Sonuç olarak EBOB \( 12 \), EKOK ise \( 420 \) olarak bulunur. ✅
2
Çözümlü Örnek
Orta Seviye
Kenar uzunlukları \( 40 \) metre ve \( 56 \) metre olan dikdörtgen şeklindeki bir bahçenin etrafına, köşelere de gelmek şartıyla eşit aralıklarla ağaç dikilecektir. Buna göre, en az kaç ağaç gereklidir?
Çözüm ve Açıklama
Ağaçlar arasındaki mesafenin en büyük olması gerekir ki ağaç sayısı en az olsun. Bu mesafe hem \( 40 \)'ı hem de \( 56 \)'yı tam bölmelidir. 🌳
Aralık mesafesi = \( EBOB(40, 56) \)
\( 40 = 2^3 \times 5 \)
\( 56 = 2^3 \times 7 \)
\( EBOB(40, 56) = 2^3 = 8 \) metre (İki ağaç arası mesafe).
Bahçenin etrafına en az \( 24 \) ağaç dikilmelidir. 📌
3
Çözümlü Örnek
Orta Seviye
Üç farklı zil sırasıyla \( 15 \), \( 20 \) ve \( 30 \) dakikada bir çalmaktadır. Bu üç zil ilk kez saat \( 09:00 \)'da birlikte çaldığına göre, ikinci kez saat kaçta birlikte çalarlar?
Çözüm ve Açıklama
Zillerin tekrar birlikte çalması için geçen süre, her üç sürenin de ortak katı olmalıdır. 🔔
Ziller ikinci kez saat \( 10:00 \)'da birlikte çalarlar. 🕒
4
Çözümlü Örnek
Zor Seviye
Aralarında asal olmayan \( a \) ve \( b \) pozitif tam sayıları için \( EBOB(a, b) = 6 \) ve \( EKOK(a, b) = 144 \) olduğu bilinmektedir. \( a = 18 \) olduğuna göre, \( b \) sayısı kaçtır?
Çözüm ve Açıklama
İki sayının çarpımı ile EBOB ve EKOK değerleri arasındaki ilişkiyi kullanalım: 💡
\[ a \times b = EBOB(a, b) \times EKOK(a, b) \]
Verilen değerleri formülde yerine yazalım:
\( 18 \times b = 6 \times 144 \)
Eşitliğin her iki tarafını \( 6 \) ile sadeleştirelim:
\( 3 \times b = 144 \)
Şimdi her iki tarafı \( 3 \)'e bölelim:
\( b = \frac{144}{3} \)
\( b = 48 \)
Buna göre \( b \) sayısı \( 48 \) olarak bulunur. ✅
5
Çözümlü Örnek
Yeni Nesil Soru
Bir depoda bulunan \( 45 \) kg pirinç, \( 60 \) kg mercimek ve \( 75 \) kg fasulye birbirine karıştırılmadan ve hiç artmayacak şekilde eşit kapasiteli torbalara doldurulacaktır. Bu iş için en az kaç torba gereklidir?
Çözüm ve Açıklama
Torba sayısının en az olması için her bir torbanın kapasitesinin mümkün olan en büyük değerde olması gerekir. 📦
Torba kapasitesi = \( EBOB(45, 60, 75) \)
\( 45 = 3^2 \times 5 \)
\( 60 = 2^2 \times 3 \times 5 \)
\( 75 = 3 \times 5^2 \)
\( EBOB(45, 60, 75) = 3 \times 5 = 15 \) kg (Bir torbanın kapasitesi).
Şimdi her ürün için gereken torba sayısını bulalım:
Pirinç için: \( \frac{45}{15} = 3 \) torba
Mercimek için: \( \frac{60}{15} = 4 \) torba
Fasulye için: \( \frac{75}{15} = 5 \) torba
Toplam torba sayısı = \( 3 + 4 + 5 = 12 \)
Toplamda en az \( 12 \) torba gereklidir. ⚖️
6
Çözümlü Örnek
Günlük Hayattan Örnek
Bir hemşire \( 6 \) günde bir, bir doktor ise \( 8 \) günde bir nöbet tutmaktadır. İkisi birlikte ilk nöbetlerini Pazartesi günü tuttuklarına göre, ikinci kez birlikte hangi gün nöbet tutarlar?
