🎓 10. Sınıf
📚 10. Sınıf Matematik
💡 10. Sınıf Matematik: Fonksiyon çeşitleri: Parçalı fonksiyon ve ters fonksiyon Çözümlü Örnekler
10. Sınıf Matematik: Fonksiyon çeşitleri: Parçalı fonksiyon ve ters fonksiyon Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Bir \(f\) fonksiyonu, \(f(x) = \begin{cases} 2x + 1 & \text{eğer } x < 3 \\ x^2 - 5 & \text{eğer } x \ge 3 \end{cases}\) şeklinde tanımlanmıştır.
Buna göre, \(f(2)\) ve \(f(4)\) değerlerini bulunuz. 💡
Çözüm:
Parçalı fonksiyonlarda, hangi parçanın kullanılacağını belirlemek için verilen \(x\) değerinin hangi koşulu sağladığına bakarız.
- \(f(2)\) değerini bulma:
- Verilen \(x\) değeri 2'dir.
- \(x < 3\) koşulu sağlanır (çünkü \(2 < 3\)).
- Bu nedenle, fonksiyonun ilk parçası kullanılır: \(f(x) = 2x + 1\).
- \(f(2) = 2 \cdot 2 + 1 = 4 + 1 = 5\) bulunur.
- \(f(4)\) değerini bulma:
- Verilen \(x\) değeri 4'tür.
- \(x \ge 3\) koşulu sağlanır (çünkü \(4 \ge 3\)).
- Bu nedenle, fonksiyonun ikinci parçası kullanılır: \(f(x) = x^2 - 5\).
- \(f(4) = 4^2 - 5 = 16 - 5 = 11\) bulunur.
Örnek 2:
\(g(x) = \begin{cases} 3x - 2 & \text{eğer } x \le 1 \\ -x + 4 & \text{eğer } x > 1 \end{cases}\) şeklinde tanımlanan \(g\) fonksiyonu için \(g(-3)\) ve \(g(5)\) değerlerini hesaplayınız. 👉
Çözüm:
Fonksiyonun tanımına göre uygun parçayı seçelim:
- \(g(-3)\) değerini hesaplama:
- \(x = -3\) değeri, \(x \le 1\) koşulunu sağlar.
- Bu durumda \(g(x) = 3x - 2\) kullanılır.
- \(g(-3) = 3 \cdot (-3) - 2 = -9 - 2 = -11\) olur.
- \(g(5)\) değerini hesaplama:
- \(x = 5\) değeri, \(x > 1\) koşulunu sağlar.
- Bu durumda \(g(x) = -x + 4\) kullanılır.
- \(g(5) = -5 + 4 = -1\) olur.
Örnek 3:
\(h(x) = \begin{cases} x + 5 & \text{eğer } x \text{ çift sayı} \\ 2x & \text{eğer } x \text{ tek sayı} \end{cases}\) şeklinde tanımlanan \(h\) fonksiyonu için \(h(6)\) ve \(h(7)\) değerlerini bulunuz. 🤔
Çözüm:
Bu fonksiyon, girdinin çift veya tek olmasına göre farklı işlem yapar.
- \(h(6)\) değerini bulma:
- \(x = 6\) çift bir sayıdır.
- Bu durumda fonksiyonun ilk kuralı kullanılır: \(h(x) = x + 5\).
- \(h(6) = 6 + 5 = 11\) bulunur.
- \(h(7)\) değerini bulma:
- \(x = 7\) tek bir sayıdır.
- Bu durumda fonksiyonun ikinci kuralı kullanılır: \(h(x) = 2x\).
- \(h(7) = 2 \cdot 7 = 14\) bulunur.
Örnek 4:
\(f(x) = 3x - 1\) fonksiyonunun ters fonksiyonu olan \(f^{-1}(x)\)'i bulunuz. 🔄
Çözüm:
Ters fonksiyonu bulmak için şu adımları izleriz:
- 1. Adım: Fonksiyonu \(y = f(x)\) şeklinde yazın.
- \(y = 3x - 1\)
- 2. Adım: \(x\)'i \(y\) cinsinden ifade edin.
- \(y + 1 = 3x\)
- \(x = \frac{y + 1}{3}\)
- 3. Adım: \(x\) ve \(y\) değişkenlerinin yerini değiştirin.
- \(y = \frac{x + 1}{3}\)
- 4. Adım: \(y\)'yi \(f^{-1}(x)\) ile değiştirin.
- \(f^{-1}(x) = \frac{x + 1}{3}\)
Örnek 5:
\(g(x) = \frac{x}{2} + 4\) fonksiyonunun ters fonksiyonu \(g^{-1}(x)\)'i bulunuz. 🔍
Çözüm:
Ters fonksiyon bulma adımlarını uygulayalım:
- 1. Adım: \(y = g(x)\) olarak yazalım.
