💡 10. Sınıf Matematik: Ebob ekok problemleri ve çözümleri Çözümlü Örnekler

Bu problemi çözmek için EBOB ve EKOK arasındaki temel ilişkiyi kullanacağız.
İki pozitif tam sayının çarpımı, bu sayıların EBOB'u ile EKOK'unun çarpımına eşittir.
Yani, \( a \times b = \text{EBOB}(a, b) \times \text{EKOK}(a, b) \) formülü geçerlidir.

• Verilenler:
• EBOB(a, b) = 6
• EKOK(a, b) = 36
• Bir sayı (diyelim ki a) = 12
• Diğer sayıyı (b) bulmamız gerekiyor.
• Formülü uygulayalım:
• \( 12 \times b = 6 \times 36 \)
• Denklemi b için çözelim:
• \( 12b = 216 \)
• \( b = \frac{216}{12} \)
• \( b = 18 \)

Sonuç olarak, diğer sayı 18'dir. ✅

Bu problemde, portakal sayısının hem 8'in katı olduğunu hem de 10'a bölündüğünde 4 kalanını verdiğini görüyoruz. Bu, EKOK ve kalan kavramlarını içeren bir problemdir.

• Portakal sayısına \( x \) diyelim.
• Problemdeki bilgiler şunlardır:
• \( x \equiv 0 \pmod{8} \) (8'erli gruplandığında artmıyor demek, 8'in katı demek)
• \( x \equiv 4 \pmod{10} \) (10'arlı gruplandığında 4 artıyor demek)
• İlk koşuldan \( x \)'in 8'in bir katı olduğunu biliyoruz.
• İkinci koşuldan \( x \)'in 10'a bölündüğünde 4 kalanını verdiğini biliyoruz.
• Bu durumda \( x \) sayısı şu şekilde ifade edilebilir: \( x = 10k + 4 \), burada \( k \) bir tam sayıdır.
• Şimdi \( x \)'in 8'in katı olmasını sağlayacak \( k \) değerini bulmalıyız.
• \( 10k + 4 \) ifadesinin 8'in katı olması için:
• \( 10k + 4 = 8m \) (m bir tam sayı)
• Bu denklemde \( k \)'ya değerler vererek \( x \)'in 8'in katı olduğu ilk değeri bulabiliriz.
• \( k=0 \implies x = 4 \) (8'in katı değil)
• \( k=1 \implies x = 14 \) (8'in katı değil)
• \( k=2 \implies x = 24 \) (8'in katı! \( 24 = 8 \times 3 \))

Manavın elindeki portakal sayısı en az 24'tür. ✅

Bu yeni nesil soruda, EBOB bilgisiyle sayıların toplamını kullanarak olası çiftleri bulmamız gerekiyor.

• EBOB'u 15 olan iki sayıya \( 15a \) ve \( 15b \) diyelim. Burada \( a \) ve \( b \) aralarında asal iki pozitif tam sayıdır (yani EBOB(a, b) = 1).
• Bu iki sayının toplamı 105 olarak verilmiş:
• \( 15a + 15b = 105 \)
• Denklemi sadeleştirelim:
• \( 15(a + b) = 105 \)
• \( a + b = \frac{105}{15} \)
• \( a + b = 7 \)
• Şimdi, toplamları 7 olan ve aralarında asal olan \( (a, b) \) pozitif tam sayı çiftlerini bulmalıyız:
• \( a=1, b=6 \implies \) EBOB(1, 6) = 1. Bu bir çözümdür. Sayılar: \( 15 \times 1 = 15 \) ve \( 15 \times 6 = 90 \). Toplamları \( 15 + 90 = 105 \).
• \( a=2, b=5 \implies \) EBOB(2, 5) = 1. Bu bir çözümdür. Sayılar: \( 15 \times 2 = 30 \) ve \( 15 \times 5 = 75 \). Toplamları \( 30 + 75 = 105 \).
• \( a=3, b=4 \implies \) EBOB(3, 4) = 1. Bu bir çözümdür. Sayılar: \( 15 \times 3 = 45 \) ve \( 15 \times 4 = 60 \). Toplamları \( 45 + 60 = 105 \).
• \( a=4, b=3 \implies \) Bu çift zaten \( (3, 4) \) ile aynı sayıları verir, sadece sıra farklıdır.
• \( a=5, b=2 \implies \) Bu çift zaten \( (2, 5) \) ile aynı sayıları verir.
• \( a=6, b=1 \implies \) Bu çift zaten \( (1, 6) \) ile aynı sayıları verir.