Çözüm ve Açıklama
Birlikte nöbet tutacakları gün sayısı, her iki nöbet süresinin ortak katı olmalıdır. 🏥
Süre = \( EKOK(6, 8) \)
\( 6 = 2 \times 3 \)
\( 8 = 2^3 \)
\( EKOK(6, 8) = 2^3 \times 3 = 24 \) gün sonra tekrar birlikte nöbet tutarlar.
Haftanın günlerini hesaplayalım (Her \( 7 \) günde bir gün aynı kalır):
\( 24 \div 7 \) işleminde kalan \( 3 \)'tür.
Pazartesi gününe \( 3 \) gün ekleyelim:
1. gün: Salı, 2. gün: Çarşamba, 3. gün: Perşembe.
İkinci kez birlikte Perşembe günü nöbet tutarlar. 📅
7
Çözümlü Örnek
Orta Seviye
Bir \( x \) doğal sayısı \( 5 \)'e bölündüğünde \( 2 \), \( 6 \)'ya bölündüğünde ise \( 3 \) kalanını vermektedir. Bu şartı sağlayan \( 100 \)'den küçük en büyük \( x \) doğal sayısı kaçtır?
Çözüm ve Açıklama
Soruyu matematiksel denklemlerle ifade edelim: ✏️
\[ x = 5a + 2 = 6b + 3 \]
Her tarafa \( 3 \) ekleyelim:
\( x + 3 = 5a + 5 = 6b + 6 \)
\( x + 3 = 5(a + 1) = 6(b + 1) \)
Bu durumda \( x + 3 \) sayısı hem \( 5 \)'in hem de \( 6 \)'nın tam katıdır.
Şartı sağlayan en büyük \( x \) sayısı \( 87 \)'dir. ✅
8
Çözümlü Örnek
Yeni Nesil Soru
Boyutları \( 12 \) cm ve \( 18 \) cm olan dikdörtgen şeklindeki fayanslar yan yana getirilerek bir kare zemin oluşturulacaktır. Bu iş için en az kaç fayans kullanılmalıdır?
Çözüm ve Açıklama
Oluşturulacak kare zeminin bir kenarı, fayansların kenar uzunluklarının ortak katı olmalıdır. 🧱
Sonuç olarak EBOB \( 12 \), EKOK ise \( 420 \) olarak bulunur. ✅
Örnek 2:
Kenar uzunlukları \( 40 \) metre ve \( 56 \) metre olan dikdörtgen şeklindeki bir bahçenin etrafına, köşelere de gelmek şartıyla eşit aralıklarla ağaç dikilecektir. Buna göre, en az kaç ağaç gereklidir?
Çözüm:
Ağaçlar arasındaki mesafenin en büyük olması gerekir ki ağaç sayısı en az olsun. Bu mesafe hem \( 40 \)'ı hem de \( 56 \)'yı tam bölmelidir. 🌳
Aralık mesafesi = \( EBOB(40, 56) \)
\( 40 = 2^3 \times 5 \)
\( 56 = 2^3 \times 7 \)
\( EBOB(40, 56) = 2^3 = 8 \) metre (İki ağaç arası mesafe).
Bahçenin etrafına en az \( 24 \) ağaç dikilmelidir. 📌
Örnek 3:
Üç farklı zil sırasıyla \( 15 \), \( 20 \) ve \( 30 \) dakikada bir çalmaktadır. Bu üç zil ilk kez saat \( 09:00 \)'da birlikte çaldığına göre, ikinci kez saat kaçta birlikte çalarlar?
Çözüm:
Zillerin tekrar birlikte çalması için geçen süre, her üç sürenin de ortak katı olmalıdır. 🔔
Ziller ikinci kez saat \( 10:00 \)'da birlikte çalarlar. 🕒
Örnek 4:
Aralarında asal olmayan \( a \) ve \( b \) pozitif tam sayıları için \( EBOB(a, b) = 6 \) ve \( EKOK(a, b) = 144 \) olduğu bilinmektedir. \( a = 18 \) olduğuna göre, \( b \) sayısı kaçtır?
