🎓 10. Sınıf
📚 10. Sınıf Matematik
💡 10. Sınıf Matematik: Fonksiyon Çeşitleri: Karesel ve Karekök Fonksiyonlar Çözümlü Örnekler
10. Sınıf Matematik: Fonksiyon Çeşitleri: Karesel ve Karekök Fonksiyonlar Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Bir fonksiyonun karesel olup olmadığını anlamak için grafiğine bakabiliriz. Eğer grafiği bir parabol şeklinde ise, bu fonksiyon karesel bir fonksiyondur. Örneğin, \( f(x) = x^2 \) fonksiyonunun grafiği bir paraboldür. 💡
Çözüm:
- Karesel fonksiyonlar, ikinci dereceden polinom fonksiyonlardır.
- Genel formları \( f(x) = ax^2 + bx + c \) şeklindedir, burada \( a \neq 0 \).
- Grafikleri her zaman bir parabol şeklindedir.
- Parabolün kolları yukarı veya aşağı doğru olabilir. Bu, \( a \) katsayısının işaretine bağlıdır.
Örnek 2:
Karekök fonksiyonlar, genellikle bir değişkenin karekökünü içeren fonksiyonlardır. Bu fonksiyonların en belirgin özelliği, tanım kümelerinin genellikle negatif olmayan reel sayılar olmasıdır. Örneğin, \( g(x) = \sqrt{x} \) fonksiyonu bir karekök fonksiyondur. 📌
Çözüm:
- Karekök fonksiyonların genel formu \( f(x) = \sqrt[n]{x} \) veya \( f(x) = \sqrt{ax+b} \) gibi olabilir.
- Özellikle \( n=2 \) olduğunda, yani \( f(x) = \sqrt{x} \) olduğunda, tanım kümesi \( [0, \infty) \) olur.
- Bu fonksiyonların grafikleri, genellikle sağa doğru açılan bir eğri şeklindedir.
- Karekök içindeki ifadenin negatif olmaması gerekir.
Örnek 3:
\( f(x) = 2x^2 - 4x + 1 \) karesel fonksiyonunun grafiği hangi yöne bakar? Parabolün tepe noktasının koordinatları nedir? 📈
Çözüm:
- Yön Belirleme: Karesel fonksiyonun genel formu \( f(x) = ax^2 + bx + c \) idi. Burada \( a = 2 \). \( a \) katsayısı pozitif olduğu için, parabol yukarı doğru bakar.
- Tepe Noktası Hesaplama: Tepe noktasının x-koordinatı \( x_0 = -\frac{b}{2a} \) formülü ile bulunur.
- \( x_0 = -\frac{-4}{2 \cdot 2} = -\frac{-4}{4} = 1 \)
- Tepe noktasının y-koordinatı ise \( y_0 = f(x_0) \) ile bulunur.
- \( y_0 = f(1) = 2(1)^2 - 4(1) + 1 = 2 - 4 + 1 = -1 \)
- Dolayısıyla, tepe noktasının koordinatları (1, -1)'dir.
Örnek 4:
\( h(x) = \sqrt{3x - 6} \) fonksiyonunun en geniş tanım kümesi nedir? Bu fonksiyonun grafiğinin başlangıç noktası hangi koordinattadır? 📍
Çözüm:
- Tanım Kümesi: Karekök fonksiyonlarda, kök içindeki ifadenin negatif olmaması gerekir.
- \( 3x - 6 \ge 0 \)
- \( 3x \ge 6 \)
- \( x \ge 2 \)
- En geniş tanım kümesi \( [2, \infty) aralığıdır.
- Grafik Başlangıç Noktası: Fonksiyonun tanımlı olduğu en küçük x değeri, grafiğin başlangıç noktasıdır. Bu değer \( x=2 \)'dir. Bu noktada fonksiyonun değeri:
- \( h(2) = \sqrt{3(2) - 6} = \sqrt{6 - 6} = \sqrt{0} = 0 \)
- Dolayısıyla, grafiğin başlangıç noktası (2, 0)'dır.
Örnek 5:
Bir çiftçi, tarlasındaki domates üretimini artırmak için yeni bir gübre kullanmaya karar veriyor. Gübrenin miktarına (x kg) bağlı olarak elde edeceği domates miktarını (y kg) gösteren fonksiyonun \( f(x) = -x^2 + 10x \) şeklinde karesel bir fonksiyon olduğu hesaplanıyor. Çiftçinin en fazla kaç kg domates elde edebileceğini ve bunun için kaç kg gübre kullanması gerektiğini bulunuz. 🍅
Çözüm:
- Fonksiyonumuz \( f(x) = -x^2 + 10x \). Bu bir karesel fonksiyondur ve grafiği aşağı doğru bakar (çünkü \( a = -1 < 0 \)). En fazla domates miktarı, parabolün tepe noktasının y-koordinatında bulunur.
