🎓 10. Sınıf
📚 10. Sınıf Matematik
💡 10. Sınıf Matematik: Faktöriyel Çözümlü Örnekler
10. Sınıf Matematik: Faktöriyel Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Faktöriyel Kavramına Giriş:
Bir sayıdan geriye doğru 1'e kadar olan tüm doğal sayıların çarpımına faktöriyel denir ve "!" işareti ile gösterilir. Örneğin, \( n! = n \times (n-1) \times (n-2) \times \dots \times 1 \) şeklinde ifade edilir.
📌 Önemli Not: \( 0! = 1 \) ve \( 1! = 1 \) olarak kabul edilir.
Buna göre, \( 6! \) ifadesinin değeri kaçtır? 🤔
Bir sayıdan geriye doğru 1'e kadar olan tüm doğal sayıların çarpımına faktöriyel denir ve "!" işareti ile gösterilir. Örneğin, \( n! = n \times (n-1) \times (n-2) \times \dots \times 1 \) şeklinde ifade edilir.
📌 Önemli Not: \( 0! = 1 \) ve \( 1! = 1 \) olarak kabul edilir.
Buna göre, \( 6! \) ifadesinin değeri kaçtır? 🤔
Çözüm:
Bu soruda \( 6! \) ifadesinin değerini bulmamız isteniyor. Faktöriyel tanımını kullanarak çözüme ulaşabiliriz.
- 👉 Adım 1: Faktöriyel tanımını hatırlayalım. Bir sayının faktöriyeli, o sayıdan 1'e kadar olan tüm doğal sayıların çarpımıdır.
- 👉 Adım 2: \( 6! \) ifadesini açalım:
\[ 6! = 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 \] - 👉 Adım 3: Çarpma işlemini gerçekleştirelim:
\[ 6 \times 5 = 30 \]
\[ 30 \times 4 = 120 \]
\[ 120 \times 3 = 360 \]
\[ 360 \times 2 = 720 \]
\[ 720 \times 1 = 720 \] - ✅ Sonuç: Buna göre, \( 6! \) ifadesinin değeri \( 720 \) olarak bulunur.
Örnek 2:
Aşağıdaki işlemin sonucunu bulunuz.
\[ \frac{9!}{7!} \]
\[ \frac{9!}{7!} \]
Çözüm:
Bu tür faktöriyel ifadelerinin sadeleştirilmesi genellikle daha büyük faktöriyeli, küçük faktöriyelin cinsinden yazarak yapılır.
- 👉 Adım 1: Pay kısmındaki \( 9! \) ifadesini, paydadaki \( 7! \) ifadesine benzeterek açalım.
\( 9! = 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times \dots \times 1 \) şeklinde yazılabilir. Bunu \( 9! = 9 \times 8 \times (7!) \) olarak da ifade edebiliriz. - 👉 Adım 2: İfadeyi yerine yazalım:
\[ \frac{9!}{7!} = \frac{9 \times 8 \times 7!}{7!} \] - 👉 Adım 3: Pay ve paydadaki ortak terim olan \( 7! \) ifadesini sadeleştirelim.
\[ \frac{9 \times 8 \times \cancel{7!}}{\cancel{7!}} = 9 \times 8 \] - 👉 Adım 4: Kalan çarpma işlemini yapalım:
\[ 9 \times 8 = 72 \] - ✅ Sonuç: İşlemin sonucu \( 72 \) olarak bulunur.
Örnek 3:
Aşağıdaki işlemin sonucunu bulunuz.
\[ \frac{(n+2)!}{(n)!} \]
\[ \frac{(n+2)!}{(n)!} \]
Çözüm:
Bu soruda bilinmeyen bir \( n \) değişkeni içeren faktöriyel ifadelerini sadeleştirmemiz isteniyor. Önceki örnekte olduğu gibi, büyük faktöriyeli küçük faktöriyelin cinsinden yazma stratejisini kullanacağız.
- 👉 Adım 1: Pay kısmındaki \( (n+2)! \) ifadesini, paydadaki \( n! \) ifadesine benzeterek açalım.