Toplamları 7 olan ve aralarında asal olan \( (a, b) \) pozitif tam sayı çiftleri \( (1, 6), (2, 5), (3, 4) \)'tür. Bu da 3 farklı değer çifti anlamına gelir. ✅

Bu problem, bilye sayısının belirli sayılara bölündüğünde belirli kalanları verdiği bir durumdur. EKOK ve kalan kavramlarını kullanacağız.

• Bilye sayısına \( x \) diyelim.
• Verilen bilgilere göre:
• \( x \equiv 2 \pmod{6} \)
• \( x \equiv 5 \pmod{9} \)
• Bu tür problemler için, kalanları sayılara ekleyerek veya çıkararak ortak bir noktaya ulaşmaya çalışabiliriz.
• İlk denklemi \( x+4 \) şeklinde düşünürsek: \( x+4 \equiv 2+4 \equiv 6 \equiv 0 \pmod{6} \). Yani \( x+4 \), 6'nın bir katıdır.
• İkinci denklemi \( x+4 \) şeklinde düşünürsek: \( x+4 \equiv 5+4 \equiv 9 \equiv 0 \pmod{9} \). Yani \( x+4 \), 9'un bir katıdır.
• Bu durumda \( x+4 \) sayısı hem 6'nın hem de 9'un ortak katı olmalıdır. En az bilye sayısını bulmak için 6 ve 9'un en küçük ortak katını (EKOK) bulmalıyız.
• EKOK(6, 9):
• 6 = \( 2 \times 3 \)
• 9 = \( 3^2 \)
• EKOK(6, 9) = \( 2 \times 3^2 = 2 \times 9 = 18 \)
• Yani, \( x+4 \) sayısı 18'in katıdır. En az bilye sayısını bulmak için \( x+4 = 18 \) alabiliriz.
• \( x+4 = 18 \)
• \( x = 18 - 4 \)
• \( x = 14 \)

Okulda en az 14 bilye vardır. ✅

Bu soruda, EBOB ve EKOK'un çarpımı ile sayıların çarpımı arasındaki ilişkiyi ve toplamın en az olması için sayıların birbirine yakın olması gerektiğini kullanacağız.

• İki sayımız \( a \) ve \( b \) olsun.
• Verilenler:
• EBOB(a, b) = 12
• EKOK(a, b) = 144
• Temel ilişki: \( a \times b = \text{EBOB}(a, b) \times \text{EKOK}(a, b) \)
• \( a \times b = 12 \times 144 \)
• \( a \times b = 1728 \)
• EBOB(a, b) = 12 olduğundan, sayılarımız \( a = 12x \) ve \( b = 12y \) şeklinde yazılabilir, burada \( x \) ve \( y \) aralarında asal pozitif tam sayılardır (EBOB(x, y) = 1).
• Bu ifadeleri \( a \times b \) denkleminde yerine koyalım:
• \( (12x) \times (12y) = 1728 \)
• \( 144xy = 1728 \)
• \( xy = \frac{1728}{144} \)
• \( xy = 12 \)
• Şimdi, çarpımları 12 olan ve aralarında asal olan \( (x, y) \) pozitif tam sayı çiftlerini bulmalıyız:
• \( x=1, y=12 \implies \) EBOB(1, 12) = 1. Bu bir çözümdür. Sayılar: \( a = 12 \times 1 = 12 \), \( b = 12 \times 12 = 144 \). Toplam: \( 12 + 144 = 156 \).
• \( x=3, y=4 \implies \) EBOB(3, 4) = 1. Bu bir çözümdür. Sayılar: \( a = 12 \times 3 = 36 \), \( b = 12 \times 4 = 48 \). Toplam: \( 36 + 48 = 84 \).
• \( x=4, y=3 \implies \) Bu çift zaten \( (3, 4) \) ile aynı sayıları verir.
• \( x=12, y=1 \implies \) Bu çift zaten \( (1, 12) \) ile aynı sayıları verir.
• Bulduğumuz çiftlere göre toplamları karşılaştıralım:
• 156
• 84

Bu iki sayının toplamı en az 84 olabilir. ✅

Bu klasik bir EBOB ve EKOK bulma problemidir. Asal çarpanlara ayırma yöntemini kullanacağız.