- Gerekli Gübre Miktarı (x-koordinatı): Tepe noktasının x-koordinatı \( x_0 = -\frac{b}{2a} \) ile bulunur.
- \( x_0 = -\frac{10}{2 \cdot (-1)} = -\frac{10}{-2} = 5 \) kg gübre.
- En Fazla Domates Miktarı (y-koordinatı): Bu x değerini fonksiyonda yerine koyarız.
- \( f(5) = -(5)^2 + 10(5) = -25 + 50 = 25 \) kg domates.
- Çiftçi 5 kg gübre kullanarak en fazla 25 kg domates elde edebilir.
Örnek 6:
Bir su deposunun içine yerleştirilen bir pompa, depodaki su miktarını (t dakika sonra litre cinsinden) \( f(t) = \sqrt{4t + 16} \) fonksiyonu ile belirlemektedir. Pompa çalışmaya başladıktan 6 dakika sonra depoda kaç litre su olur? Deponun başlangıçta (t=0 anında) ne kadar suyu olduğunu bulunuz. 💧
Çözüm:
- Fonksiyonumuz \( f(t) = \sqrt{4t + 16} \).
- 6 dakika sonraki su miktarı: \( t=6 \) değerini fonksiyonda yerine koyalım.
- \( f(6) = \sqrt{4(6) + 16} = \sqrt{24 + 16} = \sqrt{40} \) litre.
- \( \sqrt{40} \) yaklaşık olarak \( \sqrt{36} = 6 \) ve \( \sqrt{49} = 7 \) arasında bir değerdir. Tam olarak \( \sqrt{40} = \sqrt{4 \cdot 10} = 2\sqrt{10} \) litre olarak ifade edilebilir.
- Başlangıçtaki su miktarı (t=0): \( t=0 \) değerini fonksiyonda yerine koyalım.
- \( f(0) = \sqrt{4(0) + 16} = \sqrt{0 + 16} = \sqrt{16} = 4 \) litre.
- Pompa çalışmaya başladıktan 6 dakika sonra depoda \( 2\sqrt{10} \) litre su olur ve başlangıçta depoda 4 litre su vardı.
Örnek 7:
Bir sporcunun zıplama yüksekliği (h metre) ile ilgili yapılan bir araştırmada, sporcunun ilk çıkış hızına (v metre/saniye) bağlı olarak bu yüksekliğin \( h(v) = \frac{v^2}{2g} \) formülüyle (burada g yerçekimi ivmesidir, yaklaşık 9.8 m/s²) modellenebileceği bulunmuştur. Eğer sporcunun ilk çıkış hızı 14 m/s ise, zıplama yüksekliği yaklaşık olarak kaç metre olur? 🏃
Çözüm:
- Fonksiyonumuz \( h(v) = \frac{v^2}{2g} \).
- Verilenler: \( v = 14 \) m/s ve \( g \approx 9.8 \) m/s².
- Zıplama Yüksekliğini Hesaplama:
- \( h(14) = \frac{(14)^2}{2 \cdot 9.8} \)
- \( h(14) = \frac{196}{19.6} \)
- \( h(14) = 10 \) metre.
- Sporcu, 14 m/s ilk çıkış hızıyla yaklaşık olarak 10 metre yükseğe zıplayabilir.
Örnek 8:
Bir inşaat firması, bir binanın temel kazısı sırasında toprağın derinliği arttıkça (d metre) karşılaştığı toprak basıncını (P Pascal) ölçüyor. Bu basıncın \( P(d) = \sqrt{5d + 20} \) şeklinde bir karekök fonksiyonu ile değiştiği gözlemleniyor. Temel kazısı 10 metre derinliğe ulaştığında toprak basıncı kaç Pascal olur? 🏗️
Çözüm:
- Fonksiyonumuz \( P(d) = \sqrt{5d + 20} \).
- Verilen derinlik \( d = 10 \) metre.
- Toprak Basıncını Hesaplama:
- \( P(10) = \sqrt{5(10) + 20} \)
- \( P(10) = \sqrt{50 + 20} \)
- \( P(10) = \sqrt{70} \) Pascal.
- \( \sqrt{70} \) yaklaşık olarak \( \sqrt{64} = 8 \) ve \( \sqrt{81} = 9 \) arasındadır. Tam olarak \( \sqrt{70} \) Pascal'dır.
- Temel kazısı 10 metre derinliğe ulaştığında toprak basıncı yaklaşık olarak \( \sqrt{70} \) Pascal olur.
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/10-sinif-matematik-fonksiyon-cesitleri-karesel-ve-karekok-fonksiyonlar/sorular