su miktarını zamana bağlı bir fonksiyon olarak ifade edelim.

• Değişkenler:
• Geçen gün sayısı: \( t \)
• Başlangıçtaki su miktarı: \( 500 \) litre
• Günlük su kullanımı: \( 20 \) litre
• \( t \) gün sonra kalan su miktarı: \( S(t) \)

Her gün \( 20 \) litre su kullanıldığı için, \( t \) gün boyunca toplam \( 20t \) litre su kullanılmış olur.
Başlangıçtaki su miktarından kullanılan su miktarı çıkarılarak kalan su miktarı bulunur.
Dolayısıyla, \( t \) gün sonra depoda kalan su miktarını gösteren fonksiyon şu şekildedir:
\[ S(t) = 500 - 20t \] Bu fonksiyon, belirli bir gün sonunda depoda ne kadar su kalacağını hesaplamamıza yardımcı olur. Örneğin, 10 gün sonra depoda \( S(10) = 500 - 20 \times 10 = 500 - 200 = 300 \) litre su kalır. 📉

Bisikletlinin aldığı yolu, zamana bağlı bir fonksiyon olarak modelleyelim.
Öncelikle bisikletlinin hızını bulmamız gerekiyor.

• Verilenler:
• Zaman: \( t = 2 \) saat
• Alınan yol: \( y = 40 \) km

Hız formülü: Hız = Yol / Zaman
Bisikletlinin hızı = \( \frac{40 \text{ km}}{2 \text{ saat}} = 20 \) km/saat.
Şimdi, alınan yolu (y) geçen zamana (t) bağlı bir fonksiyon olarak yazabiliriz. Hız sabit olduğu için bu doğrusal bir fonksiyondur.

• Değişkenler:
• Geçen zaman (saat): \( t \)
• Sabit hız: \( 20 \) km/saat
• Alınan yol (km): \( Y(t) \)

Alınan yol = Hız \( \times \) Zaman
Dolayısıyla, alınan yolu gösteren fonksiyon şu şekildedir:
\[ Y(t) = 20t \] Bu fonksiyon, bisikletlinin herhangi bir \( t \) saatte ne kadar yol alacağını hesaplamamızı sağlar. Örneğin, 3 saatte \( Y(3) = 20 \times 3 = 60 \) km yol alır. 💨

Bu problemde, domates verimini bir parabol denklemi ile modellenen bir fonksiyon olarak görüyoruz. Parabolün tepe noktasını bularak maksimum verimi elde edeceğimiz gübre miktarını ve bu miktardaki verimi hesaplayabiliriz.
Fonksiyonumuz: \( V(x) = -x^2 + 10x \)
Bu denklem \( ax^2 + bx + c \) formundadır, burada \( a = -1 \), \( b = 10 \) ve \( c = 0 \)'dır.

• Maksimum verim için gübre miktarını bulma:
• Parabolün tepe noktasının x-koordinatı, maksimum veya minimum değeri veren \( x \) değerini gösterir. Bu formülle bulunur: \( x = -\frac{b}{2a} \).
• \( x = -\frac{10}{2 \times (-1)} = -\frac{10}{-2} = 5 \) kg

Bu, çiftçinin en fazla domates verimini elde etmek için \( 5 \) kg gübre kullanması gerektiği anlamına gelir. ✅

• Bu durumda elde edilecek maksimum domates miktarını bulma:
• Bulduğumuz \( x = 5 \) değerini fonksiyonda yerine koyarak maksimum verimi hesaplarız: \( V(5) \).
• \( V(5) = -(5)^2 + 10(5) = -25 + 50 = 25 \) ton

Dolayısıyla, çiftçi \( 5 \) kg gübre kullanarak \( 25 \) ton domates elde edebilir. 📈

Bu problemde, üretim maliyetini bir parabol denklemi ile modellenen bir fonksiyon olarak görüyoruz. Birim başına maliyetin en aza indirilmesi için toplam maliyet fonksiyonunun tepe noktasını bulmamız gerekmektedir.
Toplam üretim maliyeti fonksiyonu: \( M(x) = 2x^2 - 12x + 20 \)
Bu denklem \( ax^2 + bx + c \) formundadır, burada \( a = 2 \), \( b = -12 \) ve \( c = 20 \)'dir.

• Birim başına maliyeti en aza indiren üretim miktarını bulma:
• Parabolün tepe noktasının x-koordinatı, minimum değeri veren \( x \) değerini gösterir. Bu formülle bulunur: \( x = -\frac{b}{2a} \).
• \( x = -\frac{-12}{2 \times 2} = -\frac{-12}{4} = 3 \) bin adet

Bu, üreticinin birim başına maliyeti en aza indirmek için \( 3 \) bin adet telefon üretmesi gerektiği anlamına gelir. ✅

• Bu durumda birim başına maliyeti bulma:
• Bulduğumuz \( x = 3 \) değerini fonksiyonda yerine koyarak minimum toplam maliyeti hesaplarız: \( M(3) \).
• \( M(3) = 2(3)^2 - 12(3) + 20 = 2(9) - 36 + 20 = 18 - 36 + 20 = 2 \) milyon TL

Toplamda \( 3 \) bin adet telefon üretildiğinde maliyet \( 2 \) milyon TL olur. Birim başına maliyeti bulmak için toplam maliyeti üretilen adet sayısına böleriz:
Birim Başına Maliyet = \( \frac{2 \text{ milyon TL}}{3000 \text{ adet}} \approx 666.67 \) TL/adet.
Üreticinin birim başına maliyeti en aza indirmesi için \( 3 \) bin adet telefon üretmesi ve bu durumda birim başına maliyetin yaklaşık \( 666.67 \) TL olması gerekir. 📉

Bu hediyelik eşya dükkanının günlük kârını bir fonksiyon olarak modelleyelim.

