🎓 10. Sınıf
📚 10. Sınıf Matematik
💡 10. Sınıf Matematik: EBOB Ve EKOK Problemi Çözümlü Örnekler
10. Sınıf Matematik: EBOB Ve EKOK Problemi Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
💡 24 ve 36 sayılarının EBOB'unu ve EKOK'unu bulunuz.
Çözüm:
Bu soruyu çözmek için sayıları asal çarpanlarına ayıracağız.
- 24 ve 36 sayılarını yan yana yazıp, en küçük asal sayıdan başlayarak bölenlerini bulalım:
- \[ 24 \quad 36 \quad | \quad 2 \]
- \[ 12 \quad 18 \quad | \quad 2 \quad (\text{Her ikisini de böldüğü için işaretleyelim}) \]
- \[ 6 \quad 9 \quad | \quad 2 \]
- \[ 3 \quad 9 \quad | \quad 3 \quad (\text{Her ikisini de böldüğü için işaretleyelim}) \]
- \[ 1 \quad 3 \quad | \quad 3 \]
- \[ 1 \quad 1 \]
- ✅ EBOB (En Büyük Ortak Bölen): Her iki sayıyı da bölen asal çarpanların çarpımıdır. İşaretlediğimiz sayılar 2 ve 3'tür.
- \[ \text{EBOB}(24, 36) = 2 \times 3 = 6 \]
- ✅ EKOK (En Küçük Ortak Kat): Tüm asal çarpanların çarpımıdır.
- \[ \text{EKOK}(24, 36) = 2^3 \times 3^2 = 8 \times 9 = 72 \]
Örnek 2:
🌳 Boyutları 48 metre ve 60 metre olan dikdörtgen şeklindeki bir bahçenin etrafına ve köşelerine eşit aralıklarla ağaç dikilecektir. En az kaç ağaç gereklidir?
Çözüm:
Bu tür sorularda, eşit aralıklarla ağaç dikmek veya bir bütünü eşit parçalara ayırmak gerektiğinde EBOB kullanılır.
- 👉 Ağaçlar arasındaki mesafenin mümkün olan en büyük değeri bulmak için 48 ve 60 sayılarının EBOB'unu bulmalıyız.
- 48 ve 60 sayılarının asal çarpanlarını ayıralım:
- \[ 48 \quad 60 \quad | \quad 2 \quad (\text{İşaretle}) \]
- \[ 24 \quad 30 \quad | \quad 2 \quad (\text{İşaretle}) \]
- \[ 12 \quad 15 \quad | \quad 2 \]
- \[ 6 \quad 15 \quad | \quad 2 \]
- \[ 3 \quad 15 \quad | \quad 3 \quad (\text{İşaretle}) \]
- \[ 1 \quad 5 \quad | \quad 5 \]
- \[ 1 \quad 1 \]
- ✅ EBOB (48, 60) \( = 2 \times 2 \times 3 = 12 \) metredir. Bu, ağaçlar arasındaki mesafedir.
- 📌 Bahçenin çevresini bulup, bu mesafeye bölersek gerekli ağaç sayısını buluruz.
- Bahçenin çevresi \( = 2 \times ( \text{uzun kenar} + \text{kısa kenar} ) \)
- Çevre \( = 2 \times (48 + 60) = 2 \times 108 = 216 \) metredir.
- Ağaç sayısı \( = \frac{\text{Çevre}}{\text{EBOB}} = \frac{216}{12} = 18 \).
- Sonuç olarak, en az 18 ağaç gereklidir.
Örnek 3:
🚌 Bir duraktan kalkan iki otobüsten biri 45 dakikada bir, diğeri ise 60 dakikada bir sefer yapmaktadır. Bu iki otobüs ilk kez saat 07:00'de aynı anda sefere başladıklarına göre, tekrar saat kaçta aynı anda sefere başlarlar?
Çözüm:
Bu tür tekrarlayan olaylarda, ne zaman tekrar bir araya geleceklerini bulmak için EKOK kullanılır.
- 👉 Otobüslerin tekrar aynı anda sefere başlayacakları süreyi bulmak için 45 ve 60 sayılarının EKOK'unu bulmalıyız.
- 45 ve 60 sayılarının asal çarpanlarını ayıralım:
- \[ 45 \quad 60 \quad | \quad 2 \]
- \[ 45 \quad 30 \quad | \quad 2 \]
- \[ 45 \quad 15 \quad | \quad 3 \]
- \[ 15 \quad 5 \quad | \quad 3 \]
- \[ 5 \quad 5 \quad | \quad 5 \]
- \[ 1 \quad 1 \]
- ✅ EKOK (45, 60) \( = 2^2 \times 3^2 \times 5 = 4 \times 9 \times 5 = 180 \) dakikadır.
- 📌 Bu, otobüslerin 180 dakika sonra tekrar aynı anda sefere başlayacakları anlamına gelir.
- 180 dakikayı saate çevirelim: \( 180 \div 60 = 3 \) saat.
