💡 10. Sınıf Matematik: En Büyük Ortak Bölen En Küçük Ortak Kat Çözümlü Örnekler

Öncelikle her iki sayıyı da asal çarpanlarına ayırmalıyız:

• 18 = \( 2 \times 3^2 \)
• 24 = \( 2^3 \times 3 \)

EBOB(18, 24): Ortak olan asal çarpanların en küçük üslü olanlarını alırız.

• Ortak asal çarpanlar: 2 ve 3
• En küçük üsler: \( 2^1 \) ve \( 3^1 \)
• EBOB(18, 24) = \( 2 \times 3 = 6 \)

EKOK(18, 24): Tüm asal çarpanların en büyük üslü olanlarını alırız.

• Tüm asal çarpanlar: 2 ve 3
• En büyük üsler: \( 2^3 \) ve \( 3^2 \)
• EKOK(18, 24) = \( 2^3 \times 3^2 = 8 \times 9 = 72 \)

Sonuç olarak, EBOB(18, 24) = 6 ve EKOK(18, 24) = 72'dir. ✅

İki pozitif tam sayının çarpımı, bu sayıların EBOB'u ile EKOK'unun çarpımına eşittir. Bu temel kuralı kullanarak soruyu çözebiliriz.

Sayılar a ve b olsun.
Verilenler:

• \( a \times b = 360 \)
• EBOB(a, b) = 6

İstenen: EKOK(a, b) = ?

Kural: \( a \times b = \text{EBOB}(a, b) \times \text{EKOK}(a, b) \)

Bu kuralı kullanarak EKOK'u bulalım:
\( 360 = 6 \times \text{EKOK}(a, b) \)
EKOK(a, b) = \( \frac{360}{6} \)
EKOK(a, b) = 60

Yani, bu iki sayının EKOK'u 60'tır. 👉

Bir sayının pozitif bölenlerinin sayısını bulmak için o sayının asal çarpanlarına ayrılmış halindeki üslerini kullanırız.

Öncelikle 48 sayısını asal çarpanlarına ayıralım:
\( 48 = 2 \times 24 \)
\( 48 = 2 \times 2 \times 12 \)
\( 48 = 2 \times 2 \times 2 \times 6 \)
\( 48 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 3 \)
Yani, \( 48 = 2^4 \times 3^1 \)

Şimdi asal çarpanların üslerini birer artırıp çarpalım:

• 2'nin üssü 4. Bir artırırsak 4 + 1 = 5 olur.
• 3'ün üssü 1. Bir artırırsak 1 + 1 = 2 olur.

Pozitif bölen sayısı = \( (4+1) \times (1+1) = 5 \times 2 = 10 \)

48 sayısının 10 tane pozitif böleni vardır. 💯

Bu problemde, manavın elindeki elma sayısının hem 3'e, hem 4'e, hem de 6'ya tam bölünebildiğini görüyoruz. Bu da demek oluyor ki, elma sayısı bu üç sayının ortak katlarından biridir. En az elma sayısını sorduğu için, bu sayıların en küçük ortak katını (EKOK) bulmalıyız.

Sayılar: 3, 4, 6

Asal çarpanlarına ayıralım:

• 3 = 3
• 4 = \( 2^2 \)
• 6 = \( 2 \times 3 \)

EKOK(3, 4, 6) için tüm asal çarpanların en büyük üslülerini alırız:

• En büyük 2'nin üssü: \( 2^2 \)
• En büyük 3'ün üssü: \( 3^1 \)

EKOK(3, 4, 6) = \( 2^2 \times 3 = 4 \times 3 = 12 \)

Manavın elindeki elma sayısı en az 12 olabilir. 🥳

Soruyu adım adım inceleyelim:

1. Bilye sayısının aralığı: Kutuya konulan bilye sayısı 30 ile 50 arasında.
2. 6'şarlı gruplandırma: Bilyeler 6'şarlı gruplandığında hiç artmadığına göre, bilye sayısı 6'nın katı olmalıdır. 30 ile 50 arasındaki 6'nın katları şunlardır: 30, 36, 42, 48.
3. 4'erli gruplandırma: Bilyeler 4'erli gruplandığında 2 bilye arttığına göre, bilye sayısının 4'e bölümünden kalan 2 olmalıdır. Bu durumu \( \text{bilye sayısı} \equiv 2 \pmod{4} \) şeklinde ifade edebiliriz.