• Değişkenler:
• Satılan anahtarlık sayısı: \( s \)
• Her anahtarlıktan elde edilen gelir: \( 10 \) TL
• Günlük sabit giderler: \( 100 \) TL
• Günlük toplam kâr: \( K(s) \)

Günlük toplam gelir, satılan anahtarlık sayısı ile her bir anahtarlıktan elde edilen gelirin çarpımına eşittir: \( 10s \).
Günlük kâr, toplam gelirden günlük sabit giderlerin çıkarılmasıyla bulunur.
Dolayısıyla, dükkanın günlük kârını gösteren fonksiyon şu şekildedir:
\[ K(s) = 10s - 100 \] Bu fonksiyon, satılan anahtarlık sayısına göre günlük kârı hesaplamamıza yardımcı olur. Örneğin, dükkan 20 anahtarlık satarsa, kârı \( K(20) = 10 \times 20 - 100 = 200 - 100 = 100 \) TL olur. 🤑

Bu kargo ücretlendirmesini bir fonksiyon modeli ile açıklayalım. Ücretlendirme iki farklı durum için geçerli olduğundan, bu bir parçalı fonksiyon olacaktır.

• Durum 1: Paket ağırlığı 2 kg veya daha az ise
• Paket ağırlığı (kg): \( a \)
• Eğer \( a \le 2 \) ise, sabit ücret \( 15 \) TL'dir.
• Bu durumu gösteren fonksiyon: \( Ü(a) = 15 \), eğer \( a \le 2 \)

• Durum 2: Paket ağırlığı 2 kg'dan fazla ise
• Paket ağırlığı (kg): \( a \)
• Eğer \( a > 2 \) ise, ilk 2 kg için \( 15 \) TL alınır.
• Kalan ağırlık: \( a - 2 \) kg
• Kalan ağırlık için ek ücret: \( 5 \times (a - 2) \) TL
• Toplam ücret: \( 15 + 5(a - 2) \)
• Bu durumu gösteren fonksiyon: \( Ü(a) = 15 + 5(a - 2) \), eğer \( a > 2 \)

Bu iki durumu birleştirerek parçalı fonksiyonu yazabiliriz:
\[ Ü(a) = \begin{cases} 15 & \text{eğer } a \le 2 \\ 15 + 5(a - 2) & \text{eğer } a > 2 \end{cases} \] Bu fonksiyonu biraz daha sadeleştirebiliriz:
Eğer \( a > 2 \) ise, \( Ü(a) = 15 + 5a - 10 = 5a + 5 \).
Dolayısıyla, kargo ücretini gösteren fonksiyon şu şekildedir:
\[ Ü(a) = \begin{cases} 15 & \text{eğer } a \le 2 \\ 5a + 5 & \text{eğer } a > 2 \end{cases} \] Örneğin, \( 1.5 \) kg'lık bir paket için ücret \( Ü(1.5) = 15 \) TL olur. \( 4 \) kg'lık bir paket için ise \( Ü(4) = 5(4) + 5 = 20 + 5 = 25 \) TL olur. 🚚

Bu problemde, köprünün taşıma kapasitesini bir parabol denklemi ile modellenen bir fonksiyon olarak görüyoruz. Taşıma kapasitesinin en üst düzeye çıkarılması için toplam taşıma kapasitesi fonksiyonunun tepe noktasını bulmamız gerekmektedir.
Taşıma kapasitesi fonksiyonu: \( K(x) = -0.1x^2 + 4x + 100 \)
Bu denklem \( ax^2 + bx + c \) formundadır, burada \( a = -0.1 \), \( b = 4 \) ve \( c = 100 \)'dür.

• Taşıma kapasitesini en üst düzeye çıkaran köprü uzunluğunu bulma:
• Parabolün tepe noktasının x-koordinatı, maksimum değeri veren \( x \) değerini gösterir. Bu formülle bulunur: \( x = -\frac{b}{2a} \).
• \( x = -\frac{4}{2 \times (-0.1)} = -\frac{4}{-0.2} = 20 \) metre

Bu, mühendisin köprünün taşıma kapasitesini en üst düzeye çıkarmak için köprüyü \( 20 \) metre uzunluğunda tasarlaması gerektiği anlamına gelir. ✅

• Bu durumda elde edilecek maksimum taşıma kapasitesini bulma:
• Bulduğumuz \( x = 20 \) değerini fonksiyonda yerine koyarak maksimum taşıma kapasitesini hesaplarız: \( K(20) \).
• \( K(20) = -0.1(20)^2 + 4(20) + 100 = -0.1(400) + 80 + 100 = -40 + 80 + 100 = 140 \) ton

Dolayısıyla, mühendis köprüyü \( 20 \) metre uzunluğunda tasarlarsa, köprünün taşıma kapasitesi \( 140 \) ton olur. 🏗️