- İlk kez saat 07:00'de başladıklarına göre, 3 saat sonraki saati bulalım:
- \( 07:00 + 3 \text{ saat} = 10:00 \).
- Sonuç olarak, otobüsler saat 10:00'da tekrar aynı anda sefere başlarlar.
Örnek 4:
🔢 Bir sayı 6'ya, 8'e ve 10'a bölündüğünde her seferinde 3 kalanını vermektedir. Bu sayı en az kaç olabilir?
Çözüm:
Bu tür kalanlı bölme problemlerinde, sayının ortak katlarını bulup kalanı eklememiz gerekir.
- 👉 Sayının 6, 8 ve 10'a bölündüğünde 3 kalanını verdiğini biliyoruz. Eğer bu sayıdan 3 çıkarırsak, elde ettiğimiz sayı 6, 8 ve 10'a tam bölünecektir.
- Yani, \( x - 3 \) sayısı EKOK(6, 8, 10)'un bir katı olmalıdır. En küçük değeri istediği için EKOK'u bulalım.
- 6, 8 ve 10 sayılarının asal çarpanlarını ayıralım:
- \[ 6 \quad 8 \quad 10 \quad | \quad 2 \]
- \[ 3 \quad 4 \quad 5 \quad | \quad 2 \]
- \[ 3 \quad 2 \quad 5 \quad | \quad 2 \]
- \[ 3 \quad 1 \quad 5 \quad | \quad 3 \]
- \[ 1 \quad 1 \quad 5 \quad | \quad 5 \]
- \[ 1 \quad 1 \quad 1 \]
- ✅ EKOK (6, 8, 10) \( = 2^3 \times 3 \times 5 = 8 \times 3 \times 5 = 120 \).
- 📌 Bu durumda, \( x - 3 = 120 \) olmalıdır (en küçük değeri için).
- \( x = 120 + 3 \)
- \( x = 123 \).
- Sonuç olarak, bu sayı en az 123 olabilir.
Örnek 5:
📦 Bir markette 18 cm yüksekliğindeki çikolata kutuları ve 24 cm yüksekliğindeki bisküvi kutuları bulunmaktadır. Bu kutular, raflara üst üste konulduğunda her iki tür kutu da rafın yüksekliğini tam doldurmaktadır. Rafların yüksekliği 2 metreden az olduğuna göre, bir rafın yüksekliği en fazla kaç cm olabilir?
Çözüm:
Bu problem, farklı boyutlardaki nesnelerin bir araya gelerek bir bütünü oluşturduğu durumlara bir örnektir. Rafın yüksekliği hem 18'in hem de 24'ün bir katı olmalıdır, bu yüzden EKOK kullanırız.
- 👉 Rafın yüksekliği hem 18 cm'nin hem de 24 cm'nin ortak katı olmalıdır. Bu yüzden EKOK(18, 24)'ü bulmalıyız.
- 18 ve 24 sayılarının asal çarpanlarını ayıralım:
- \[ 18 \quad 24 \quad | \quad 2 \]
- \[ 9 \quad 12 \quad | \quad 2 \]
- \[ 9 \quad 6 \quad | \quad 2 \]
- \[ 9 \quad 3 \quad | \quad 3 \]
- \[ 3 \quad 1 \quad | \quad 3 \]
- \[ 1 \quad 1 \]
- ✅ EKOK (18, 24) \( = 2^3 \times 3^2 = 8 \times 9 = 72 \) cm'dir.
- 📌 Rafların yüksekliği 2 metreden (200 cm'den) az olmalıdır. EKOK'un katlarına bakalım:
- 72'nin katları: 72, 144, 216, ...
- 200 cm'den küçük en büyük kat 144 cm'dir.
- Sonuç olarak, bir rafın yüksekliği en fazla 144 cm olabilir.
Örnek 6:
🏠 Ayşe Hanım, kenar uzunlukları 270 cm ve 360 cm olan dikdörtgen şeklindeki mutfak zeminine hiç boşluk kalmayacak şekilde en büyük boyutlu kare fayanslarla döşeme yapmak istiyor. Bu iş için kaç adet fayansa ihtiyacı vardır?
Çözüm:
Bu tür bir alanı kare parçalara ayırma problemi, ortak bölenleri ve en büyük ortak böleni bulmayı gerektirir. En büyük boyutlu kare fayans için EBOB kullanırız.
- 👉 Fayansların bir kenar uzunluğu hem 270 cm'nin hem de 360 cm'nin ortak böleni olmalıdır. En büyük boyutlu fayans için EBOB(270, 360)'ı bulmalıyız.
