💡 10. Sınıf Matematik: Faktöryel Çözümlü Örnekler

Faktöryel kavramında bazı özel durumları ve küçük sayıların değerlerini hatırlayalım:

• 0! her zaman \( 1 \) değerine eşittir.
• 1! değeri \( 1 \) değerine eşittir.
• 3! değeri \( 3 \times 2 \times 1 = 6 \) olur.
• 4! değeri \( 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24 \) olur.

Şimdi bu değerleri yerlerine koyarak toplayalım:

\( 1 + 1 + 6 + 24 = 32 \) bulunur. ✅

Büyük olan faktöryelli ifadeyi, paydadaki ifadeye benzeyecek şekilde açalım:

• Pay kısmı: \( 10! = 10 \times 9 \times 8! \) şeklinde yazılabilir.
• Payda kısmı: \( 8! \times 2! = 8! \times 2 \times 1 \) olur.

İşlemi sadeleştirelim:

\[ \frac{10 \times 9 \times 8!}{8! \times 2} \]

Pay ve paydadaki \( 8! \) ifadeleri birbirini yok eder:

\[ \frac{10 \times 9}{2} = \frac{90}{2} = 45 \]

Sonuç 45 olarak bulunur. 💡

Bu tür sorularda pay kısmındaki ifadeleri en küçük olan faktöryel cinsinden paranteze almak işimizi kolaylaştırır:

• Pay kısmında \( 7! \) ifadesini \( 7 \times 6! \) olarak yazalım.
• İfade şu hale gelir: \( \frac{7 \times 6! - 1 \times 6!}{5!} \)
• Payı \( 6! \) parantezine alalım: \( \frac{6! \times (7 - 1)}{5!} = \frac{6! \times 6}{5!} \)
• Şimdi \( 6! \) ifadesini paydadaki \( 5! \) ile sadeleşecek şekilde açalım: \( 6! = 6 \times 5! \)

Son adımı uygulayalım:

\[ \frac{6 \times 5! \times 6}{5!} \]

\( 5! \) değerleri sadeleştiğinde:

\( 6 \times 6 = 36 \) elde edilir. 🎯

Faktöryel tanımına göre \( (x+1)! \) ifadesini bir adım açarak \( x! \) cinsinden yazabiliriz:

• \( (x+1)! = (x+1) \times x! \)

Bu ifadeyi denklemde yerine koyalım:

\[ \frac{(x+1) \times x!}{x!} = 15 \]

Pay ve paydadaki \( x! \) ifadeleri sadeleşir:

\( x + 1 = 15 \)

Buradan \( x \) değerini yalnız bırakırsak:

\( x = 15 - 1 \)
x = 14 bulunur. ✅

Pay kısmındaki \( (a+2)! \) ifadesini paydadaki \( a! \) ifadesine ulaşana kadar açalım:

• \( (a+2)! = (a+2) \times (a+1) \times a! \)

Denklemi tekrar yazalım:

\[ \frac{(a+2) \times (a+1) \times a!}{a!} = 110 \]

\( a! \) ifadeleri sadeleştiğinde geriye ardışık iki sayının çarpımı kalır:

\( (a+2) \times (a+1) = 110 \)

Hangi iki ardışık sayının çarpımı \( 110 \) eder?

• \( 11 \times 10 = 110 \)

Bu durumda büyük olan çarpan \( a+2 = 11 \) ve küçük olan çarpan \( a+1 = 10 \) olmalıdır.

\( a + 1 = 10 \) ise a = 9 bulunur. 🚀

Tanımlanan işlemi her iki sayı için ayrı ayrı uygulayalım:

1. [5] değerini hesaplayalım:

• \( [5] = \frac{5!}{(5-2)!} = \frac{5!}{3!} \)
• \( \frac{5 \times 4 \times 3!}{3!} = 5 \times 4 = 20 \)

2. [3] değerini hesaplayalım:

• \( [3] = \frac{3!}{(3-2)!} = \frac{3!}{1!} \)
• \( \frac{3 \times 2 \times 1}{1} = 6 \)

3. Toplama işlemini yapalım:

\( 20 + 6 = 26 \) bulunur. 🌟

Günlük hayatta sıralama (dizilim) problemlerinde faktöryel kavramı kullanılır.

• Eğer elimizde n tane farklı nesne varsa, bu nesnelerin yan yana dizilme sayısı n! kadardır.
• Bu soruda aşçının elinde 5 farklı baharat kavanozu bulunmaktadır.
• Dizilim sayısı: \( 5! \)

Hesaplama yapalım:

\( 5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 \)

\( 5! = 120 \)

Aşçı bu kavanozları 120 farklı şekilde sıralayabilir. 👨‍🍳

Bir faktöryelli sayının sonundaki sıfır sayısını bulmak için, o sayının içinde kaç tane 10 çarpanı olduğunu bulmamız gerekir. \( 10 = 2 \times 5 \) olduğu için ve bir faktöryel içinde 5 çarpanı 2 çarpanından daha az bulunduğu için, sadece 5 çarpanlarını saymamız yeterlidir.

Bunun için 35 sayısını sürekli 5'e bölmeliyiz:

• \( 35 \div 5 = 7 \) (Bölüm 7)
• Elde edilen bölüm tekrar 5'e bölünür: \( 7 \div 5 = 1 \) (Bölüm 1)
• Bölüm 1 artık 5'e bölünmediği için işlem durur.

Şimdi elde ettiğimiz bölümleri toplayalım:

\( 7 + 1 = 8 \)

Bu durumda \( 35! \) sayısının sondan 8 basamağı sıfırdır. 🔢