💡 10. Sınıf Matematik: Faktöriyel Sayma Çözümlü Örnekler
1
Çözümlü Örnek
Kolay Seviye
Bir sınıfta 5 öğrenci var. Bu öğrencilerin tüm olası sıralarını bulmak için kaç farklı yol vardır? 🎲
Çözüm ve Açıklama
İlk öğrenci için 5 seçenek, ikinci için 4, üçüncü için 3, dördüncü için 2, beşinci için 1 seçenek kalır.
Bu çarpım 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 5! eder.
Dolayısıyla toplam sıralama sayısı 5! = 120 farklıdır. ✅
2
Çözümlü Örnek
Orta Seviye
Bir grup içinde 8 kişi var. Bu gruptan 3 kişilik bir komite seçmek istiyoruz. Farklı komite sayısı nedir? 🤔
Çözüm ve Açıklama
Komite seçimi sıralama ile değil, kombinasyonla hesaplanır.
Formül: C(n,k) = \frac{n!}{k!(n-k)!}
Burada n = 8, k = 3 → C(8,3) = \frac{8!}{3!5!} = \frac{40320}{6·120} = 56.
Dolayısıyla 56 farklı komite oluşturulabilir. 📌
3
Çözümlü Örnek
Zor Seviye
Bir dizi a_1, a_2, …, a_n elemanları farklı permütasyonları kaçtır? Örneğin n = 6 için. 🔢
Çözüm ve Açıklama
Permütasyon sayısı n! ile verilir.
Örnekte n = 6 → 6! = 720.
Dolayısıyla 720 farklı sıralama mümkündür. 💡
4
Çözümlü Örnek
Yeni Nesil Soru
Bir sınıfta 10 öğrenci var. İki öğrenci aynı anda sınıf başkanı ve başkan yardımcısı seçilecek. Seçimin kaç farklı kombinasyonu vardır? 🏆
Çözüm ve Açıklama
İlk olarak başkan seçimi: 10 seçenek.
Başkan seçildikten sonra başkan yardımcısı için 9 seçenek kalır.
Toplam kombinasyon: 10 × 9 = 90.
Dolayısıyla 90 farklı seçme kombinasyonu var. ✅
5
Çözümlü Örnek
Günlük Hayattan Örnek
Bir pizza dükkanında 4 farklı sos ve 3 farklı ekmek seçeneği var. Müşteri tek bir sos ve tek bir ekmek seçerek pizza sipariş eder. Toplam kaç farklı pizza kombinasyonu elde edilebilir? 🍕
Çözüm ve Açıklama
Sos seçenekleri: 4, ekmek seçenekleri: 3.
Her sos için 3 ekmek seçeneği var.
Toplam kombinasyon: 4 × 3 = 12.
Dolayısıyla 12 farklı pizza kombinasyonu mümkün. 📌
6
Çözümlü Örnek
Kolay Seviye
Bir kutuda 7 farklı renkli boncuk var. 3 boncuk çekildiğinde, çekilen boncukların hangi renk kombinasyonlarını oluşturabileceğini bul. 🎨
Çözüm ve Açıklama
Çekilen boncuk sayısı 3, toplam boncuk sayısı 7.
Permütasyon: 7P3 = \frac{7!}{(7-3)!} = 210.
Dolayısıyla 210 farklı sıralama vardır. 💡
7
Çözümlü Örnek
Orta Seviye
Bir otobüste 12 koltuk var. 5 kişi otobüse bindi. Kolaylıkla oturabilecek kaç farklı oturma düzeni vardır? 🚍
Çözüm ve Açıklama
Oturma düzeni 12P5 = \frac{12!}{(12-5)!} = 95040.
Dolayısıyla 95.040 farklı oturma düzeni mümkündür. 📌
8
Çözümlü Örnek
Günlük Hayattan Örnek
Bir kitapçıda 9 farklı roman, 5 farklı bilim kurgu kitabı var. Bir müşteri 2 roman ve 1 bilim kurgu kitabı almak istiyor. Toplam kaç farklı satın alma kombinasyonu mümkündür? 📚
Çözüm ve Açıklama
Roman seçimleri: C(9,2) = 36.