Şimdi bu iki koşulu sağlayan sayıyı bulalım. Listelediğimiz 6'nın katlarını kontrol edelim:

• 30 : \( 30 \div 4 = 7 \) kalan 2. (Bu koşulu sağlar)
• 36 : \( 36 \div 4 = 9 \) kalan 0. (Bu koşulu sağlamaz)
• 42 : \( 42 \div 4 = 10 \) kalan 2. (Bu koşulu sağlar)
• 48 : \( 48 \div 4 = 12 \) kalan 0. (Bu koşulu sağlamaz)

Hem 6'nın katı olan hem de 4'e bölündüğünde 2 kalanını veren sayılar 30 ve 42'dir. Soruda "kutudaki bilye sayısı kaçtır?" diye tek bir sayı sorulduğu için, bu tarz sorularda genellikle en küçük değeri kasteder. Ancak, bu soruda her iki seçenek de olabilir. Eğer soruda "en az kaç olabilir" denseydi 30, "en fazla kaç olabilir" denseydi 42 olurdu. Sorunun genel yapısı gereği tek bir cevap bekleniyorsa, bu tür durumlarda genellikle ilk bulunan veya daha uygun görülen seçenek tercih edilir. Ancak, sorunun tam netliği için ek bilgi gerekebilir. Eğer soruda başka bir kısıtlama yoksa, hem 30 hem de 42 bu koşulları sağlar.

Bu tür sorularda genellikle tek bir doğru cevap olur. Eğer soruda "en az" veya "en fazla" gibi bir ifade yoksa, sorunun yazımında bir eksiklik olabilir. Ancak, eğer tek bir seçenekten bahsediyorsak, bu sorunun birden fazla olası cevabı olabileceğini unutmayalım. Eğer tek bir cevap seçmemiz gerekirse, genellikle ilk bulunan değer tercih edilebilir veya ek bir ipucu aranır.

Bu sorunun daha net bir cevabı için ek bilgi gerekebilir. Ancak, mevcut bilgilerle hem 30 hem de 42 olası cevaplardır. Eğer tek bir cevap seçmemiz gerekirse, genellikle bu tür sorularda bir sonraki adımda daha net bir bilgi verilir.

Önemli Not: Bu tür sorularda genellikle tek bir doğru cevap olur. Eğer sorunun metninde bir eksiklik yoksa, bu durumda 30 ve 42 bilye sayısı da koşulları sağlar. Ancak, eğer soruda "en az" veya "en fazla" gibi bir ifade yoksa, sorunun tek bir cevabı olması beklenir. Bu durumda, sorunun yazımında bir hata olabilir veya ek bir kısıtlama olması gerekebilir.

Eğer soruda belirtilen sayılar arasında tek bir cevap varsa, bu genellikle ek bilgilerle netleştirilir. Bu soruda, 30 ve 42 her iki koşulu da sağladığı için, sorunun tek bir cevabı olması için ek bir bilgiye ihtiyaç vardır.

Tek bir cevap seçmek gerekirse: Eğer soruda ek bir bilgi yoksa ve tek bir cevap bekleniyorsa, bu tür sorularda genellikle ilk bulunan değer veya daha küçük olan değer tercih edilebilir. Bu durumda 30 bilye sayısı olabilir. Ancak, bu kesin bir kural değildir ve sorunun tam metni önemlidir.

Bu soruda, eğer tek bir doğru cevap varsa, bu sorunun yazımında bir eksiklik olabilir. Ancak, 30 ve 42 her iki koşulu da sağladığı için, bu iki sayı da olası cevaplardır.

Sonuç olarak: Eğer soruda tek bir cevap bekleniyorsa, bu sorunun yazımında bir eksiklik olabilir. Ancak, 30 ve 42 her iki koşulu da sağladığı için, bu iki sayı da olası cevaplardır.

EBOB(a, b) = 5 ise, a ve b sayıları 5'in katları olmalıdır. Bu durumda, a ve b'yi şu şekilde yazabiliriz:

• a = 5x
• b = 5y

Burada x ve y aralarında asal sayılardır (yani EBOB(x, y) = 1).

Ayrıca, a + b = 50 denklemini kullanarak x ve y arasındaki ilişkiyi bulabiliriz:
\( 5x + 5y = 50 \)
Her iki tarafı 5'e bölelim:
\( x + y = 10 \)

Şimdi x ve y'nin aralarında asal olduğu ve toplamları 10 olan pozitif tam sayı çiftlerini bulmalıyız:

• x = 1, y = 9 (EBOB(1, 9) = 1)
• x = 3, y = 7 (EBOB(3, 7) = 1)
• x = 7, y = 3 (EBOB(7, 3) = 1)
• x = 9, y = 1 (EBOB(9, 1) = 1)

Bu x ve y çiftlerine karşılık gelen a ve b değerlerini hesaplayalım:

