💡 10. Sınıf Matematik: Farklı alanlarda rasyonel sayılar Çözümlü Örnekler

Bu problemi adım adım çözelim:

• Adım 1: Kullanılan un miktarını hesaplayalım.
• Toplam un miktarı: 48 kg
• Kullanılan oran: \( \frac{3}{8} \)
• Kullanılan un miktarı = \( 48 \times \frac{3}{8} \)
• Kullanılan un miktarı = \( \frac{48 \times 3}{8} \)
• Kullanılan un miktarı = \( 6 \times 3 = 18 \) kg ✅
• Adım 2: Kalan un miktarını bulalım.
• Kalan un miktarı = Toplam un miktarı - Kullanılan un miktarı
• Kalan un miktarı = \( 48 - 18 \)
• Kalan un miktarı = 30 kg 💡

Geriye 30 kg un kalmıştır.

Tarlanın tamamını bir bütün olarak düşünelim (1 bütün).

• Adım 1: Buğday ekilen alanı bulalım.
• Tarlanın \( \frac{2}{5} \) 'ine buğday ekilmiş.
• Adım 2: Kalan alanı hesaplayalım.
• Kalan alan = \( 1 - \frac{2}{5} = \frac{5}{5} - \frac{2}{5} = \frac{3}{5} \)
• Adım 3: Mısır ekilen alanı bulalım.
• Kalan alanın \( \frac{1}{3} \) 'üne mısır ekilmiş.
• Mısır ekilen alan = \( \frac{3}{5} \times \frac{1}{3} = \frac{3 \times 1}{5 \times 3} = \frac{3}{15} = \frac{1}{5} \)
• Adım 4: Ekilmeyen alanı bulalım.
• Ekilen toplam alan = Buğday ekilen alan + Mısır ekilen alan
• Ekilen toplam alan = \( \frac{2}{5} + \frac{1}{5} = \frac{3}{5} \)
• Ekmeyen alan = Tarlanın tamamı - Ekilen toplam alan
• Ekmeyen alan = \( 1 - \frac{3}{5} = \frac{5}{5} - \frac{3}{5} = \frac{2}{5} \) ✅

Çiftçinin tarlasının ekilmeyen kısmı başlangıçtaki tarlanın \( \frac{2}{5} \) 'idir.

Bu problemi adım adım çözelim:

• Adım 1: İlk ayda yapılan işin oranını belirleyelim.
• İlk ay yapılan: \( \frac{1}{4} \)
• Adım 2: Kalan iş oranını hesaplayalım.
• Kalan iş = \( 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4} \)
• Adım 3: İkinci ayda yapılan işin oranını bulalım.
• İkinci ay yapılan = Kalan işin \( \frac{2}{3} \) 'ü
• İkinci ay yapılan = \( \frac{3}{4} \times \frac{2}{3} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2} \)
• Adım 4: İki ay sonunda kalan işin oranını hesaplayalım.
• İki ayda yapılan toplam iş = İlk ay yapılan + İkinci ay yapılan
• İki ayda yapılan toplam iş = \( \frac{1}{4} + \frac{1}{2} = \frac{1}{4} + \frac{2}{4} = \frac{3}{4} \)
• İki ay sonunda kalan iş = \( 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4} \)
• Adım 5: Binanın tamamının maliyetini hesaplayalım.
• Kalan iş \( \frac{1}{4} \) 'i 50000 TL'ye devredilmiş.
• Binanın tamamının maliyeti = \( 50000 \times 4 \)
• Binanın tamamının maliyeti = 200000 TL ✅

Binanın tamamı 200000 TL'dir.

Bu problemi adım adım çözelim:

• Adım 1: Başlangıçtaki portakal sayısını \( x \) olarak kabul edelim.
• Adım 2: Birinci müşteriye satılan portakal sayısını bulalım.
• Birinci müşteriye satılan = \( \frac{1}{3} x \)
• Adım 3: Kalan portakal sayısını hesaplayalım.
• Kalan portakal = \( x - \frac{1}{3} x = \frac{2}{3} x \)
• Adım 4: İkinci müşteriye satılan portakal sayısını bulalım.
• İkinci müşteriye satılan = Kalan portakalların \( \frac{1}{2} \) 'si
• İkinci müşteriye satılan = \( \frac{2}{3} x \times \frac{1}{2} = \frac{2}{6} x = \frac{1}{3} x \)
• Adım 5: Manavın elinde kalan portakal sayısını denklemle ifade edelim.
• Toplam satılan = Birinci müşteri + İkinci müşteri
• Toplam satılan = \( \frac{1}{3} x + \frac{1}{3} x = \frac{2}{3} x \)
• Manavda kalan = Başlangıçtaki portakal - Toplam satılan
• Manavda kalan = \( x - \frac{2}{3} x = \frac{1}{3} x \)
• Adım 6: Verilen bilgiye göre denklemi kuralım ve \( x \) değerini bulalım.
• Manavda kalan portakal sayısı 15'tir.
• \( \frac{1}{3} x = 15 \)
• \( x = 15 \times 3 \)
• \( x = 45 \) ✅

Manavın başlangıçta 45 portakalı vardı.