\( (n+2)! \) demek, \( (n+2) \) sayısından 1'e kadar olan sayıların çarpımı demektir. Bu ifadeyi şu şekilde yazabiliriz:
\( (n+2)! = (n+2) \times (n+1) \times (n) \times (n-1) \times \dots \times 1 \)
Görüldüğü gibi, \( (n) \times (n-1) \times \dots \times 1 \) kısmı \( n! \) demektir. O halde, \( (n+2)! = (n+2) \times (n+1) \times n! \) şeklinde yazabiliriz. - 👉 Adım 2: İfadeyi yerine yazarak sadeleştirme işlemini yapalım:
\[ \frac{(n+2)!}{n!} = \frac{(n+2) \times (n+1) \times n!}{n!} \] - 👉 Adım 3: Pay ve paydadaki ortak terim olan \( n! \) ifadesini sadeleştirelim.
\[ \frac{(n+2) \times (n+1) \times \cancel{n!}}{\cancel{n!}} = (n+2) \times (n+1) \] - ✅ Sonuç: İşlemin sonucu \( (n+2)(n+1) \) olarak bulunur. Bu ifadeyi çarparak \( n^2 + 3n + 2 \) şeklinde de yazabiliriz.
Örnek 4:
\( (x-3)! = 120 \) eşitliğini sağlayan \( x \) değeri kaçtır? 🔢
Çözüm:
Bu soruda, bir faktöriyel ifadesinin değerini biliyoruz ve bu ifadenin içindeki bilinmeyeni bulmamız gerekiyor.
- 👉 Adım 1: Hangi sayının faktöriyelinin \( 120 \) ettiğini bulmaya çalışalım.
\( 1! = 1 \)
\( 2! = 2 \times 1 = 2 \)
\( 3! = 3 \times 2 \times 1 = 6 \)
\( 4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24 \)
\( 5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120 \) - 👉 Adım 2: Gördüğümüz gibi, \( 5! = 120 \) olduğunu bulduk.
- 👉 Adım 3: Şimdi verilen eşitliği kullanarak \( x \) değerini bulalım:
\( (x-3)! = 120 \)
\( (x-3)! = 5! \) - 👉 Adım 4: Faktöriyel içindeki ifadeleri eşitleyelim:
\( x-3 = 5 \) - 👉 Adım 5: \( x \) değerini yalnız bırakalım:
\( x = 5 + 3 \)
\( x = 8 \) - ✅ Sonuç: Eşitliği sağlayan \( x \) değeri \( 8 \) olarak bulunur.
Örnek 5:
Aşağıdaki işlemin sonucunu bulunuz.
\[ 7! - 6! \]
\[ 7! - 6! \]
Çözüm:
Faktöriyel içeren çıkarma veya toplama işlemlerinde, ortak çarpan parantezine alma yöntemi genellikle işimizi kolaylaştırır.
- 👉 Adım 1: Büyük faktöriyeli, küçük faktöriyelin cinsinden yazalım.
\( 7! = 7 \times 6 \times 5 \times \dots \times 1 \)
Bu ifadeyi \( 7! = 7 \times (6!) \) şeklinde yazabiliriz. - 👉 Adım 2: Şimdi verilen ifadeyi yeniden yazalım:
\[ 7! - 6! = (7 \times 6!) - 6! \] - 👉 Adım 3: Her iki terimde de ortak olan \( 6! \) çarpanını parantez dışına alalım:
\[ 6! \times (7 - 1) \] - 👉 Adım 4: Parantez içindeki işlemi yapalım:
\[ 6! \times 6 \] - 👉 Adım 5: \( 6! \) değerini hesaplayalım:
\( 6! = 720 \) (İlk örnekte hesaplamıştık.) - 👉 Adım 6: Son çarpma işlemini yapalım:
\( 720 \times 6 = 4320 \) - ✅ Sonuç: İşlemin sonucu \( 4320 \) olarak bulunur.
Örnek 6:
Bir sınıftaki 3 öğrenci, okul panosu için hazırladıkları 3 farklı afişi, yan yana duran 3 boş yere asmak istiyorlar. Bu afişleri kaç farklı şekilde asabilirler? 🖼️
Çözüm:
Bu soru, faktöriyel kavramının günlük hayattaki sıralama (diziliş) durumlarına nasıl uygulandığını gösteren bir "Yeni Nesil" problemidir.
- 👉 Adım 1: İlk boş yer için kaç farklı afiş seçeneği olduğunu düşünelim.
Sınıfta 3 farklı afiş olduğu için, ilk boş yere 3 farklı afişten biri asılabilir. - 👉 Adım 2: İkinci boş yer için kaç farklı afiş seçeneği kaldığını düşünelim.
Bir afiş ilk boş yere asıldığı için geriye 2 afiş kalmıştır. Dolayısıyla, ikinci boş yere 2 farklı afişten biri asılabilir. - 👉 Adım 3: Üçüncü boş yer için kaç farklı afiş seçeneği kaldığını düşünelim.
İki afiş asıldığı için geriye 1 afiş kalmıştır. Üçüncü boş yere bu 1 afiş asılabilir. - 👉 Adım 4: Tüm bu seçimlerin çarpımı, afişlerin kaç farklı şekilde asılabileceğini verir.
