💡 10. Sınıf Matematik: Ekok ve ebob Çözümlü Örnekler

Bu tür sorularda genellikle sayılar asal çarpanlarına ayrılır.

• 12'nin asal çarpanları: \( 12 = 2^2 \times 3 \)
• 18'in asal çarpanları: \( 18 = 2 \times 3^2 \)

EBOB (12, 18) bulma:

• Ortak olan asal çarpanlar seçilir.
• Seçilen ortak asal çarpanların en küçük üslü olanları alınır.
• \( \text{EBOB}(12, 18) = 2^1 \times 3^1 = 6 \)

EKOK (12, 18) bulma:

• Tüm asal çarpanlar seçilir.
• Seçilen asal çarpanların en büyük üslü olanları alınır.
• \( \text{EKOK}(12, 18) = 2^2 \times 3^2 = 4 \times 9 = 36 \)

💡 Unutmayın: EBOB, ortak bölenlerin en büyüğüdür; EKOK ise ortak katların en küçüğüdür.

İki pozitif tam sayının çarpımı, bu sayıların EBOB'u ile EKOK'unun çarpımına eşittir.
Yani, \( a \times b = \text{EBOB}(a, b) \times \text{EKOK}(a, b) \) formülü geçerlidir.

• Sayıların çarpımı: \( 8 \times 10 = 80 \)
• 8'in asal çarpanları: \( 8 = 2^3 \)
• 10'un asal çarpanları: \( 10 = 2 \times 5 \)
• EBOB(8, 10): Ortak asal çarpan \( 2^1 \), yani 2.
• EKOK(8, 10): Tüm asal çarpanlar \( 2^3 \times 5^1 \), yani \( 8 \times 5 = 40 \).
• EBOB ve EKOK çarpımı: \( 2 \times 40 = 80 \)

Gördüğünüz gibi, \( 80 = 80 \) eşitliği sağlanmıştır. ✅

İki doğal sayıya \( a \) ve \( b \) diyelim.
Verilenler:

• \( \text{EBOB}(a, b) = 5 \)
• \( \text{EKOK}(a, b) = 60 \)

Bu sayılar, EBOB'ları ile orantılı olarak şu şekilde yazılabilir:

• \( a = 5x \)
• \( b = 5y \)

Burada \( x \) ve \( y \) aralarında asal sayılardır. (Yani EBOB(x, y) = 1)
Ayrıca, \( a \times b = \text{EBOB}(a, b) \times \text{EKOK}(a, b) \) formülünü kullanabiliriz:

• \( (5x) \times (5y) = 5 \times 60 \)
• \( 25xy = 300 \)
• \( xy = \frac{300}{25} \)
• \( xy = 12 \)

Şimdi \( x \) ve \( y \) aralarında asal olacak şekilde çarpımları 12 olan sayı çiftlerini bulalım:

• \( x=1, y=12 \) (aralarında asal)
• \( x=3, y=4 \) (aralarında asal)

Bu çiftlere karşılık gelen \( a \) ve \( b \) sayılarını bulalım:

• Eğer \( x=1, y=12 \) ise: \( a = 5 \times 1 = 5 \), \( b = 5 \times 12 = 60 \). Toplamları: \( 5 + 60 = 65 \).
• Eğer \( x=3, y=4 \) ise: \( a = 5 \times 3 = 15 \), \( b = 5 \times 4 = 20 \). Toplamları: \( 15 + 20 = 35 \).

Sayıların toplamının en az olması istendiği için, en küçük toplam 35'tir. 👉

Bu problem, manavın elindeki portakal sayısının hem 3'ün, hem 4'ün, hem de 6'nın katı olduğunu ifade eder.
Yani, portakal sayısı bu üç sayının ortak katlarından biridir.
En az portakal sayısı sorulduğu için, bu sayıların en küçük ortak katını (EKOK) bulmalıyız.

• 3'ün asal çarpanları: \( 3 \)
• 4'ün asal çarpanları: \( 2^2 \)
• 6'nın asal çarpanları: \( 2 \times 3 \)

EKOK'u bulmak için tüm asal çarpanları en yüksek üsleriyle alırız:

• \( \text{EKOK}(3, 4, 6) = 2^2 \times 3^1 = 4 \times 3 = 12 \)

Bu nedenle, manavın elindeki portakal sayısı en az 12'dir. 🍊

Bu tür problemler, modüler aritmetik ile çözülebilir veya denklem kurularak ilerlenebilir. Biz denklem kurarak ilerleyelim.
Öğrencinin bilye sayısına \( N \) diyelim.
Verilenler:

• \( N \equiv 2 \pmod{5} \) (N sayısının 5'e bölümünden kalan 2'dir)
• \( N \equiv 4 \pmod{7} \) (N sayısının 7'ye bölümünden kalan 4'tür)

İlk denklemden \( N \) şu şekilde yazılabilir:

• \( N = 5k + 2 \), burada \( k \) bir tam sayıdır.