Bu problemi günlük hayat örneği üzerinden çözelim:

• Adım 1: Sürahide kalan su oranını bulalım.
• Sürahinin tamamı 1 bütündür.
• İçilen kısım: \( \frac{3}{5} \)
• Kalan kısım = \( 1 - \frac{3}{5} = \frac{5}{5} - \frac{3}{5} = \frac{2}{5} \)
• Adım 2: Kalan su miktarını kullanarak sürahinin tamamının hacmini hesaplayalım.
• Sürahide kalan su miktarı 600 ml'dir ve bu, sürahinin \( \frac{2}{5} \) 'ine denk gelmektedir.
• Eğer \( \frac{2}{5} \) 'i 600 ml ise,
• \( \frac{1}{5} \) 'i = \( 600 \div 2 = 300 \) ml
• Sürahinin tamamı \( \frac{5}{5} \) 'tir.
• Sürahinin tamamı = \( 300 \times 5 = 1500 \) ml ✅

Sürahinin tamamı 1500 ml su almaktadır.

Terzinin durumu için adım adım çözüm:

• Adım 1: Elbise için kullanılan kumaş miktarını hesaplayalım.
• Toplam kumaş: 24 metre
• Kullanılan oran: \( \frac{5}{6} \)
• Kullanılan kumaş = \( 24 \times \frac{5}{6} \)
• Kullanılan kumaş = \( \frac{24 \times 5}{6} \)
• Kullanılan kumaş = \( 4 \times 5 = 20 \) metre ✅
• Adım 2: Geriye kalan kumaş miktarını bulalım.
• Kalan kumaş = Toplam kumaş - Kullanılan kumaş
• Kalan kumaş = \( 24 - 20 \)
• Kalan kumaş = 4 metre 💡

Terziye 4 metre kumaş kalmıştır.

Bisikletlinin yolculuğunu adım adım inceleyelim:

• Adım 1: İlk gün gidilen yolun oranını belirleyelim.
• İlk gün gidilen: \( \frac{3}{7} \)
• Adım 2: İlk gün sonunda kalan yolun oranını hesaplayalım.
• Kalan yol = \( 1 - \frac{3}{7} = \frac{7}{7} - \frac{3}{7} = \frac{4}{7} \)
• Adım 3: İkinci gün gidilen yolun oranını bulalım.
• İkinci gün gidilen = Kalan yolun \( \frac{1}{2} \) 'si
• İkinci gün gidilen = \( \frac{4}{7} \times \frac{1}{2} = \frac{4}{14} = \frac{2}{7} \)
• Adım 4: İki gün sonunda kalan yolun oranını hesaplayalım.
• İki gün toplam gidilen yol = İlk gün + İkinci gün
• İki gün toplam gidilen yol = \( \frac{3}{7} + \frac{2}{7} = \frac{5}{7} \)
• İki gün sonunda kalan yol = \( 1 - \frac{5}{7} = \frac{2}{7} \)
• Adım 5: Geriye kalan yol miktarına göre toplam yolu hesaplayalım.
• Geriye kalan yol 45 km'dir ve bu, toplam yolun \( \frac{2}{7} \)'sine denk gelmektedir.
• Eğer \( \frac{2}{7} \) yol 45 km ise,
• \( \frac{1}{7} \) yol = \( 45 \div 2 = 22.5 \) km
• Toplam yol \( \frac{7}{7} \)'dir.
• Toplam yol = \( 22.5 \times 7 = 157.5 \) km ✅

Bisikletlinin gideceği toplam yol 157.5 km'dir.

Pasta ustasının hamur hesaplamasını adım adım yapalım:

• Adım 1: Başlangıçtaki hamur miktarını \( x \) gram olarak kabul edelim.
• Adım 2: Kek için kullanılan hamur miktarını bulalım.
• Kek için kullanılan = \( \frac{1}{5} x \)
• Adım 3: Kalan hamur miktarını hesaplayalım.
• Kalan hamur = \( x - \frac{1}{5} x = \frac{4}{5} x \)
• Adım 4: Börek için kullanılan hamur miktarını bulalım.
• Börek için kullanılan = Kalan hamurun \( \frac{3}{4} \) 'ü
• Börek için kullanılan = \( \frac{4}{5} x \times \frac{3}{4} = \frac{12}{20} x = \frac{3}{5} x \)
• Adım 5: Geriye kalan hamur miktarını denklemle ifade edelim.
• Toplam kullanılan hamur = Kek için + Börek için
• Toplam kullanılan hamur = \( \frac{1}{5} x + \frac{3}{5} x = \frac{4}{5} x \)
• Geriye kalan hamur = Başlangıçtaki hamur - Toplam kullanılan hamur
• Geriye kalan hamur = \( x - \frac{4}{5} x = \frac{1}{5} x \)
• Adım 6: Verilen bilgiye göre denklemi kuralım ve \( x \) değerini bulalım.
• Geriye kalan hamur 120 gramdır.
• \( \frac{1}{5} x = 120 \)
• \( x = 120 \times 5 \)
• \( x = 600 \) gram ✅

Usta başlangıçta 600 gram hamur hazırlamıştır.