• Öncelikle 72 ve 108 sayılarının asal çarpanlarına ayrılmış hallerini bulalım:
• \( 72 = 2 \times 36 = 2 \times 6 \times 6 = 2 \times (2 \times 3) \times (2 \times 3) = 2^3 \times 3^2 \)
• \( 108 = 2 \times 54 = 2 \times 2 \times 27 = 2^2 \times 3^3 \)
• EBOB (72, 108) bulma:
• EBOB'u bulmak için, her iki sayının asal çarpanlarında bulunan ortak tabanların en küçük üslülerini alırız.
• Ortak tabanlar: 2 ve 3.
• En küçük üsler: \( 2^2 \) (çünkü 72'de \( 2^3 \), 108'de \( 2^2 \) var) ve \( 3^2 \) (çünkü 72'de \( 3^2 \), 108'de \( 3^3 \) var).
• EBOB(72, 108) = \( 2^2 \times 3^2 = 4 \times 9 = 36 \)
• EKOK (72, 108) bulma:
• EKOK'u bulmak için, her iki sayının asal çarpanlarında bulunan tüm tabanların en büyük üslülerini alırız.
• Tüm tabanlar: 2 ve 3.
• En büyük üsler: \( 2^3 \) (çünkü 72'de \( 2^3 \), 108'de \( 2^2 \) var) ve \( 3^3 \) (çünkü 72'de \( 3^2 \), 108'de \( 3^3 \) var).
• EKOK(72, 108) = \( 2^3 \times 3^3 = 8 \times 27 = 216 \)

Sonuç olarak, 72 ve 108 sayılarının EBOB'u 36 ve EKOK'u 216'dır. ✅

Bu problemde, ahşap çubuğun uzunluğunun hem 15'in hem de 20'nin tam katı olması gerektiğini anlıyoruz. En az uzunluğu bulmak için 15 ve 20'nin en küçük ortak katını (EKOK) hesaplamalıyız.

• Ahşap çubuğun uzunluğuna \( L \) diyelim.
• Verilen bilgilere göre:
• \( L \), 15'in bir katıdır.
• \( L \), 20'nin bir katıdır.
• Bu, \( L \)'nin 15 ve 20'nin ortak katı olduğu anlamına gelir. En az uzunluğu bulmak için EKOK(15, 20)'yi hesaplamalıyız.
• 15 ve 20'yi asal çarpanlarına ayıralım:
• \( 15 = 3 \times 5 \)
• \( 20 = 2^2 \times 5 \)
• EKOK'u bulmak için, her iki sayının asal çarpanlarında bulunan tüm tabanların en büyük üslülerini alırız:
• Tüm tabanlar: 2, 3, 5.
• En büyük üsler: \( 2^2 \), \( 3^1 \), \( 5^1 \).
• EKOK(15, 20) = \( 2^2 \times 3 \times 5 = 4 \times 3 \times 5 = 60 \)

Marangozun elindeki ahşap çubuğun uzunluğu en az 60 cm'dir. ✅

Bu soru, iki olayın periyodik olarak tekrarlandığı ve tekrar birlikte ne zaman olacağını bulmamız gereken bir EKOK problemidir.

• Birinci zil 12 dakikada bir çalıyor.
• İkinci zil 18 dakikada bir çalıyor.
• İki zil birlikte çaldıktan sonra tekrar birlikte çalmaları için geçen süre, her iki zilinde çalma sürelerinin bir ortak katı olmalıdır.
• Soruda en az tekrar çalacakları zaman sorulduğu için, 12 ve 18'in en küçük ortak katını (EKOK) bulmalıyız.
• 12 ve 18'i asal çarpanlarına ayıralım:
• \( 12 = 2^2 \times 3 \)
• \( 18 = 2 \times 3^2 \)
• EKOK'u bulmak için, her iki sayının asal çarpanlarında bulunan tüm tabanların en büyük üslülerini alırız:
• Tüm tabanlar: 2 ve 3.
• En büyük üsler: \( 2^2 \) ve \( 3^2 \).
• EKOK(12, 18) = \( 2^2 \times 3^2 = 4 \times 9 = 36 \)

İki zil birlikte çaldıktan sonra, tekrar birlikte 36 dakika sonra çalarlar. ✅

Bu soruda, EBOB ve EKOK bilgisiyle sayıların toplamının olası değerlerini bulacağız. Temel EBOB-EKOK ilişkisini ve aralarında asal olma şartını kullanacağız.