Bu ifadeyi ikinci denklemde yerine koyalım:

• \( 5k + 2 \equiv 4 \pmod{7} \)
• \( 5k \equiv 4 - 2 \pmod{7} \)
• \( 5k \equiv 2 \pmod{7} \)

Şimdi \( k \) için denklemi çözelim. 7'ye göre 5'in tersini bulmamız gerekiyor. Deneyerek bulabiliriz:

• \( k=1 \implies 5 \times 1 = 5 \not\equiv 2 \pmod{7} \)
• \( k=2 \implies 5 \times 2 = 10 \equiv 3 \pmod{7} \)
• \( k=3 \implies 5 \times 3 = 15 \equiv 1 \pmod{7} \)
• \( k=4 \implies 5 \times 4 = 20 \equiv 6 \pmod{7} \)
• \( k=5 \implies 5 \times 5 = 25 \equiv 4 \pmod{7} \)
• \( k=6 \implies 5 \times 6 = 30 \equiv 2 \pmod{7} \)

Demek ki \( k \) değeri 7'ye bölündüğünde 6 kalanını vermelidir. Yani \( k = 7m + 6 \), burada \( m \) bir tam sayıdır.
Şimdi \( k \) değerini \( N = 5k + 2 \) denkleminde yerine koyalım:

• \( N = 5(7m + 6) + 2 \)
• \( N = 35m + 30 + 2 \)
• \( N = 35m + 32 \)

Öğrencinin bilye sayısı en az sorulduğu için \( m=0 \) alırsak:

• \( N = 35(0) + 32 = 32 \)

Bu öğrencinin bilye sayısı en az 32'dir. 🍬

Marangozun elindeki ahşap çubuğun uzunluğu, hem 8 cm'lik hem de 12 cm'lik parçalara tam bölünebilmektedir.
Bu, çubuğun uzunluğunun hem 8'in hem de 12'nin bir katı olması gerektiği anlamına gelir.
En az uzunluk sorulduğu için, 8 ve 12 sayılarının en küçük ortak katını (EKOK) bulmalıyız.

• 8'in asal çarpanları: \( 8 = 2^3 \)
• 12'nin asal çarpanları: \( 12 = 2^2 \times 3 \)

EKOK'u bulmak için tüm asal çarpanları en yüksek üsleriyle alırız:

• \( \text{EKOK}(8, 12) = 2^3 \times 3^1 = 8 \times 3 = 24 \)

Dolayısıyla, marangozun elindeki ahşap çubuğun uzunluğu en az 24 cm'dir. 📏

İki pozitif tam sayının çarpımı, bu sayıların EBOB'u ile EKOK'unun çarpımına eşittir.
Yani, \( a \times b = \text{EBOB}(a, b) \times \text{EKOK}(a, b) \) formülünü kullanacağız.

• \( a \times b = 6 \times 72 \)
• \( a \times b = 432 \)

Ayrıca, \( a \) ve \( b \) sayıları EBOB'ları olan 6 ile orantılıdır. Bu nedenle \( a = 6x \) ve \( b = 6y \) şeklinde yazılabilir, burada \( x \) ve \( y \) aralarında asal sayılardır (EBOB(x, y) = 1).
Bu ifadeleri \( a \times b = 432 \) denkleminde yerine koyalım:

• \( (6x) \times (6y) = 432 \)
• \( 36xy = 432 \)
• \( xy = \frac{432}{36} \)
• \( xy = 12 \)

Şimdi \( x \) ve \( y \) aralarında asal olacak şekilde çarpımları 12 olan sayı çiftlerini bulalım:

• \( x=1, y=12 \) (aralarında asal)
• \( x=3, y=4 \) (aralarında asal)

Bu çiftlere karşılık gelen \( a \) ve \( b \) sayılarını ve toplamlarını hesaplayalım:

• Eğer \( x=1, y=12 \) ise: \( a = 6 \times 1 = 6 \), \( b = 6 \times 12 = 72 \). Toplamları: \( a+b = 6 + 72 = 78 \).
• Eğer \( x=3, y=4 \) ise: \( a = 6 \times 3 = 18 \), \( b = 6 \times 4 = 24 \). Toplamları: \( a+b = 18 + 24 = 42 \).

\( a+b \) toplamının alabileceği en büyük değer 78'dir. 🚀

Bu problemde, arkadaş sayısının hem 3'e bölümünden kalanın 1, hem de 5'e bölümünden kalanın 3 olduğunu biliyoruz.
Arkadaş sayısına \( S \) diyelim.
Verilenler:

• \( S \equiv 1 \pmod{3} \)
• \( S \equiv 3 \pmod{5} \)

İlk denklemden \( S \) şu şekilde yazılabilir:

• \( S = 3k + 1 \), burada \( k \) bir tam sayıdır.