- 270 ve 360 sayılarının asal çarpanlarını ayıralım:
- \[ 270 \quad 360 \quad | \quad 2 \quad (\text{İşaretle}) \]
- \[ 135 \quad 180 \quad | \quad 2 \]
- \[ 135 \quad 90 \quad | \quad 2 \]
- \[ 135 \quad 45 \quad | \quad 3 \quad (\text{İşaretle}) \]
- \[ 45 \quad 15 \quad | \quad 3 \quad (\text{İşaretle}) \]
- \[ 15 \quad 5 \quad | \quad 3 \]
- \[ 5 \quad 5 \quad | \quad 5 \quad (\text{İşaretle}) \]
- \[ 1 \quad 1 \]
- ✅ EBOB (270, 360) \( = 2 \times 3 \times 3 \times 5 = 90 \) cm'dir. Bu, bir kare fayansın bir kenar uzunluğudur.
- 📌 Şimdi kaç adet fayans gerektiğini bulalım. Bunun için mutfak alanını bir fayansın alanına bölmeliyiz.
- Mutfak alanı \( = \text{uzun kenar} \times \text{kısa kenar} = 360 \times 270 \) cm\(^2\).
- Bir fayansın alanı \( = 90 \times 90 \) cm\(^2\).
- Fayans sayısı \( = \frac{360 \times 270}{90 \times 90} = \frac{360}{90} \times \frac{270}{90} = 4 \times 3 = 12 \).
- Sonuç olarak, Ayşe Hanım'ın 12 adet fayansa ihtiyacı vardır.
Örnek 7:
📝 İki sayının EBOB'u 8, EKOK'u ise 240'tır. Bu sayılardan biri 40 olduğuna göre, diğer sayı kaçtır?
Çözüm:
İki pozitif tam sayının önemli bir özelliği vardır: İki sayının çarpımı, bu sayıların EBOB'u ile EKOK'unun çarpımına eşittir.
- 👉 Bu kuralı kullanarak bilinmeyen sayıyı bulabiliriz. Sayılar \(a\) ve \(b\) olsun.
- Kural: \( a \times b = \text{EBOB}(a,b) \times \text{EKOK}(a,b) \)
- Bize verilenler:
- EBOB \( = 8 \)
- EKOK \( = 240 \)
- Birinci sayı (\(a\)) \( = 40 \)
- İkinci sayı (\(b\)) \( = ? \)
- Formülde yerine koyalım:
- \[ 40 \times b = 8 \times 240 \]
- Önce sağ tarafı çarpalım:
- \[ 40 \times b = 1920 \]
- Şimdi \(b\)'yi bulmak için her iki tarafı 40'a bölelim:
- \[ b = \frac{1920}{40} \]
- \[ b = 48 \]
- Sonuç olarak, diğer sayı 48'dir.
Örnek 8:
🎁 Bir miktar bilye, 12'şerli, 15'erli veya 20'şerli gruplara ayrıldığında her seferinde 7 bilye artmaktadır. Bilye sayısı 200 ile 300 arasında olduğuna göre, toplam bilye sayısı kaçtır?
Çözüm:
Bu, kalanlı bölme ve aralık sınırlaması içeren bir EKOK problemidir.
- 👉 Bilye sayısına \(N\) diyelim. \(N\) sayısı, 12, 15 ve 20'ye bölündüğünde 7 kalanını veriyor.
- Bu durumda, \( N - 7 \) sayısı 12, 15 ve 20'ye tam bölünebilir olmalıdır. Yani \( N - 7 \), EKOK(12, 15, 20)'nin bir katıdır.
- Önce EKOK(12, 15, 20)'yi bulalım:
- \[ 12 \quad 15 \quad 20 \quad | \quad 2 \]
- \[ 6 \quad 15 \quad 10 \quad | \quad 2 \]
- \[ 3 \quad 15 \quad 5 \quad | \quad 3 \]
- \[ 1 \quad 5 \quad 5 \quad | \quad 5 \]
- \[ 1 \quad 1 \quad 1 \]
- ✅ EKOK (12, 15, 20) \( = 2^2 \times 3 \times 5 = 4 \times 3 \times 5 = 60 \).
- 📌 Yani, \( N - 7 \) sayısı 60'ın bir katı olmalıdır: \( N - 7 = 60k \) (burada \(k\) bir tam sayıdır).
- Bu durumda \( N = 60k + 7 \) olur.
- Bize bilye sayısının 200 ile 300 arasında olduğu bilgisi verilmiş: \( 200 < N < 300 \).
- Şimdi \(k\) değerlerini deneyerek bu aralıktaki \(N\) değerini bulalım:
- Eğer \(k=1\) ise \( N = 60 \times 1 + 7 = 67 \) (aralıkta değil).
- Eğer \(k=2\) ise \( N = 60 \times 2 + 7 = 127 \) (aralıkta değil).
- Eğer \(k=3\) ise \( N = 60 \times 3 + 7 = 187 \) (aralıkta değil).
- Eğer \(k=4\) ise \( N = 60 \times 4 + 7 = 240 + 7 = 247 \) (aralıkta!).
- Eğer \(k=5\) ise \( N = 60 \times 5 + 7 = 307 \) (aralıkta değil).
- Sonuç olarak, bilye sayısı 247'dir.
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/10-sinif-matematik-ebob-ve-ekok-problemi/sorular