💡 10. Sınıf Matematik: Fonksiyon gerçek hayat verileriyle yorumlanması Çözümlü Örnekler

Bu durumu bir fonksiyon olarak ifade edebiliriz.

• Bağımsız Değişken: Satılan elma miktarı (kilogram olarak). Bunu \( x \) ile gösterelim.
• Bağımlı Değişken: Elde edilen gelir (TL olarak). Bunu \( y \) veya \( f(x) \) ile gösterelim.
• Fonksiyon Kuralı: Her kilogram elma için \( 5 \) TL kazanılıyorsa, toplam gelir satılan elma miktarının \( 5 \) ile çarpılmasıyla bulunur. Yani, \( f(x) = 5x \).

Şimdi bu fonksiyonun grafiğini yorumlayalım:

• Grafik, orijinden geçen bir doğru şeklinde olacaktır. Çünkü \( 0 \) kilogram elma satılırsa \( 0 \) TL gelir elde edilir.
• Doğrunun eğimi \( 5 \) olduğundan, her \( 1 \) kilogramlık artışta gelirin \( 5 \) TL arttığını gösterir.
• Bu grafik, doğrusal bir ilişkiyi temsil eder. Satılan elma miktarı arttıkça gelir de doğru orantılı olarak artar.

💡 Bu tür doğrusal fonksiyonlar, sabit bir oranda artan veya azalan durumları modellemek için kullanılır.

Aracın aldığı yolu bir fonksiyon olarak tanımlayalım:

• Bağımsız Değişken: Zaman (saat olarak). Bunu \( t \) ile gösterelim.
• Bağımlı Değişken: Alınan yol (kilometre olarak). Bunu \( y \) veya \( f(t) \) ile gösterelim.
• Fonksiyon Kuralı: Hız sabit olduğundan, alınan yol = hız \( \times \) zaman formülüyle bulunur. Yani, \( f(t) = 80t \).

Fonksiyonun grafiğini yorumlayalım:

• Grafik, orijinden başlayan ve yukarı doğru eğimli bir doğru olacaktır.
• T zamanı \( 0 \) iken yol \( 0 \) km'dir.
• Doğrunun eğimi \( 80 \) olup, aracın hızını temsil eder. Her saatte araç \( 80 \) km yol almaktadır.
• Bu, doğrusal bir büyüme örneğidir. Zaman ilerledikçe aracın aldığı yol artar.

📌 Sabit hızla hareket eden cisimlerin aldığı yol, zamanla doğrusal bir ilişki gösterir.

Şirketin toplam maliyetini bir fonksiyon olarak ifade edelim:

• Bağımsız Değişken: Üretilen ürün sayısı. Bunu \( x \) ile gösterelim.
• Bağımlı Değişken: Toplam maliyet (TL olarak). Bunu \( C(x) \) ile gösterelim.
• Fonksiyon Kuralı: Toplam maliyet, sabit giderler ile değişken giderlerin toplamıdır. Sabit gider \( 1500 \) TL ve her ürün için değişken gider \( 10x \) TL'dir. Dolayısıyla, \( C(x) = 10x + 1500 \).

Bu fonksiyonun grafiğini yorumlayalım:

• Grafik, y eksenini \( 1500 \) noktasında kesen ve yukarı doğru eğimli bir doğru olacaktır.
• Y eksenini kestiği nokta (\( x=0 \) iken \( C(x) = 1500 \)), üretimin olmadığı durumda bile var olan sabit giderleri temsil eder.
• Doğrunun eğimi \( 10 \) olup, her bir ek ürünün maliyete \( 10 \) TL eklediğini gösterir.

💡 Bu fonksiyon, sabit maliyetlerin olduğu ve birim başına değişken maliyetin eklendiği durumları modellemek için kullanılır.

Kullanıcının ödeyeceği toplam ücreti bir fonksiyon olarak tanımlayalım:

• Bağımlı Değişken: Toplam ücret (TL olarak). Bunu \( U(x) \) ile gösterelim.
• Bağımsız Değişken: Yapılan uygulama içi satın alma işlemi sayısı. Bunu \( x \) ile gösterelim.
• Fonksiyon Kuralı: Toplam ücret, sabit abonelik ücreti ile yapılan satın alma işlemlerinin toplam maliyetinin toplamıdır. Sabit ücret \( 20 \) TL ve her işlem için \( 5x \) TL'dir. Dolayısıyla, \( U(x) = 5x + 20 \).

Bu fonksiyonun grafiğini yorumlayalım:

• Grafik, y eksenini \( 20 \) noktasında kesen ve yukarı doğru eğimli bir doğru olacaktır.
• Y eksenini kestiği nokta (\( x=0 \) iken \( U(x) = 20 \)), hiç satın alma yapmasa bile ödenen sabit abonelik ücretini gösterir.
• Doğrunun eğimi \( 5 \) olup, her bir ek satın alma işleminin toplam ücrete \( 5 \) TL eklediğini ifade eder.

✅ Bu tür fonksiyonlar, sabit bir temel maliyet üzerine eklenen değişken maliyetleri modellemek için idealdir.

Depodaki toplam su miktarını bir fonksiyon olarak ifade edelim:

• Bağımsız Değişken: Zaman (dakika olarak). Bunu \( t \) ile gösterelim.
• Bağımlı Değişken: Depodaki toplam su miktarı (litre olarak). Bunu \( S(t) \) ile gösterelim.
• Fonksiyon Kuralı: Toplam su miktarı, başlangıçtaki su miktarı ile \( t \) dakikada pompalanan su miktarının toplamıdır. Başlangıçta \( 100 \) litre ve her dakika \( 15t \) litre su eklenir. Dolayısıyla, \( S(t) = 15t + 100 \).

