🎓 10. Sınıf
📚 10. Sınıf Matematik
💡 10. Sınıf Matematik: Eğim Çözümlü Örnekler
10. Sınıf Matematik: Eğim Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Analitik düzlemde A\( (2, 3) \) ve B\( (5, 9) \) noktalarından geçen doğrunun eğimi kaçtır? 🤔
Çözüm:
Eğimi bulmak için eğim formülünü kullanırız. İki nokta \( (x_1, y_1) \) ve \( (x_2, y_2) \) verildiğinde eğim \( m \), şu şekilde hesaplanır:
\[ m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \]
Bu soruda, \( x_1 = 2 \), \( y_1 = 3 \), \( x_2 = 5 \) ve \( y_2 = 9 \) olarak alabiliriz.
- Noktaların koordinatlarını formülde yerine koyalım: \[ m = \frac{9 - 3}{5 - 2} \]
- Pay ve paydayı hesaplayalım: \[ m = \frac{6}{3} \]
- Sonucu sadeleştirelim: \[ m = 2 \] ✅ Dolayısıyla, doğrunun eğimi 2'dir.
Örnek 2:
Eğim açısı \( 135^\circ \) olan bir doğrunun eğimi kaçtır? 📐
Çözüm:
Bir doğrunun eğim açısı \( \alpha \) ise, doğrunun eğimi \( m \) bu açının tanjantına eşittir:
\[ m = \tan(\alpha) \]
Burada eğim açısı \( \alpha = 135^\circ \) olarak verilmiştir.
- Tanjant fonksiyonunun periyodik özelliğini ve değerlerini hatırlayalım. \( 135^\circ \), ikinci bölgede yer alır ve tanjantı negatiftir.
- \( \tan(135^\circ) = \tan(180^\circ - 45^\circ) = -\tan(45^\circ) \)
- \( \tan(45^\circ) = 1 \) olduğunu biliyoruz.
- Bu nedenle: \[ m = -1 \] ✅ Eğim açısı \( 135^\circ \) olan doğrunun eğimi -1'dir.
Örnek 3:
Analitik düzlemde \( y = 3x - 5 \) denklemiyle verilen doğrunun eğimi kaçtır? 💡
Çözüm:
Bir doğrunun denklemi \( y = mx + c \) şeklinde verildiğinde, \( m \) katsayısı doğrunun eğimini gösterir. Bu denklem "eğim-kesen" formudur.
- Verilen denklem \( y = 3x - 5 \) şeklindedir.
- Bu denklemde \( m \) yerine 3, \( c \) yerine ise -5 gelmektedir.
- Dolayısıyla, doğrunun eğimi \( m \) doğrudan denklemin \( x \) teriminin katsayısıdır. \[ m = 3 \] ✅ \( y = 3x - 5 \) doğrusunun eğimi 3'tür.
Örnek 4:
Eğimleri \( m_1 = \frac{2}{3} \) ve \( m_2 = -\frac{3}{2} \) olan iki doğrunun birbirine göre konumu nasıldır? ↔️
Çözüm:
İki doğrunun birbirine göre konumunu eğimleri belirler.
- Eğer iki doğru birbirine paralelse, eğimleri eşittir: \( m_1 = m_2 \).
- Eğer iki doğru birbirine dikse, eğimleri çarpımı -1'dir: \( m_1 \cdot m_2 = -1 \).
- Verilen eğimler: \( m_1 = \frac{2}{3} \) ve \( m_2 = -\frac{3}{2} \).
- Şimdi eğimleri çarpalım: \[ m_1 \cdot m_2 = \frac{2}{3} \cdot \left(-\frac{3}{2}\right) \] \[ m_1 \cdot m_2 = -\frac{2 \cdot 3}{3 \cdot 2} \] \[ m_1 \cdot m_2 = -1 \] ✅ Eğimleri çarpımı -1 olduğu için, bu iki doğru birbirine diktir.
Örnek 5:
Bir rampanın eğimi \( \frac{1}{5} \) olarak verilmiştir. Bu rampa, yatayda 10 metre ilerlediğinde dikeyde kaç metre yükselir? 🏗️
Çözüm:
Rampanın eğimi, dikey yükselişin yatay mesafeye oranıdır.
- Eğim formülü: \[ m = \frac{\text{Dikey Yükseliş}}{\text{Yatay Mesafe}} \]
- Soruda eğim \( m = \frac{1}{5} \) ve yatay mesafe 10 metre olarak verilmiş. Dikey yükselişi bulmamız gerekiyor.