- \(y = \frac{x}{2} + 4\)
- 2. Adım: \(x\)'i \(y\) cinsinden yalnız bırakalım.
- \(y - 4 = \frac{x}{2}\)
- \(2(y - 4) = x\)
- \(x = 2y - 8\)
- 3. Adım: Değişkenlerin yerini değiştirelim.
- \(y = 2x - 8\)
- 4. Adım: \(y\)'yi \(g^{-1}(x)\) ile gösterelim.
- \(g^{-1}(x) = 2x - 8\)
Örnek 6:
Bir yazılım şirketi, kullanıcıların üyelik seviyelerine göre farklı özellikler sunmaktadır.
Üyelik seviyesi \(x\) olmak üzere, sunulan özellik sayısı \(f(x)\) ile gösteriliyor ve şu şekilde tanımlanıyor:
\(f(x) = \begin{cases} 50 & \text{eğer } x = 1 \text{ (Bronz)} \\ 100 & \text{eğer } x = 2 \text{ (Gümüş)} \\ 150 & \text{eğer } x = 3 \text{ (Altın)} \end{cases}\)
Bir kullanıcı Bronz üyeliktedir (\(x=1\)). Bu kullanıcıya kaç özellik sunulur? Eğer bir kullanıcı 120 özellikten faydalanıyorsa, üyelik seviyesi nedir? 💻
Çözüm:
Bu, bir parçalı fonksiyon örneğidir ve üyelik seviyesine göre sunulan özellik sayısını gösterir.
- Bronz üyelik (\(x=1\)) için özellik sayısı:
- Fonksiyon tanımına göre, \(x=1\) olduğunda \(f(x) = 50\) olur.
- Yani, Bronz üyeye 50 özellik sunulur.
- 120 özellikten faydalanan kullanıcının üyelik seviyesi:
- Sunulan özellik sayısı 120'dir, yani \(f(x) = 120\).
- Fonksiyonun tanımına baktığımızda, hiçbir seviye için 120 özellik sunulmadığını görüyoruz. Bu durum, sorunun kurgusunda bir eksiklik olabileceğini veya bu seviyenin tanımlanmamış olduğunu gösterebilir. Ancak, eğer bu bir sınav sorusu ise ve seçenekler varsa, en yakın veya mantıksal bir çıkarım yapılabilir.
- Eğer soruda bir hata yoksa ve bu değerler arasında bir seviye olsaydı, bu seviye için bir kural tanımlanması gerekirdi. Mevcut tanıma göre 120 özellik karşılığı bir üyelik seviyesi yoktur.
- Not: Eğer soruda bir yanlışlık yoksa ve bu bir "yeni nesil" soru ise, "tanımsız" veya "bu seviye mevcut değil" gibi bir cevap beklenebilir. Ancak genellikle bu tür sorularda bir karşılık bulunur. Varsayımsal olarak, eğer Gümüş ve Altın arasında bir seviye olsaydı ve özellik sayısı doğrusal artsaydı, bu seviye hesaplanabilirdi. Mevcut haliyle, 120 özellik için doğrudan bir karşılık bulunmamaktadır.
Örnek 7:
Bir taksi şirketi, taksimetre ücretini şu şekilde hesaplamaktadır:
Açılış ücreti 10 TL'dir. İlk 5 km için kilometre başına 5 TL, 5 km'den sonraki her kilometre için ise kilometre başına 7 TL alınmaktadır.
Bu durumu bir parçalı fonksiyon olarak ifade edelim: \(f(x)\), \(x\) kilometre yol gidildiğinde ödenecek toplam ücret olsun.
Buna göre, 3 km ve 8 km yol gidildiğinde ödenecek ücretleri hesaplayınız. 🚕
Çözüm:
Öncelikle fonksiyonu tanımlayalım:
\(f(x) = \begin{cases} 10 + 5x & \text{eğer } 0 < x \le 5 \\ 10 + 5 \cdot 5 + 7(x-5) & \text{eğer } x > 5 \end{cases}\)
Bu fonksiyonu daha sade hale getirebiliriz:
\(f(x) = \begin{cases} 10 + 5x & \text{eğer } 0 < x \le 5 \\ 35 + 7x - 35 & \text{eğer } x > 5 \end{cases}\)
\(f(x) = \begin{cases} 10 + 5x & \text{eğer } 0 < x \le 5 \\ 7x & \text{eğer } x > 5 \end{cases}\)
Şimdi hesaplamaları yapalım:
- 3 km yol gidildiğinde ödenecek ücret:
- Burada \(x = 3\)'tür.
- \(x \le 5\) koşulu sağlandığı için ilk parçayı kullanırız: \(f(x) = 10 + 5x\).