Bu ifadeyi ikinci denklemde yerine koyalım:

• \( 3k + 1 \equiv 3 \pmod{5} \)
• \( 3k \equiv 3 - 1 \pmod{5} \)
• \( 3k \equiv 2 \pmod{5} \)

Şimdi \( k \) için denklemi çözelim. 5'e göre 3'ün tersini bulmamız gerekiyor. Deneyerek bulabiliriz:

• \( k=1 \implies 3 \times 1 = 3 \not\equiv 2 \pmod{5} \)
• \( k=2 \implies 3 \times 2 = 6 \equiv 1 \pmod{5} \)
• \( k=3 \implies 3 \times 3 = 9 \equiv 4 \pmod{5} \)
• \( k=4 \implies 3 \times 4 = 12 \equiv 2 \pmod{5} \)

Demek ki \( k \) değeri 5'e bölündüğünde 4 kalanını vermelidir. Yani \( k = 5m + 4 \), burada \( m \) bir tam sayıdır.
Şimdi \( k \) değerini \( S = 3k + 1 \) denkleminde yerine koyalım:

• \( S = 3(5m + 4) + 1 \)
• \( S = 15m + 12 + 1 \)
• \( S = 15m + 13 \)

Gruptaki arkadaş sayısı en az sorulduğu için \( m=0 \) alırsak:

• \( S = 15(0) + 13 = 13 \)

Bu gruptaki arkadaş sayısı en az 13'tür. 🧑‍🤝‍🧑

Kare şeklindeki fayansların kenar uzunluğu, hem 10 cm'lik hem de 15 cm'lik dikdörtgen alanlara tam olarak döşenebilmelidir.
Bu, fayansın kenar uzunluğunun hem 10'un hem de 15'in ortak bir böleni olması gerektiği anlamına gelir.
Ancak, soruda "en az kaç cm olmalıdır" denilerek, bu fayansların bu alanlara tam olarak sığması isteniyor. Bu durumda, fayansın kenar uzunluğu, bu alanların kenar uzunluklarının EKOK'unu oluşturacak şekilde seçilmelidir ki, bu alanlar tam olarak kaplanabilsin.
Burada aslında sorunun kurgusu, fayansların kenar uzunluğunun hem 10'un hem de 15'in katı olması gerektiğini ima ediyor. Eğer fayansın kenar uzunluğu \( x \) ise, \( 10 \) cm'lik alana \( 10/x \) adet, \( 15 \) cm'lik alana \( 15/x \) adet fayans sığmalı ve bu bölme tam olmalı. Bu da \( x \) sayısının hem 10'un hem de 15'in bir böleni olması gerektiğini gösterir. Ancak soruda "en az kaç cm olmalıdır" ifadesi, bu fayansların döşeneceği alanın kenar uzunluğunun en az kaç olabileceğini soruyor gibi algılanabilir.
Eğer soruyu "Bu fayanslar, 10 cm ve 15 cm kenar uzunluklarına sahip bir alana tam olarak döşenebiliyorsa, fayansın kenar uzunluğu en az kaç cm olmalıdır?" şeklinde anlarsak, fayansın kenar uzunluğu hem 10'un hem de 15'in bir böleni olmalıdır. Bu durumda EBOB'u buluruz.

• 10'un asal çarpanları: \( 10 = 2 \times 5 \)
• 15'in asal çarpanları: \( 15 = 3 \times 5 \)
• EBOB(10, 15): Ortak asal çarpan 5'tir.

Bu durumda fayansın kenar uzunluğu en az 5 cm olmalıdır.
Ancak, genellikle bu tür sorularda "kare şeklindeki fayanslar, 10 cm ve 15 cm kenar uzunluklarına sahip bir alanı tam olarak kaplayacak şekilde döşeniyor" denir. Bu durumda, kaplanacak alanın kenar uzunluğunun hem 10'un hem de 15'in katı olması gerekir. Yani alanın kenar uzunluğu EKOK(10, 15) olmalıdır.

• EKOK(10, 15): \( 2 \times 3 \times 5 = 30 \)

Eğer alan 30 cm x 30 cm ise, 10 cm'lik fayanslar 3 adet, 15 cm'lik fayanslar 2 adet kullanılır. Bu durumda fayansın kenar uzunluğu 10 veya 15 olabilir.
Sorunun "fayansların kenar uzunluğu en az kaç cm olmalıdır?" şeklinde sorulması, fayansın kenar uzunluğunun 10 ve 15'in ortak böleni olması gerektiğini düşündürmektedir. Bu durumda cevap 5 cm'dir.
Eğer soru "Bu fayanslar, 10 cm ve 15 cm kenar uzunluklarına sahip bir alanın kenarlarını tam olarak kaplayacak şekilde döşeniyorsa, alanın kenar uzunluğu en az kaç cm olmalıdır?" şeklinde olsaydı, cevap EKOK(10, 15) = 30 olurdu.
Sorunun mevcut haliyle en mantıklı yorumu, fayansın kenar uzunluğunun hem 10'a hem de 15'e bölünebilmesi gerektiğidir. Bu durumda en küçük ortak bölen (EBOB) bulunur.

• \( \text{EBOB}(10, 15) = 5 \)

Bu fayansların kenar uzunluğu en az 5 cm olmalıdır. ⬜