💡 10. Sınıf Matematik: Ebob ekok eşleştirme Çözümlü Örnekler

Sayıları asal çarpanlarına ayırarak sonuca ulaşalım: 💡

• \( 60 = 2^2 \times 3^1 \times 5^1 \)
• \( 84 = 2^2 \times 3^1 \times 7^1 \)
• EBOB: Ortak olan asal çarpanlardan üssü en küçük olanların çarpımıdır.
• \( EBOB(60, 84) = 2^2 \times 3^1 = 4 \times 3 = 12 \)
• EKOK: Ortak olanlardan üssü en büyük olanlar ile ortak olmayan tüm çarpanların çarpımıdır.
• \( EKOK(60, 84) = 2^2 \times 3^1 \times 5^1 \times 7^1 = 4 \times 3 \times 5 \times 7 = 420 \)

Sonuç olarak EBOB \( 12 \), EKOK ise \( 420 \) olarak bulunur. ✅

Ağaçlar arasındaki mesafenin en büyük olması gerekir ki ağaç sayısı en az olsun. Bu mesafe hem \( 40 \)'ı hem de \( 56 \)'yı tam bölmelidir. 🌳

• Aralık mesafesi = \( EBOB(40, 56) \)
• \( 40 = 2^3 \times 5 \)
• \( 56 = 2^3 \times 7 \)
• \( EBOB(40, 56) = 2^3 = 8 \) metre (İki ağaç arası mesafe).
• Bahçenin çevresini bulalım:
• Çevre = \( 2 \times (40 + 56) = 2 \times 96 = 192 \) metre.
• Ağaç sayısı = Çevre \( / \) Aralık mesafesi
• Ağaç sayısı = \( \frac{192}{8} = 24 \) adet.

Bahçenin etrafına en az \( 24 \) ağaç dikilmelidir. 📌

Zillerin tekrar birlikte çalması için geçen süre, her üç sürenin de ortak katı olmalıdır. 🔔

• Süre = \( EKOK(15, 20, 30) \)
• \( 15 = 3 \times 5 \)
• \( 20 = 2^2 \times 5 \)
• \( 30 = 2 \times 3 \times 5 \)
• \( EKOK(15, 20, 30) = 2^2 \times 3 \times 5 = 4 \times 3 \times 5 = 60 \) dakika.
• \( 60 \) dakika = \( 1 \) saat.
• İlk çalma saati: \( 09:00 \)
• İkinci çalma saati: \( 09:00 + 01:00 = 10:00 \)

Ziller ikinci kez saat \( 10:00 \)'da birlikte çalarlar. 🕒

İki sayının çarpımı ile EBOB ve EKOK değerleri arasındaki ilişkiyi kullanalım: 💡

• Verilen değerleri formülde yerine yazalım:
• \( 18 \times b = 6 \times 144 \)
• Eşitliğin her iki tarafını \( 6 \) ile sadeleştirelim:
• \( 3 \times b = 144 \)
• Şimdi her iki tarafı \( 3 \)'e bölelim:
• \( b = \frac{144}{3} \)
• \( b = 48 \)

Buna göre \( b \) sayısı \( 48 \) olarak bulunur. ✅

Torba sayısının en az olması için her bir torbanın kapasitesinin mümkün olan en büyük değerde olması gerekir. 📦

• Torba kapasitesi = \( EBOB(45, 60, 75) \)
• \( 45 = 3^2 \times 5 \)
• \( 60 = 2^2 \times 3 \times 5 \)
• \( 75 = 3 \times 5^2 \)
• \( EBOB(45, 60, 75) = 3 \times 5 = 15 \) kg (Bir torbanın kapasitesi).
• Şimdi her ürün için gereken torba sayısını bulalım:
• Pirinç için: \( \frac{45}{15} = 3 \) torba
• Mercimek için: \( \frac{60}{15} = 4 \) torba
• Fasulye için: \( \frac{75}{15} = 5 \) torba
• Toplam torba sayısı = \( 3 + 4 + 5 = 12 \)

Toplamda en az \( 12 \) torba gereklidir. ⚖️

Birlikte nöbet tutacakları gün sayısı, her iki nöbet süresinin ortak katı olmalıdır. 🏥

• Süre = \( EKOK(6, 8) \)
• \( 6 = 2 \times 3 \)
• \( 8 = 2^3 \)
• \( EKOK(6, 8) = 2^3 \times 3 = 24 \) gün sonra tekrar birlikte nöbet tutarlar.
• Haftanın günlerini hesaplayalım (Her \( 7 \) günde bir gün aynı kalır):
• \( 24 \div 7 \) işleminde kalan \( 3 \)'tür.
• Pazartesi gününe \( 3 \) gün ekleyelim:
• 1. gün: Salı, 2. gün: Çarşamba, 3. gün: Perşembe.

İkinci kez birlikte Perşembe günü nöbet tutarlar. 📅

Soruyu matematiksel denklemlerle ifade edelim: ✏️

• Her tarafa \( 3 \) ekleyelim:
• \( x + 3 = 5a + 5 = 6b + 6 \)
• \( x + 3 = 5(a + 1) = 6(b + 1) \)
• Bu durumda \( x + 3 \) sayısı hem \( 5 \)'in hem de \( 6 \)'nın tam katıdır.
• \( EKOK(5, 6) = 30 \)
• \( x + 3 \), \( 30 \)'un katları olmalıdır: \( 30, 60, 90, 120, ... \)
• \( x + 3 = 90 \) (100'den küçük en büyük kat)
• \( x = 90 - 3 = 87 \)

Şartı sağlayan en büyük \( x \) sayısı \( 87 \)'dir. ✅

Oluşturulacak kare zeminin bir kenarı, fayansların kenar uzunluklarının ortak katı olmalıdır. 🧱

• Karenin bir kenarı = \( EKOK(12, 18) \)
• \( 12 = 2^2 \times 3 \)
• \( 18 = 2 \times 3^2 \)
• \( EKOK(12, 18) = 2^2 \times 3^2 = 4 \times 9 = 36 \) cm.
• Gereken fayans sayısını bulmak için toplam alanı bir fayansın alanına bölelim:
• Fayans Sayısı = \( \frac{Karenin Alani}{Fayansin Alani} \)
• Fayans Sayısı = \( \frac{36 \times 36}{12 \times 18} \)
• Sadeleştirme yapalım: \( \frac{36}{12} = 3 \) ve \( \frac{36}{18} = 2 \)
• Fayans Sayısı = \( 3 \times 2 = 6 \) adet.

En az \( 6 \) adet fayans gereklidir. 📐