- \(f(3) = 10 + 5 \cdot 3 = 10 + 15 = 25\) TL.
- 8 km yol gidildiğinde ödenecek ücret:
- Burada \(x = 8\)'dir.
- \(x > 5\) koşulu sağlandığı için ikinci parçayı kullanırız: \(f(x) = 7x\).
- \(f(8) = 7 \cdot 8 = 56\) TL.
Örnek 8:
\(f(x) = \frac{x+1}{2}\) ve \(g(x) = 4x - 3\) fonksiyonları veriliyor.
Buna göre, \((f \circ g)(x)\) bileşke fonksiyonunu bulunuz ve bu fonksiyonun tersi olan \((f \circ g)^{-1}(x)\)'i hesaplayınız. 🧮
Çözüm:
Önce bileşke fonksiyonu bulalım:
- \((f \circ g)(x)\) bileşkesini bulma:
- \((f \circ g)(x) = f(g(x))\) demektir.
- \(g(x)\) fonksiyonunu \(f(x)\) fonksiyonunda \(x\) yerine yazacağız.
- \(f(x) = \frac{x+1}{2}\)
- \(f(g(x)) = f(4x - 3) = \frac{(4x - 3) + 1}{2}\)
- \(f(g(x)) = \frac{4x - 2}{2}\)
- \(f(g(x)) = 2x - 1\)
- \((f \circ g)^{-1}(x)\) tersini bulma:
- Bulduğumuz bileşke fonksiyon \(h(x) = 2x - 1\)'dir.
- Tersini bulmak için \(y = 2x - 1\) yazıp \(x\)'i \(y\) cinsinden ifade edelim.
- \(y + 1 = 2x\)
- \(x = \frac{y + 1}{2}\)
- Değişkenleri değiştirirsek: \(y = \frac{x + 1}{2}\)
- Yani, \((f \circ g)^{-1}(x) = \frac{x + 1}{2}\) olur.
Örnek 9:
Bir firma, ürettiği ürünlerin fiyatlandırmasını iki farklı şekilde yapmaktadır.
Eğer ürün adedi \(x\) 100'den az ise, toplam fiyat \(f(x) = 15x\) TL'dir.
Eğer ürün adedi \(x\) 100 veya daha fazla ise, ilk 100 ürün için toplam 1500 TL alınır ve 100'den sonraki her bir ürün için ek olarak 12 TL alınır.
Bu durumu bir parçalı fonksiyon olarak ifade ediniz ve 80 adet ürün ile 150 adet ürün için ödenecek toplam fiyatları hesaplayınız. 🏭
Çözüm:
Öncelikle fonksiyonu tanımlayalım:
- Durum 1: Ürün adedi 100'den az (\(x < 100\)).
- Toplam fiyat: \(f(x) = 15x\)
- Durum 2: Ürün adedi 100 veya daha fazla (\(x \ge 100\)).
- İlk 100 ürün için sabit ücret: 1500 TL.
- 100'den sonraki ürün adedi: \(x - 100\).
- Bu ek ürünler için alınacak ücret: \(12(x - 100)\).
- Toplam fiyat: \(f(x) = 1500 + 12(x - 100)\)
- Bu ifadeyi sadeleştirelim: \(f(x) = 1500 + 12x - 1200 = 12x + 300\).
- 80 adet ürün için ödenecek toplam fiyat:
- Burada \(x = 80\)'dir.
- \(x < 100\) koşulu sağlandığı için ilk parçayı kullanırız: \(f(x) = 15x\).
- \(f(80) = 15 \cdot 80 = 1200\) TL.
- 150 adet ürün için ödenecek toplam fiyat:
- Burada \(x = 150\)'dir.
- \(x \ge 100\) koşulu sağlandığı için ikinci parçayı kullanırız: \(f(x) = 12x + 300\).
- \(f(150) = 12 \cdot 150 + 300 = 1800 + 300 = 2100\) TL.
Örnek 10:
\(f(x) = 5x + 2\) fonksiyonunun tersi \(f^{-1}(x)\) nedir? 🧐
Çözüm:
Ters fonksiyonu bulmak için adımları izleyelim:
- 1. Adım: \(y = 5x + 2\) yazalım.
- 2. Adım: \(x\)'i yalnız bırakalım.
- \(y - 2 = 5x\)
- \(x = \frac{y - 2}{5}\)
- 3. Adım: Değişkenlerin yerini değiştirelim.
- \(y = \frac{x - 2}{5}\)
- 4. Adım: \(f^{-1}(x)\) olarak ifade edelim.
- \(f^{-1}(x) = \frac{x - 2}{5}\)
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/10-sinif-matematik-fonksiyon-cesitleri-parcali-fonksiyon-ve-ters-fonksiyon/sorular