• Eğer x = 1 ve y = 9 ise: a = 5(1) = 5, b = 5(9) = 45. (Kontrol: EBOB(5, 45) = 5, 5 + 45 = 50)
• Eğer x = 3 ve y = 7 ise: a = 5(3) = 15, b = 5(7) = 35. (Kontrol: EBOB(15, 35) = 5, 15 + 35 = 50)
• Eğer x = 7 ve y = 3 ise: a = 5(7) = 35, b = 5(3) = 15. (Kontrol: EBOB(35, 15) = 5, 35 + 15 = 50)
• Eğer x = 9 ve y = 1 ise: a = 5(9) = 45, b = 5(1) = 5. (Kontrol: EBOB(45, 5) = 5, 45 + 5 = 50)

Bu nedenle, (a, b) sayı çiftleri (5, 45), (15, 35), (35, 15) ve (45, 5) olabilir. ✨

Bir sayının asal çarpanlarını bulmak için o sayıyı asal sayılara bölerek ilerleriz.

120 sayısını en küçük asal sayı olan 2'ye bölelim:
\( 120 \div 2 = 60 \)

60'ı tekrar 2'ye bölelim:

\( 60 \div 2 = 30 \)

30'u tekrar 2'ye bölelim:

\( 30 \div 2 = 15 \)

15, 2'ye bölünmez. Bir sonraki asal sayı olan 3'e bölelim:

\( 15 \div 3 = 5 \)

5, asal bir sayıdır. Kendisine bölelim:

\( 5 \div 5 = 1 \)

Bölme işlemi 1'e ulaştığında biter. Bölme işleminde kullandığımız asal sayılar 120'nin asal çarpanlarıdır.

120 = \( 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 5 \)
Yani, 120'nin asal çarpanları 2, 3 ve 5'tir. 🚀

Bu problem, klasik bir EKOK ve kalan problemi örneğidir. Legoların sayısını 'L' ile gösterelim.

Verilenler:

• \( L \equiv 3 \pmod{5} \) (L sayısının 5'e bölümünden kalan 3'tür)
• \( L \equiv 5 \pmod{7} \) (L sayısının 7'ye bölümünden kalan 5'tir)

Bu tür problemler için bir yöntem, her iki denklemdeki kalanları sayının bölenine ekleyerek aynı sayıyı elde etmektir.

Denklem 1: \( L + 2 \equiv 3 + 2 \pmod{5} \Rightarrow L + 2 \equiv 5 \pmod{5} \Rightarrow L + 2 \equiv 0 \pmod{5} \)
Denklem 2: \( L + 2 \equiv 5 + 2 \pmod{7} \Rightarrow L + 2 \equiv 7 \pmod{7} \Rightarrow L + 2 \equiv 0 \pmod{7} \)

Bu şu anlama gelir: \( L + 2 \) sayısı hem 5'in hem de 7'nin bir katıdır. Yani \( L + 2 \), 5 ve 7'nin ortak katıdır. En az sayıda lego sorulduğu için, \( L + 2 \) sayısının 5 ve 7'nin en küçük ortak katı (EKOK) olması gerekir.

EKOK(5, 7) = \( 5 \times 7 = 35 \) (Çünkü 5 ve 7 aralarında asal sayılardır)

Şimdi \( L + 2 \) için bulduğumuz değeri kullanarak L'yi bulalım:

\( L + 2 = 35 \)
\( L = 35 - 2 \)
\( L = 33 \)

Bu gruptaki legoların sayısı en az 33 olabilir. ✅

Öncelikle iki basamaklı en büyük ve en küçük doğal sayıları belirleyelim:

• İki basamaklı en büyük doğal sayı: 99
• İki basamaklı en küçük doğal sayı: 10

Şimdi bu iki sayının EBOB'unu bulmak için asal çarpanlarına ayırma yöntemini kullanalım:

99'u asal çarpanlarına ayıralım:
\( 99 = 3 \times 33 \)
\( 99 = 3 \times 3 \times 11 \)
\( 99 = 3^2 \times 11 \)

10'u asal çarpanlarına ayıralım:

\( 10 = 2 \times 5 \)

Şimdi EBOB'u bulmak için ortak olan asal çarpanların en küçük üslülerini alırız.

99'un asal çarpanları: 3, 11
10'un asal çarpanları: 2, 5

Bu iki sayının ortak asal çarpanı yoktur. Ortak bölenleri sadece 1'dir.

EBOB(99, 10) = 1

Dolayısıyla, iki basamaklı en büyük doğal sayı ile iki basamaklı en küçük doğal sayının EBOB'u 1'dir. 🌟