Çözüm:
İki sayının çarpımı ile EBOB ve EKOK değerleri arasındaki ilişkiyi kullanalım: 💡
\[ a \times b = EBOB(a, b) \times EKOK(a, b) \]
Verilen değerleri formülde yerine yazalım:
\( 18 \times b = 6 \times 144 \)
Eşitliğin her iki tarafını \( 6 \) ile sadeleştirelim:
\( 3 \times b = 144 \)
Şimdi her iki tarafı \( 3 \)'e bölelim:
\( b = \frac{144}{3} \)
\( b = 48 \)
Buna göre \( b \) sayısı \( 48 \) olarak bulunur. ✅
Örnek 5:
Bir depoda bulunan \( 45 \) kg pirinç, \( 60 \) kg mercimek ve \( 75 \) kg fasulye birbirine karıştırılmadan ve hiç artmayacak şekilde eşit kapasiteli torbalara doldurulacaktır. Bu iş için en az kaç torba gereklidir?
Çözüm:
Torba sayısının en az olması için her bir torbanın kapasitesinin mümkün olan en büyük değerde olması gerekir. 📦
Torba kapasitesi = \( EBOB(45, 60, 75) \)
\( 45 = 3^2 \times 5 \)
\( 60 = 2^2 \times 3 \times 5 \)
\( 75 = 3 \times 5^2 \)
\( EBOB(45, 60, 75) = 3 \times 5 = 15 \) kg (Bir torbanın kapasitesi).
Şimdi her ürün için gereken torba sayısını bulalım:
Pirinç için: \( \frac{45}{15} = 3 \) torba
Mercimek için: \( \frac{60}{15} = 4 \) torba
Fasulye için: \( \frac{75}{15} = 5 \) torba
Toplam torba sayısı = \( 3 + 4 + 5 = 12 \)
Toplamda en az \( 12 \) torba gereklidir. ⚖️
Örnek 6:
Bir hemşire \( 6 \) günde bir, bir doktor ise \( 8 \) günde bir nöbet tutmaktadır. İkisi birlikte ilk nöbetlerini Pazartesi günü tuttuklarına göre, ikinci kez birlikte hangi gün nöbet tutarlar?
Çözüm:
Birlikte nöbet tutacakları gün sayısı, her iki nöbet süresinin ortak katı olmalıdır. 🏥
Süre = \( EKOK(6, 8) \)
\( 6 = 2 \times 3 \)
\( 8 = 2^3 \)
\( EKOK(6, 8) = 2^3 \times 3 = 24 \) gün sonra tekrar birlikte nöbet tutarlar.
Haftanın günlerini hesaplayalım (Her \( 7 \) günde bir gün aynı kalır):
\( 24 \div 7 \) işleminde kalan \( 3 \)'tür.
Pazartesi gününe \( 3 \) gün ekleyelim:
1. gün: Salı, 2. gün: Çarşamba, 3. gün: Perşembe.
İkinci kez birlikte Perşembe günü nöbet tutarlar. 📅
Örnek 7:
Bir \( x \) doğal sayısı \( 5 \)'e bölündüğünde \( 2 \), \( 6 \)'ya bölündüğünde ise \( 3 \) kalanını vermektedir. Bu şartı sağlayan \( 100 \)'den küçük en büyük \( x \) doğal sayısı kaçtır?
Çözüm:
Soruyu matematiksel denklemlerle ifade edelim: ✏️
\[ x = 5a + 2 = 6b + 3 \]
Her tarafa \( 3 \) ekleyelim:
\( x + 3 = 5a + 5 = 6b + 6 \)
\( x + 3 = 5(a + 1) = 6(b + 1) \)
Bu durumda \( x + 3 \) sayısı hem \( 5 \)'in hem de \( 6 \)'nın tam katıdır.
Şartı sağlayan en büyük \( x \) sayısı \( 87 \)'dir. ✅
Örnek 8:
Boyutları \( 12 \) cm ve \( 18 \) cm olan dikdörtgen şeklindeki fayanslar yan yana getirilerek bir kare zemin oluşturulacaktır. Bu iş için en az kaç fayans kullanılmalıdır?
Çözüm:
Oluşturulacak kare zeminin bir kenarı, fayansların kenar uzunluklarının ortak katı olmalıdır. 🧱