Kitap okuma etkinliğini adım adım analiz edelim:

• Adım 1: Kitabın tamamını bir bütün olarak kabul edelim (1 bütün).
• Adım 2: İlk gün okunan sayfa oranını belirleyelim.
• İlk gün okunan: \( \frac{2}{9} \)
• Adım 3: İlk gün sonunda okunmayan sayfa oranını hesaplayalım.
• Okunmayan (ilk gün sonrası) = \( 1 - \frac{2}{9} = \frac{7}{9} \)
• Adım 4: İkinci gün okunan sayfa oranını bulalım.
• İkinci gün okunan = Okunmayan (ilk gün sonrası) kısmının \( \frac{1}{3} \) 'ü
• İkinci gün okunan = \( \frac{7}{9} \times \frac{1}{3} = \frac{7}{27} \)
• Adım 5: Toplam okunan sayfa oranını hesaplayalım.
• Toplam okunan = İlk gün okunan + İkinci gün okunan
• Toplam okunan = \( \frac{2}{9} + \frac{7}{27} \)
• Paydaları eşitleyelim: \( \frac{2 \times 3}{9 \times 3} + \frac{7}{27} = \frac{6}{27} + \frac{7}{27} = \frac{13}{27} \)
• Adım 6: Okunmayan sayfa oranını ve sayısını kullanarak toplam sayfa sayısını bulalım.
• Toplam okunmayan sayfa oranı = \( 1 - \frac{13}{27} = \frac{14}{27} \)
• Okunmayan sayfa sayısı 160'tır.
• Eğer \( \frac{14}{27} \) 'si 160 sayfa ise,
• \( \frac{1}{27} \) 'si = \( 160 \div 14 = \frac{160}{14} = \frac{80}{7} \)
• Kitabın toplam sayfa sayısı \( \frac{27}{27} \)'dir.
• Toplam sayfa sayısı = \( \frac{80}{7} \times 27 = \frac{2160}{7} \)
• Bu sonuç tam sayı çıkmadığı için soruda bir hata olabilir veya kesirli sonuç kabul edilebilir. Ancak genellikle bu tür sorularda tam sayılar beklenir. Soruyu tekrar kontrol edelim. Eğer ikinci gün okunan, ilk gün okunduktan sonra kalan kısmın \( \frac{1}{3} \) 'ü değil de, toplam sayfanın \( \frac{1}{3} \) 'ü olsaydı, sonuç farklı olurdu. Mevcut haliyle devam edelim.
• Tekrar kontrol: İlk gün \( \frac{2}{9} \), kalan \( \frac{7}{9} \). İkinci gün kalanın \( \frac{1}{3} \) 'ü, yani \( \frac{7}{9} \times \frac{1}{3} = \frac{7}{27} \).
• Toplam okunan \( \frac{2}{9} + \frac{7}{27} = \frac{6}{27} + \frac{7}{27} = \frac{13}{27} \).
• Okunmayan \( 1 - \frac{13}{27} = \frac{14}{27} \).
• \( \frac{14}{27} \) 'si = 160 sayfa.
• Toplam sayfa = \( 160 \times \frac{27}{14} = \frac{160 \times 27}{14} = \frac{80 \times 27}{7} = \frac{2160}{7} \)
• Bu sorunun tam sayı bir cevabı olabilmesi için, örneğin okunmayan sayfa sayısının 140 veya 280 gibi 14'ün katı olması gerekirdi. Mevcut haliyle cevap kesirlidir.
• Varsayımsal Düzeltme (Eğer soru tam sayı cevap verecek şekilde olsaydı): Diyelim ki okunmayan sayfa sayısı 140 olsaydı.
• \( \frac{14}{27} \) 'si = 140 sayfa
• \( \frac{1}{27} \) 'si = \( 140 \div 14 = 10 \) sayfa
• Toplam sayfa sayısı = \( 10 \times 27 = 270 \) sayfa.
• Ancak soruda 160 verildiği için, cevap kesirlidir.
• Kesirli cevabı tamamlayalım: \( \frac{2160}{7} \approx 308.57 \) sayfa.
• Soruyu daha yaygın bir LGS formatına uyarlamak adına, okunmayan sayfa sayısını 140 olarak kabul edelim:
• Eğer okunmayan sayfa sayısı 140 olsaydı:
• \( \frac{14}{27} \) 'si = 140 sayfa
• \( \frac{1}{27} \) 'si = \( 140 \div 14 = 10 \) sayfa
• Toplam sayfa sayısı = \( 10 \times 27 = 270 \) sayfa ✅

Not: Orijinal soruda verilen 160 sayısı ile tam sayı bir sonuç elde edilememektedir. Yukarıdaki çözümde, sorunun tam sayı cevap vermesi için okunmayan sayfa sayısı 140 olarak varsayılmıştır.