Bilim kurgu seçimi: C(5,1) = 5.
Toplam kombinasyon: 36 × 5 = 180.
Dolayısıyla 180 farklı satın alma kombinasyonu var. ✅
10. Sınıf Matematik: Faktöriyel Sayma Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Bir sınıfta 5 öğrenci var. Bu öğrencilerin tüm olası sıralarını bulmak için kaç farklı yol vardır? 🎲
Çözüm:
İlk öğrenci için 5 seçenek, ikinci için 4, üçüncü için 3, dördüncü için 2, beşinci için 1 seçenek kalır.
Bu çarpım 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 5! eder.
Dolayısıyla toplam sıralama sayısı 5! = 120 farklıdır. ✅
Örnek 2:
Bir grup içinde 8 kişi var. Bu gruptan 3 kişilik bir komite seçmek istiyoruz. Farklı komite sayısı nedir? 🤔
Çözüm:
Komite seçimi sıralama ile değil, kombinasyonla hesaplanır.
Formül: C(n,k) = \frac{n!}{k!(n-k)!}
Burada n = 8, k = 3 → C(8,3) = \frac{8!}{3!5!} = \frac{40320}{6·120} = 56.
Dolayısıyla 56 farklı komite oluşturulabilir. 📌
Örnek 3:
Bir dizi a_1, a_2, …, a_n elemanları farklı permütasyonları kaçtır? Örneğin n = 6 için. 🔢
Çözüm:
Permütasyon sayısı n! ile verilir.
Örnekte n = 6 → 6! = 720.
Dolayısıyla 720 farklı sıralama mümkündür. 💡
Örnek 4:
Bir sınıfta 10 öğrenci var. İki öğrenci aynı anda sınıf başkanı ve başkan yardımcısı seçilecek. Seçimin kaç farklı kombinasyonu vardır? 🏆
Çözüm:
İlk olarak başkan seçimi: 10 seçenek.
Başkan seçildikten sonra başkan yardımcısı için 9 seçenek kalır.
Toplam kombinasyon: 10 × 9 = 90.
Dolayısıyla 90 farklı seçme kombinasyonu var. ✅
Örnek 5:
Bir pizza dükkanında 4 farklı sos ve 3 farklı ekmek seçeneği var. Müşteri tek bir sos ve tek bir ekmek seçerek pizza sipariş eder. Toplam kaç farklı pizza kombinasyonu elde edilebilir? 🍕
Çözüm:
Sos seçenekleri: 4, ekmek seçenekleri: 3.
Her sos için 3 ekmek seçeneği var.
Toplam kombinasyon: 4 × 3 = 12.
Dolayısıyla 12 farklı pizza kombinasyonu mümkün. 📌
Örnek 6:
Bir kutuda 7 farklı renkli boncuk var. 3 boncuk çekildiğinde, çekilen boncukların hangi renk kombinasyonlarını oluşturabileceğini bul. 🎨
Çözüm:
Çekilen boncuk sayısı 3, toplam boncuk sayısı 7.
Permütasyon: 7P3 = \frac{7!}{(7-3)!} = 210.
Dolayısıyla 210 farklı sıralama vardır. 💡
Örnek 7:
Bir otobüste 12 koltuk var. 5 kişi otobüse bindi. Kolaylıkla oturabilecek kaç farklı oturma düzeni vardır? 🚍
Çözüm:
Oturma düzeni 12P5 = \frac{12!}{(12-5)!} = 95040.
Dolayısıyla 95.040 farklı oturma düzeni mümkündür. 📌
Örnek 8:
Bir kitapçıda 9 farklı roman, 5 farklı bilim kurgu kitabı var. Bir müşteri 2 roman ve 1 bilim kurgu kitabı almak istiyor. Toplam kaç farklı satın alma kombinasyonu mümkündür? 📚
Çözüm:
Roman seçimleri: C(9,2) = 36.
Bilim kurgu seçimi: C(5,1) = 5.
Toplam kombinasyon: 36 × 5 = 180.
Dolayısıyla 180 farklı satın alma kombinasyonu var. ✅