🎓 10. Sınıf
📚 10. Sınıf Matematik
💡 10. Sınıf Matematik: Dörtgenler Çözümlü Örnekler
10. Sınıf Matematik: Dörtgenler Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Bir ABCD dörtgeninde A açısı \( 75^\circ \), B açısı \( 90^\circ \) ve C açısı \( 110^\circ \) ise D açısı kaç derecedir? 📐
Çözüm:
- Dörtgenin İç Açıları Toplamı: Dörtgenlerin iç açılarının toplamı her zaman \( 360^\circ \) eder.
- Verilen Açılar: \( \angle A = 75^\circ \), \( \angle B = 90^\circ \), \( \angle C = 110^\circ \)
- Toplamı Hesaplama: Verilen açıları toplayalım: \( 75^\circ + 90^\circ + 110^\circ = 275^\circ \)
- D Açısını Bulma: Dörtgenin iç açıları toplamından verilen açıların toplamını çıkararak D açısını buluruz: \( \angle D = 360^\circ - 275^\circ = 85^\circ \)
Örnek 2:
Kenar uzunlukları 8 cm ve 12 cm olan bir paralelkenarın alanı \( 48 \, \text{cm}^2 \) ise bu paralelkenarın bu kenarlara ait yüksekliklerinin toplamı kaç cm'dir? 📏
Çözüm:
- Paralelkenarın Alanı: Paralelkenarın alanı, bir kenarı ile o kenara ait yüksekliğin çarpımına eşittir. Alan \( = \text{taban} \times \text{yükseklik} \).
- Verilenler: Kenarlar \( a = 8 \, \text{cm} \), \( b = 12 \, \text{cm} \). Alan \( = 48 \, \text{cm}^2 \).
- Yükseklik 1 (h_a): \( 48 = 8 \times h_a \Rightarrow h_a = \frac{48}{8} = 6 \, \text{cm} \)
- Yükseklik 2 (h_b): \( 48 = 12 \times h_b \Rightarrow h_b = \frac{48}{12} = 4 \, \text{cm} \)
- Yüksekliklerin Toplamı: \( h_a + h_b = 6 \, \text{cm} + 4 \, \text{cm} = 10 \, \text{cm} \)
Örnek 3:
Bir eşkenar dörtgenin köşegen uzunlukları 10 cm ve 16 cm'dir. Bu eşkenar dörtgenin çevresi kaç cm'dir? 💎
Çözüm:
- Eşkenar Dörtgen Özellikleri: Köşegenler birbirini dik ortalar ve eşkenar dörtgenin tüm kenar uzunlukları eşittir.
- Köşegenlerin Yarısı: Köşegenlerin yarısı \( \frac{10}{2} = 5 \, \text{cm} \) ve \( \frac{16}{2} = 8 \, \text{cm} \) olur.
- Dik Üçgen Oluşturma: Köşegenlerin kesişim noktası ile kenarlar bir dik üçgen oluşturur. Bu dik üçgenin dik kenarları 5 cm ve 8 cm'dir.
- Kenar Uzunluğunu Bulma: Pisagor teoremini kullanarak eşkenar dörtgenin bir kenar uzunluğunu (k) bulalım: \( k^2 = 5^2 + 8^2 = 25 + 64 = 89 \). O halde \( k = \sqrt{89} \, \text{cm} \).
- Çevreyi Hesaplama: Eşkenar dörtgenin çevresi 4 kenar uzunluğunun toplamıdır: Çevre \( = 4 \times k = 4\sqrt{89} \, \text{cm} \).
Örnek 4:
Bir bahçe duvarının bir bölümü, kenar uzunlukları 5 metre ve 12 metre olan dikdörtgen şeklinde bir pencere boşluğu bırakılarak örülmüştür. Bu pencere boşluğunun etrafına döşenecek fayansların metrekare fiyatı 20 TL'dir. Pencere boşluğunun alanı kaç metrekaredir ve döşeme maliyeti ne kadardır? 💰
Çözüm:
- Dikdörtgen Alanı: Dikdörtgenin alanı, uzun kenarı ile kısa kenarının çarpımına eşittir. Alan \( = \text{uzun kenar} \times \text{kısa kenar} \).
- Verilenler: Uzun kenar \( = 12 \, \text{m} \), Kısa kenar \( = 5 \, \text{m} \).
- Pencere Alanını Hesaplama: Pencere alanı \( = 12 \, \text{m} \times 5 \, \text{m} = 60 \, \text{m}^2 \).
- Döşeme Maliyeti: Metrekare fiyatı 20 TL olduğuna göre, toplam maliyet: \( 60 \, \text{m}^2 \times 20 \, \text{TL/m}^2 = 1200 \, \text{TL} \).
