🎓 10. Sınıf
📚 10. Sınıf Matematik
💡 10. Sınıf Matematik: Fonksiyon eşitsizlik problemleri Çözümlü Örnekler
10. Sınıf Matematik: Fonksiyon eşitsizlik problemleri Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
\( f(x) = 3x - 12 \) fonksiyonu veriliyor.
Buna göre, \( f(x) > 0 \) eşitsizliğini sağlayan en küçük \( x \) tam sayısı kaçtır? 💡
Buna göre, \( f(x) > 0 \) eşitsizliğini sağlayan en küçük \( x \) tam sayısı kaçtır? 💡
Çözüm:
Bu soruyu çözmek için fonksiyonun kuralını eşitsizlikte yerine koymalıyız:
- Adım 1: Fonksiyonu eşitsizlikte yerine yazalım:
\[ 3x - 12 > 0 \] - Adım 2: Sabit terimi (–12) karşı tarafa "+" olarak geçirelim:
\[ 3x > 12 \] - Adım 3: Her iki tarafı 3'e bölelim:
\[ x > 4 \] - Adım 4: \( x \) değeri 4'ten büyük olmalıdır. Bu şartı sağlayan en küçük tam sayı 5'tir. ✅
Örnek 2:
Bir \( f(x) \) doğrusal fonksiyonunun grafiği \( x \) eksenini \( (4, 0) \) noktasında, \( y \) eksenini ise \( (0, -8) \) noktasında kesmektedir.
Buna göre, \( f(x) \le 0 \) eşitsizliğinin çözüm kümesi nedir? 📌
Buna göre, \( f(x) \le 0 \) eşitsizliğinin çözüm kümesi nedir? 📌
Çözüm:
Öncelikle doğrusal fonksiyonun denklemini bulalım:
- Adım 1: Eksenleri kestiği noktalar bilinen doğru denklemi formülünü kullanalım:
\[ \frac{x}{4} + \frac{y}{-8} = 1 \] - Adım 2: Denklemi düzenleyerek \( y \)'yi (yani \( f(x) \)'i) yalnız bırakalım. Paydaları 8'de eşitleyelim:
\[ 2x - y = 8 \]
\[ y = 2x - 8 \] - Adım 3: Şimdi \( f(x) \le 0 \) eşitsizliğini kuralım:
\[ 2x - 8 \le 0 \] - Adım 4: Eşitsizliği çözelim:
\[ 2x \le 8 \]
\[ x \le 4 \] - Sonuç: Çözüm kümesi \( (-\infty, 4] \) aralığıdır. ✅
Örnek 3:
Bir taksi durağında açılış ücreti 20 TL ve gidilen her kilometre başına 10 TL alınmaktadır.
Gidilen yol \( x \) (km) ve ödenecek ücret \( f(x) \) (TL) olmak üzere; 150 TL'den az parası olan bir kişinin gidebileceği tam sayı cinsinden en fazla yol kaç kilometredir? 🚕
Gidilen yol \( x \) (km) ve ödenecek ücret \( f(x) \) (TL) olmak üzere; 150 TL'den az parası olan bir kişinin gidebileceği tam sayı cinsinden en fazla yol kaç kilometredir? 🚕
Çözüm:
Günlük hayat problemini fonksiyonel bir ifadeye dönüştürelim:
- Adım 1: Ücret fonksiyonunu yazalım:
\( f(x) = 10x + 20 \) - Adım 2: Soruda ücretin 150 TL'den az olması isteniyor:
\[ 10x + 20 < 150 \] - Adım 3: Eşitsizliği çözelim:
\[ 10x < 130 \]
\[ x < 13 \] - Adım 4: \( x \) değeri 13'ten küçük olmalıdır. Bu durumda gidilebilecek en fazla tam sayı yol 12 kilometredir. ✅
Örnek 4:
\( f(x) = 2x + 5 \) ve \( g(x) = 5x - 7 \) fonksiyonları veriliyor.
\( f(x) \ge g(x) \) şartını sağlayan \( x \) gerçek sayılarının kümesini bulunuz. 🔍
\( f(x) \ge g(x) \) şartını sağlayan \( x \) gerçek sayılarının kümesini bulunuz. 🔍
Çözüm:
İki fonksiyonun kurallarını karşılaştıralım:
- Adım 1: Verilenleri eşitsizlikte yerine yazalım:
\[ 2x + 5 \ge 5x - 7 \] - Adım 2: Bilinenleri bir tarafa, bilinmeyenleri diğer tarafa toplayalım:
\[ 5 + 7 \ge 5x - 2x \]
\[ 12 \ge 3x \] - Adım 3: Her iki tarafı 3'e bölelim:
\[ 4 \ge x \] veya başka bir deyişle \( x \le 4 \) - Sonuç: Çözüm kümesi \( (-\infty, 4] \) aralığıdır. ✅
Örnek 5:
Bir su deposunda başlangıçta 400 litre su bulunmaktadır. Deponun altındaki musluk açıldığında her saatte depodan 25 litre su eksilmektedir.