Toplam farklı asılış sayısı = \( 3 \times 2 \times 1 \) - 👉 Adım 5: Bu ifade aynı zamanda faktöriyel tanımına uymaktadır:
\( 3 \times 2 \times 1 = 3! \) - 👉 Adım 6: \( 3! \) değerini hesaplayalım:
\( 3! = 6 \) - ✅ Sonuç: Afişler panoya 6 farklı şekilde asılabilir. Bu tür sıralama problemleri, faktöriyel kavramının temel uygulamalarından biridir.
Örnek 7:
Bir kütüphanede 5 farklı matematik kitabı rafın bir bölümüne yan yana dizilecektir. Bu kitaplar kaç farklı şekilde dizilebilir? 📚
Çözüm:
Bu soru, belirli sayıda farklı nesnenin yan yana kaç farklı şekilde sıralanabileceğini gösteren tipik bir faktöriyel problemidir.
- 👉 Adım 1: İlk kitap yeri için kaç farklı seçeneğimiz olduğunu belirleyelim.
Kütüphanede 5 farklı matematik kitabı olduğu için, ilk sıraya 5 farklı kitaptan herhangi birini koyabiliriz. - 👉 Adım 2: İkinci kitap yeri için kaç farklı seçeneğimiz kaldığını düşünelim.
Bir kitap ilk sıraya konulduğu için geriye 4 kitap kalmıştır. Dolayısıyla, ikinci sıraya 4 farklı kitaptan biri konulabilir. - 👉 Adım 3: Üçüncü kitap yeri için kaç farklı seçeneğimiz kaldığını düşünelim.
İki kitap konulduğu için geriye 3 kitap kalmıştır. Üçüncü sıraya 3 farklı kitaptan biri konulabilir. - 👉 Adım 4: Dördüncü kitap yeri için kaç farklı seçeneğimiz kaldığını düşünelim.
Üç kitap konulduğu için geriye 2 kitap kalmıştır. Dördüncü sıraya 2 farklı kitaptan biri konulabilir. - 👉 Adım 5: Beşinci (son) kitap yeri için kaç farklı seçeneğimiz kaldığını düşünelim.
Dört kitap konulduğu için geriye 1 kitap kalmıştır. Son sıraya bu 1 kitap konulabilir. - 👉 Adım 6: Tüm bu seçimlerin çarpımı, kitapların toplam kaç farklı şekilde dizilebileceğini verir.
Toplam farklı diziliş sayısı = \( 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 \) - 👉 Adım 7: Bu ifade faktöriyel tanımına göre \( 5! \) demektir. \( 5! \) değerini hesaplayalım:
\( 5! = 120 \) - ✅ Sonuç: 5 farklı matematik kitabı, rafın bir bölümüne 120 farklı şekilde dizilebilir.
Örnek 8:
\[ \frac{8! + 9!}{10!} \]
Yukarıdaki işlemin sonucunu bulunuz. 🧐
Çözüm:
Bu soruda hem toplama hem de bölme işlemi içeren bir faktöriyel ifadesi bulunmaktadır. Çözüm için yine ortak çarpan parantezine alma ve sadeleştirme tekniklerini kullanacağız.
- 👉 Adım 1: Pay kısmındaki \( 8! + 9! \) ifadesini ortak çarpan parantezine alalım. Bunun için \( 9! \) ifadesini \( 8! \) cinsinden yazalım:
\( 9! = 9 \times 8! \)
O halde, pay ifadesi şöyle olur:
\( 8! + (9 \times 8!) \) - 👉 Adım 2: Pay kısmını \( 8! \) parantezine alalım:
\( 8! \times (1 + 9) = 8! \times 10 \) - 👉 Adım 3: Şimdi tüm ifadeyi tekrar yazalım:
\[ \frac{8! \times 10}{10!} \] - 👉 Adım 4: Paydadaki \( 10! \) ifadesini, paydaki \( 8! \) cinsinden yazalım:
\( 10! = 10 \times 9 \times 8! \) - 👉 Adım 5: İfadeyi yerine yazarak sadeleştirme yapalım:
\[ \frac{8! \times 10}{10 \times 9 \times 8!} \] - 👉 Adım 6: Pay ve paydadaki ortak çarpanları ( \( 8! \) ve \( 10 \) ) sadeleştirelim:
\[ \frac{\cancel{8!} \times \cancel{10}}{\cancel{10} \times 9 \times \cancel{8!}} = \frac{1}{9} \] - ✅ Sonuç: İşlemin sonucu \( \frac{1}{9} \) olarak bulunur.
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/10-sinif-matematik-faktoriyel/sorular