Bu fonksiyonun grafiğini yorumlayalım:

• Grafik, y eksenini \( 100 \) noktasında kesen ve yukarı doğru eğimli bir doğru şeklinde olacaktır.
• Y eksenini kestiği nokta (\( t=0 \) iken \( S(t) = 100 \)), pompanın çalışmaya başlamadan önceki başlangıç su miktarını gösterir.
• Doğrunun eğimi \( 15 \) olup, her bir dakika geçtikçe depoya \( 15 \) litre su eklendiğini ifade eder.

👉 Bu, başlangıç değeri olan bir niceliğin sabit bir hızla arttığı durumları temsil eden bir doğrusal fonksiyondur.

Yolcunun ödeyeceği toplam taksi ücretini bir fonksiyon olarak tanımlayalım:

• Bağımsız Değişken: Gidilen yol (kilometre olarak). Bunu \( x \) ile gösterelim.
• Bağımlı Değişken: Toplam taksi ücreti (TL olarak). Bunu \( T(x) \) ile gösterelim.
• Fonksiyon Kuralı: Toplam ücret, sabit açılış ücreti ile gidilen yolun kilometre başına maliyetinin toplamıdır. Açılış ücreti \( 10 \) TL ve her kilometre için \( 8x \) TL'dir. Dolayısıyla, \( T(x) = 8x + 10 \).

Bu fonksiyonun grafiğini yorumlayalım:

• Grafik, y eksenini \( 10 \) noktasında kesen ve yukarı doğru eğimli bir doğru olacaktır.
• Y eksenini kestiği nokta (\( x=0 \) iken \( T(x) = 10 \)), taksiye bindiğiniz anda ödenen açılış ücretini temsil eder.
• Doğrunun eğimi \( 8 \) olup, her bir kilometre yolculuğun ücrete \( 8 \) TL eklediğini gösterir.

💡 Taksi ücretleri gibi sabit bir başlangıç maliyeti olan ve gidilen mesafeye göre artan durumlar, bu tür doğrusal fonksiyonlarla modellenebilir.

Çiftçinin elde edeceği geliri bir fonksiyon olarak ifade edelim:

• Bağımsız Değişken: Satılan domates miktarı (kilogram olarak). Bunu \( x \) ile gösterelim.
• Bağımlı Değişken: Elde edilen toplam gelir (TL olarak). Bunu \( G(x) \) ile gösterelim.
• Fonksiyon Kuralı: Toplam gelir, satılan domates miktarının kilogram fiyatı ile çarpılmasıyla bulunur. Yani, \( G(x) = 6x \).

Şimdi bu fonksiyonun grafiğini yorumlayalım:

• Grafik, orijinden geçen ve yukarı doğru eğimli bir doğru şeklinde olacaktır.
• Orijinden geçmesi, \( 0 \) kilogram domates satıldığında \( 0 \) TL gelir elde edileceğini gösterir.
• Doğrunun eğimi \( 6 \) olduğundan, her \( 1 \) kilogramlık domates satışında gelirin \( 6 \) TL arttığını gösterir.
• Bu grafik, doğrusal bir ilişkiyi temsil eder. Satılan domates miktarı arttıkça gelir de doğru orantılı olarak artar.

✅ Bu, sabit birim fiyatla satılan ürünlerin gelirini modellemek için kullanılan temel bir doğrusal fonksiyondur.

Kullanıcının ödeyeceği toplam aylık ücreti bir fonksiyon olarak tanımlayalım: Bu durumda iki farklı durum söz konusudur:

• Durum 1: Kullanıcı \( 10 \) GB veya daha az internet kullanırsa (\( x \le 10 \)).
• Bu durumda sabit ücret \( 50 \) TL'dir. Yani, \( I(x) = 50 \) ( \( x \le 10 \) için).
• Durum 2: Kullanıcı \( 10 \) GB'tan fazla internet kullanırsa (\( x > 10 \)).
• Sabit ücret \( 50 \) TL'ye ek olarak, \( 10 \) GB'ı aşan her GB için \( 15 \) TL ödenir.
• Aşan GB miktarı \( x - 10 \) olur.
• Bu ek ücret \( 15 \times (x - 10) \) TL'dir.
• Toplam ücret \( I(x) = 50 + 15(x - 10) \) olur.
• Bu ifadeyi düzenlersek: \( I(x) = 50 + 15x - 150 \), yani \( I(x) = 15x - 100 \) ( \( x > 10 \) için).

Fonksiyonumuz parçalı bir fonksiyondur: \[ I(x) = \begin{cases} 50 & \text{eğer } x \le 10 \\ 15x - 100 & \text{eğer } x > 10 \end{cases} \] Bu fonksiyonun grafiğini yorumlayalım:

• Grafik, \( x \le 10 \) aralığında yatay bir doğru ( \( y=50 \) ) şeklinde olacaktır. Bu, \( 10 \) GB'a kadar sabit ücreti gösterir.
• \( x = 10 \) noktasında fonksiyonun değeri \( 50 \) olur.
• \( x > 10 \) aralığında ise grafik, eğimli bir doğru (\( y = 15x - 100 \)) şeklinde devam eder. Bu doğru, \( x=10 \) noktasından başlayarak artan ücreti gösterir.
• \( x=10 \) noktasında \( 15x - 100 = 15(10) - 100 = 150 - 100 = 50 \) olur. Yani grafik bu noktada süreklidir.
• Bu tür fonksiyonlar, belirli bir limiti aşınca maliyetin değiştiği durumları modellemek için kullanılır.

💡 Parçalı fonksiyonlar, farklı koşullar altında farklı kurallara sahip durumları temsil etmek için çok kullanışlıdır.