Örnek 5:
Bir yamuğun taban uzunlukları 10 cm ve 18 cm, yüksekliği ise 7 cm'dir. Bu yamuğun alanı kaç \( \text{cm}^2 \) dir? 🏞️
Çözüm:
- Yamuğun Alanı Formülü: Yamuğun alanı, taban uzunlukları toplamının yarısının yükseklik ile çarpımına eşittir. Alan \( = \frac{\text{taban}_1 + \text{taban}_2}{2} \times \text{yükseklik} \).
- Verilenler: Taban \( _1 = 10 \, \text{cm} \), Taban \( _2 = 18 \, \text{cm} \), Yükseklik \( = 7 \, \text{cm} \).
- Alanı Hesaplama: Alan \( = \frac{10 \, \text{cm} + 18 \, \text{cm}}{2} \times 7 \, \text{cm} = \frac{28 \, \text{cm}}{2} \times 7 \, \text{cm} = 14 \, \text{cm} \times 7 \, \text{cm} = 98 \, \text{cm}^2 \).
Örnek 6:
Bir inşaat mühendisi, 10 metre uzunluğunda ve 6 metre genişliğinde bir otopark alanı tasarlıyor. Bu otopark alanının etrafına, her biri 2 metre genişliğinde park yerleri çizilecektir. Bu otopark alanının çevresi kaç metredir ve kaç adet park yeri çizilebilir (her park yeri 2 metre genişliğinde kabul edilirse)? 🅿️
Çözüm:
- Dikdörtgen Çevre Formülü: Dikdörtgenin çevresi \( 2 \times (\text{uzun kenar} + \text{kısa kenar}) \).
- Verilenler: Uzun kenar \( = 10 \, \text{m} \), Kısa kenar \( = 6 \, \text{m} \).
- Otopark Çevresini Hesaplama: Çevre \( = 2 \times (10 \, \text{m} + 6 \, \text{m}) = 2 \times 16 \, \text{m} = 32 \, \text{m} \).
- Park Yeri Sayısı: Otoparkın çevresi \( 32 \, \text{m} \) ve her park yeri \( 2 \, \text{m} \) genişliğinde ise, çizilebilecek park yeri sayısı \( \frac{32 \, \text{m}}{2 \, \text{m/park yeri}} = 16 \) adet olur.
Örnek 7:
Bir ABCD paralelkenarında \( AB = 15 \, \text{cm} \), \( AD = 10 \, \text{cm} \) ve \( \angle DAB = 60^\circ \) ise bu paralelkenarın alanı kaç \( \text{cm}^2 \) dir? 📐
Çözüm:
- Paralelkenarın Alanı Formülü: İki kenar uzunluğu ve aralarındaki açının sinüsü biliniyorsa, alan \( = a \times b \times \sin(\theta) \).
- Verilenler: \( a = 15 \, \text{cm} \), \( b = 10 \, \text{cm} \), \( \theta = \angle DAB = 60^\circ \).
- Sinüs Değeri: \( \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} \).
- Alanı Hesaplama: Alan \( = 15 \, \text{cm} \times 10 \, \text{cm} \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 150 \times \frac{\sqrt{3}}{2} \, \text{cm}^2 = 75\sqrt{3} \, \text{cm}^2 \).
Örnek 8:
Bir kenarı 20 cm olan kare şeklindeki bir masanın üzerine, köşeleri masanın kenarlarının orta noktalarına gelecek şekilde bir eşkenar dörtgen örtü serilmiştir. Bu örtünün alanı kaç \( \text{cm}^2 \) dir? ⬜
Çözüm:
- Kare ve Eşkenar Dörtgen İlişkisi: Karenin kenar uzunluğu 20 cm ise, kenarlarının orta noktalarını birleştiren doğru parçaları, karenin köşegenlerini oluşturur.
- Karenin Köşegenleri: Karenin köşegenleri birbirine eşittir ve birbirini dik ortalar.
- Eşkenar Dörtgenin Köşegenleri: Masanın kenarlarının orta noktalarını birleştiren doğru parçaları, örtü olan eşkenar dörtgenin köşegenlerini oluşturur. Bu köşegenler, karenin kenarlarının orta noktalarını birleştirdiği için, karenin kenar uzunluğuna eşittir.
- Eşkenar Dörtgenin Köşegen Uzunlukları: Eşkenar dörtgenin köşegenleri \( d_1 = 20 \, \text{cm} \) ve \( d_2 = 20 \, \text{cm} \) olur.
- Eşkenar Dörtgen Alanı: Eşkenar dörtgenin alanı, köşegenlerinin çarpımının yarısına eşittir. Alan \( = \frac{d_1 \times d_2}{2} \).
- Alanı Hesaplama: Alan \( = \frac{20 \, \text{cm} \times 20 \, \text{cm}}{2} = \frac{400 \, \text{cm}^2}{2} = 200 \, \text{cm}^2 \).
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/10-sinif-matematik-dortgenler/sorular