• İki sayımız \( a \) ve \( b \) olsun.
• Verilenler:
• EBOB(a, b) = 7
• EKOK(a, b) = 210
• Temel ilişki: \( a \times b = \text{EBOB}(a, b) \times \text{EKOK}(a, b) \)
• \( a \times b = 7 \times 210 \)
• \( a \times b = 1470 \)
• EBOB(a, b) = 7 olduğundan, \( a = 7x \) ve \( b = 7y \) şeklinde yazabiliriz, burada \( x \) ve \( y \) aralarında asal pozitif tam sayılardır (EBOB(x, y) = 1).
• Bu ifadeleri \( a \times b \) denkleminde yerine koyalım:
• \( (7x) \times (7y) = 1470 \)
• \( 49xy = 1470 \)
• \( xy = \frac{1470}{49} \)
• \( xy = 30 \)
• Şimdi, çarpımları 30 olan ve aralarında asal olan \( (x, y) \) pozitif tam sayı çiftlerini bulmalıyız:
• \( x=1, y=30 \implies \) EBOB(1, 30) = 1. Bu bir çözümdür. Sayılar: \( a = 7 \times 1 = 7 \), \( b = 7 \times 30 = 210 \). Toplam: \( 7 + 210 = 217 \).
• \( x=2, y=15 \implies \) EBOB(2, 15) = 1. Bu bir çözümdür. Sayılar: \( a = 7 \times 2 = 14 \), \( b = 7 \times 15 = 105 \). Toplam: \( 14 + 105 = 119 \).
• \( x=3, y=10 \implies \) EBOB(3, 10) = 1. Bu bir çözümdür. Sayılar: \( a = 7 \times 3 = 21 \), \( b = 7 \times 10 = 70 \). Toplam: \( 21 + 70 = 91 \).
• \( x=5, y=6 \implies \) EBOB(5, 6) = 1. Bu bir çözümdür. Sayılar: \( a = 7 \times 5 = 35 \), \( b = 7 \times 6 = 42 \). Toplam: \( 35 + 42 = 77 \).
• Bulduğumuz toplamlar: 217, 119, 91, 77.
• Şimdi şıklara bakalım:
• A) 70 (Bulunan toplamlar arasında yok)
• B) 77 (Bulunan toplamlardan biri!)
• C) 84 (Bulunan toplamlar arasında yok)
• D) 91 (Bulunan toplamlardan biri!)
• E) 105 (Bulunan toplamlar arasında yok)

Soruda "aşağıdakilerden hangisi olabilir?" dendiği için, bulduğumuz toplamlar arasından şıklarda olanı seçmeliyiz. Hem 77 hem de 91 şıklarda mevcuttur. Ancak genellikle bu tür sorularda tek bir doğru cevap olur. Sorunun formatı gereği, birden fazla doğru olabilecek şık varsa, en küçük olanı veya sorunun bağlamına uyanı seçmek gerekebilir. Eğer soruda "en az kaç olabilir" denseydi 77'yi seçerdik. Bu haliyle hem 77 hem de 91 doğrudur. Ancak sorunun tek doğru cevaplı olduğu varsayımıyla, şıklarda bulunan olası toplamları listeledik. Sorunun orijinalinde tek bir doğru cevap olması beklenir. Tekrar kontrol ettiğimizde, hem 77 hem de 91 olası toplamlardır. Eğer bu bir çoktan seçmeli soru ise, sorunun yazımında bir hata olabilir veya birden fazla doğru cevaplı bir soru olabilir. Ancak, 77 ve 91'in her ikisi de geçerli çözümlerdir. Sorunun formatı gereği, şıklardan birini seçmemiz isteniyor. Bu durumda, hem 77 hem de 91'in doğru olabileceğini belirtelim. Eğer tek bir şık seçmemiz gerekirse, bu sorunun bağlamında her ikisi de mümkündür. ✅