Depodaki su miktarını zamana (\( t \)) bağlı gösteren fonksiyon \( V(t) \) olduğuna göre, depodaki suyun 150 litrenin altına düştüğü zaman aralığını bulunuz. 💧
Depodaki su miktarını zamana (\( t \)) bağlı gösteren fonksiyon \( V(t) \) olduğuna göre, depodaki suyun 150 litrenin altına düştüğü zaman aralığını bulunuz. 💧
Çözüm:
Zamana bağlı su miktarını veren fonksiyonu kuralım:
- Adım 1: Başlangıç 400, azalma miktarı saatte 25:
\( V(t) = 400 - 25t \) - Adım 2: Suyun 150 litreden az olması isteniyor:
\[ 400 - 25t < 150 \] - Adım 3: Eşitsizliği çözelim:
\[ 400 - 150 < 25t \]
\[ 250 < 25t \]
\[ 10 < t \] - Sonuç: Musluk açıldıktan 10 saat sonra depodaki su 150 litrenin altına düşer. ✅
Örnek 6:
\( f(x) = 4x - 8 \) fonksiyonu için;
\( -4 < f(x) \le 12 \)
eşitsizlik sistemini sağlayan \( x \) tam sayılarının toplamı kaçtır? 🧮
\( -4 < f(x) \le 12 \)
eşitsizlik sistemini sağlayan \( x \) tam sayılarının toplamı kaçtır? 🧮
Çözüm:
Bu bir bileşik eşitsizliktir ve fonksiyon kuralını ortaya yazarak çözülür:
- Adım 1: Fonksiyonu yerine koyalım:
\[ -4 < 4x - 8 \le 12 \] - Adım 2: Her tarafa 8 ekleyelim:
\[ -4 + 8 < 4x \le 12 + 8 \]
\[ 4 < 4x \le 20 \] - Adım 3: Her tarafı 4'e bölelim:
\[ 1 < x \le 5 \] - Adım 4: Bu aralıktaki \( x \) tam sayılarını bulalım:
\( x = \{2, 3, 4, 5\} \) - Adım 5: Bu sayıların toplamını hesaplayalım:
\[ 2 + 3 + 4 + 5 = 14 \] ✅
Örnek 7:
Tanım kümesi \( A = [-2, 3] \) olan \( f(x) = -2x + 10 \) fonksiyonunun görüntü kümesindeki en küçük ve en büyük tam sayı değerlerinin toplamı kaçtır? 📈
Çözüm:
Doğrusal fonksiyonlarda uç noktalar görüntü kümesinin sınırlarını belirler:
- Adım 1: Tanım kümesinin en küçük elemanı olan \( x = -2 \) için değeri bulalım:
\( f(-2) = -2 \cdot (-2) + 10 = 4 + 10 = 14 \) - Adım 2: Tanım kümesinin en büyük elemanı olan \( x = 3 \) için değeri bulalım:
\( f(3) = -2 \cdot (3) + 10 = -6 + 10 = 4 \) - Adım 3: Fonksiyon azalan olduğu için görüntü kümesi \( [4, 14] \) aralığıdır.
- Adım 4: En küçük değer 4, en büyük değer 14'tür.
Toplam: \( 4 + 14 = 18 \) ✅
Örnek 8:
Bir fidan dikildiğinde boyu 60 cm'dir. Bu fidan her ay 4 cm uzamaktadır.
Fidanın boyunun 1 metre ile 1.4 metre arasında (sınırlar dahil) olduğu aylar hangi aralıktadır? 🌱
Fidanın boyunun 1 metre ile 1.4 metre arasında (sınırlar dahil) olduğu aylar hangi aralıktadır? 🌱
Çözüm:
Önce birimleri eşitleyelim ve fonksiyonu kuralım:
- Adım 1: Birimler cm olsun. 1 metre = 100 cm, 1.4 metre = 140 cm.
- Adım 2: Boy fonksiyonu: \( h(t) = 4t + 60 \) (Burada \( t \) aydır).
- Adım 3: Eşitsizliği kuralım:
\[ 100 \le 4t + 60 \le 140 \] - Adım 4: Her taraftan 60 çıkaralım:
\[ 40 \le 4t \le 80 \] - Adım 5: Her tarafı 4'e bölelim:
\[ 10 \le t \le 20 \] - Sonuç: Fidanın boyu 10. ay ile 20. ay arasında istenen değerlerdedir. ✅
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/10-sinif-matematik-fonksiyon-esitsizlik-problemleri/sorular