📄 10. Sınıf Matematik: F(x)=x²+4 Grafiği Çalışma Kağıdı

💡 Çözüm Adımları:

Bu bir karesel fonksiyondur.
1. **Kolların Yönü**: x² teriminin katsayısı \(a=1\) pozitif olduğundan, parabolün kolları yukarı doğrudur.
2. **Tepe Noktası**: \(F(x)=ax^2+bx+c\) formundaki bir parabolün tepe noktası \(T(r, k)\) olmak üzere, \(r = -b/(2a)\) ve \(k = F(r)\) ile bulunur. Burada \(a=1\), \(b=0\), \(c=4\)'tür.
\(r = -0/(2 \times 1) = 0\).
\(k = F(0) = 0^2+4 = 4\).
Tepe noktası \(T(0, 4)\)'tür.
3. **Simetri Ekseni**: Tepe noktasının x koordinatından geçen düşey doğru simetri eksenidir. Yani \(x=0\) (y ekseni) simetri eksenidir.
4. **y-ekseni Kesimi**: \(x=0\) için \(F(0)=0^2+4=4\). Parabol y eksenini \((0, 4)\) noktasında keser. Bu aynı zamanda tepe noktasıdır.
5. **x-ekseni Kesimi**: \(F(x)=0\) için \(x^2+4=0\) denklemini çözmeliyiz. \(x^2=-4\) denkleminin gerçel sayılarda çözümü yoktur. Bu nedenle parabol x eksenini kesmez.
6. **Grafik Çizimi**: Bu bilgilerle (tepe noktası \((0,4)\), kollar yukarı, x eksenini kesmez, y ekseni simetri ekseni) grafiği çizebiliriz. Örneğin, \(x=1\) için \(F(1)=1^2+4=5\), yani \((1,5)\) noktasından geçer. Simetri gereği \(x=-1\) için de \(F(-1)=(-1)^2+4=5\), yani \((-1,5)\) noktasından geçer.

💡 Çözüm Adımları:

G(x)=x² fonksiyonunun grafiği, tepe noktası orijin \((0,0)\) olan ve kolları yukarı doğru açılan temel paraboldür. F(x)=x²+4 fonksiyonunun grafiği ise G(x)=x² fonksiyonunun grafiğinin y ekseni boyunca yukarı doğru ötelenmesiyle elde edilir. G(x) fonksiyonuna sabit bir c değeri eklemek \((G(x)+c)\), grafiği y ekseni boyunca c birim yukarı öteleme anlamına gelir. Burada \(c=4\) olduğundan, F(x)=x²+4 fonksiyonunun grafiği, y=x² grafiğinin her noktasının y koordinatının 4 birim artırılmasıyla oluşur. Sonuç olarak, F(x)=x²+4 fonksiyonunun tepe noktası \((0,0+4)=(0,4))\)'e kaymıştır. Diğer tüm noktalar da aynı şekilde 4 birim yukarı ötelenmiştir.

💡 Çözüm Adımları:

**H(x)=x²-2 fonksiyonu için:**
1. **Tepe Noktası**: \(a=1\), \(b=0\), \(c=-2\). \(r = -0/(2 \times 1) = 0\). \(k = H(0) = 0^2-2 = -2\). Tepe noktası \((0, -2)\)'dir.
2. **Simetri Ekseni**: \(x=0\) (y ekseni) simetri eksenidir.
3. **y-ekseni Kesimi**: \(x=0\) için \(H(0)=0^2-2=-2\). y eksenini \((0, -2)\) noktasında keser.
**Benzerlikler ve Farklılıklar (F(x)=x²+4 ile karşılaştırma):**
* **Kolların Yönü**: Her iki fonksiyonun da x² teriminin katsayısı pozitif \((a=1))\) olduğu için kollarının yönü yukarı doğrudur. Bu bir benzerliktir.
* **Simetri Ekseni**: Her ikisinin de \(b=0\) olduğundan simetri ekseni \(x=0\) (y ekseni) üzerindedir. Bu da bir benzerliktir.
* **Tepe Noktası**: F(x)'in tepe noktası \((0, 4))\) iken, H(x)'in tepe noktası \((0, -2))\)'dir. Bu önemli bir farklılıktır. F(x)'in tepe noktası y ekseninin pozitif tarafında, H(x)'in tepe noktası ise negatif tarafındadır.
* **y-ekseni Kesimi**: F(x) y eksenini \((0, 4))\)'te keserken, H(x) y eksenini \((0, -2))\)'de keser. Bu da tepe noktası farkından kaynaklanan bir farklılıktır.
* **x-ekseni Kesimi**: F(x)=x²+4 fonksiyonu x eksenini kesmezken \((x^2=-4))\), H(x)=x²-2 fonksiyonu x eksenini keser. \(x^2-2=0 \Rightarrow x^2=2 \Rightarrow x = \pm \sqrt{2}\). Bu, iki fonksiyon arasındaki kritik bir farklılıktır. H(x)'in grafiği x eksenini iki farklı noktada keserken, F(x)'in grafiği x eksenini hiç kesmez.