- Formülde verilen değerleri yerine koyalım: \[ \frac{1}{5} = \frac{\text{Dikey Yükseliş}}{10} \]
- Dikey yükselişi bulmak için denklemi çözelim. Her iki tarafı 10 ile çarpabiliriz: \[ \text{Dikey Yükseliş} = \frac{1}{5} \cdot 10 \] \[ \text{Dikey Yükseliş} = \frac{10}{5} \] \[ \text{Dikey Yükseliş} = 2 \] ✅ Rampa, yatayda 10 metre ilerlediğinde dikeyde 2 metre yükselir.
Örnek 6:
Bir yokuşun eğimi %10 ise, bu ne anlama gelir? 🚗💨
Çözüm:
Yokuşların eğimi genellikle yüzde (%) olarak ifade edilir. Bu, yokuşun yatayda aldığı her 100 birim mesafe için dikeyde ne kadar yükseldiğini gösterir.
- Eğer bir yokuşun eğimi %10 ise, bu şu demektir:
- Yatayda 100 metre ilerlediğinizde, dikeyde 10 metre yükselirsiniz.
- Eğim yüzde olarak verildiğinde, bunu kesirli hale getirebiliriz: \[ \text{Eğim} = \frac{\text{Yüzde Değer}}{100} \]
- Bu durumda, \( m = \frac{10}{100} = \frac{1}{10} \).
- Yani, yokuşun eğimi kesirli olarak \( \frac{1}{10} \)'dur. Bu da yatayda 10 metre gidildiğinde dikeyde 1 metre yükselindiği anlamına gelir. ✅ %10 eğim, daha dik bir yokuşa göre daha az eğimli bir yokuşu ifade eder.
Örnek 7:
\( 3x + 2y - 6 = 0 \) doğrusuna paralel olan ve \( (1, 4) \) noktasından geçen doğrunun denklemini bulunuz. ✍️
Çözüm:
Öncelikle verilen doğrunun eğimini bulalım. Denklemi \( Ax + By + C = 0 \) şeklinde olan bir doğrunun eğimi \( m = -\frac{A}{B} \) formülüyle bulunur.
- Verilen denklem: \( 3x + 2y - 6 = 0 \). Burada \( A = 3 \), \( B = 2 \).
- Bu doğrunun eğimi: \[ m_1 = -\frac{3}{2} \]
- Paralel doğruların eğimleri eşit olduğundan, aradığımız doğrunun eğimi de \( m_2 = -\frac{3}{2} \) olacaktır.
- Şimdi \( (1, 4) \) noktasından geçen ve eğimi \( m_2 = -\frac{3}{2} \) olan doğrunun denklemini bulmak için eğim-nokta formülünü kullanalım: \( y - y_1 = m(x - x_1) \).
- Burada \( x_1 = 1 \) ve \( y_1 = 4 \), \( m = -\frac{3}{2} \).
- Formülde yerine koyalım: \[ y - 4 = -\frac{3}{2}(x - 1) \]
- Denklemi düzenleyerek \( y = mx + c \) formuna getirelim: \[ y - 4 = -\frac{3}{2}x + \frac{3}{2} \] \[ y = -\frac{3}{2}x + \frac{3}{2} + 4 \] \[ y = -\frac{3}{2}x + \frac{3}{2} + \frac{8}{2} \] \[ y = -\frac{3}{2}x + \frac{11}{2} \] ✅ Aradığımız doğrunun denklemi \( y = -\frac{3}{2}x + \frac{11}{2} \)'dir.
Örnek 8:
Bir bisiklet parkurunun eğimi, başlangıç noktasından itibaren aldığı her 20 metre yatay mesafe için 5 metre dikey yükseliş olarak ayarlanmıştır. Bu parkurun eğimi kaçtır? 🚵
Çözüm:
Eğim, dikey yükselişin yatay mesafeye oranıdır.
- Soruda verilenler:
- Yatay Mesafe = 20 metre
- Dikey Yükseliş = 5 metre
- Eğim formülü: \[ m = \frac{\text{Dikey Yükseliş}}{\text{Yatay Mesafe}} \]
- Verilen değerleri formülde yerine koyalım: \[ m = \frac{5 \text{ metre}}{20 \text{ metre}} \]
- Kesri sadeleştirelim: \[ m = \frac{1}{4} \] ✅ Bisiklet parkurunun eğimi \( \frac{1}{4} \)'tür. Bu, her 4 metre yatayda 1 metre yükselindiği anlamına gelir.
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/10-sinif-matematik-egim/sorular