🎓 10. Sınıf
📚 10. Sınıf Matematik
💡 10. Sınıf Matematik: Doğrusal, küresel, köklü ve rasyonel fonksiyonlardan türetilen denklem ve eşitsizlikler Çözümlü Örnekler
10. Sınıf Matematik: Doğrusal, küresel, köklü ve rasyonel fonksiyonlardan türetilen denklem ve eşitsizlikler Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Birinci dereceden bir bilinmeyenli denklem örneği:
3x - 5 = 10 denklemini sağlayan x değeri kaçtır? 🤔
3x - 5 = 10 denklemini sağlayan x değeri kaçtır? 🤔
Çözüm:
Bu, doğrusal bir denklem örneğidir. Amacımız x'i yalnız bırakmaktır.
- İlk olarak, sabit terimi denklemin diğer tarafına geçirelim:
\( 3x = 10 + 5 \) - Toplama işlemini yapalım:
\( 3x = 15 \) - Şimdi x'i bulmak için her iki tarafı da 3'e bölelim:
\( x = \frac{15}{3} \) - Sonucu hesaplayalım:
\( x = 5 \)
Örnek 2:
İkinci dereceden bir bilinmeyenli eşitsizlik örneği:
x² - 4 < 0 eşitsizliğini sağlayan x tam sayı değerleri nelerdir? 🧐
x² - 4 < 0 eşitsizliğini sağlayan x tam sayı değerleri nelerdir? 🧐
Çözüm:
Bu, küresel (ikinci dereceden) bir eşitsizlik örneğidir.
- Eşitsizliği \( x^2 - 4 = 0 \) denklemini çözerek köklerini bulalım:
\( x^2 = 4 \)
\( x = 2 \) veya \( x = -2 \) - Bu kökler sayı doğrusunu üç aralığa böler: \( (-\infty, -2) \), \( (-2, 2) \) ve \( (2, \infty) \)
- Her bir aralıkta eşitsizliğin işaretini inceleyelim.
Örneğin, \( (-2, 2) \) aralığından bir değer (örneğin x=0) alalım:
\( 0^2 - 4 = -4 \). \( -4 < 0 \) olduğu için bu aralık eşitsizliği sağlar. - Diğer aralıklarda ise eşitsizlik sağlanmaz.
- Bu nedenle, \( x^2 - 4 < 0 \) eşitsizliğini sağlayan reel sayılar \( (-2, 2) \) aralığındadır.
- Soruda tam sayı değerleri sorulduğu için bu aralıktaki tam sayılar -1, 0 ve 1'dir.
Örnek 3:
Rasyonel bir denklem örneği:
\(\frac{x+1}{x-2} = 3\) denkleminin çözüm kümesi nedir? 🧮
\(\frac{x+1}{x-2} = 3\) denkleminin çözüm kümesi nedir? 🧮
Çözüm:
Bu rasyonel bir denklemdir. Paydanın sıfır olmaması gerektiğini unutmayalım (x ≠ 2).
- Denklemin her iki tarafını payda ile çarpalım:
\( x+1 = 3(x-2) \) - Dağılma özelliğini uygulayalım:
\( x+1 = 3x - 6 \) - x'li terimleri bir tarafa, sabit terimleri diğer tarafa toplayalım:
\( 1 + 6 = 3x - x \)
\( 7 = 2x \) - x'i bulmak için her iki tarafı 2'ye bölelim:
\( x = \frac{7}{2} \) - Bulduğumuz x değeri paydanın sıfır olmaması koşulunu (x ≠ 2) sağlamaktadır.
Örnek 4:
Köklü bir denklem örneği:
\(\sqrt{x+2} = 4\) denklemini sağlayan x değeri kaçtır? 🔢
\(\sqrt{x+2} = 4\) denklemini sağlayan x değeri kaçtır? 🔢
Çözüm:
Bu, köklü bir denklem örneğidir. Kökün derecesi çift olduğu için içindeki ifadenin negatif olmaması gerekir (x+2 ≥ 0).
- Denklemin her iki tarafının karesini alarak kökten kurtulalım:
\( (\sqrt{x+2})^2 = 4^2 \)
\( x+2 = 16 \) - x'i yalnız bırakmak için 2'yi karşıya atalım:
\( x = 16 - 2 \)
\( x = 14 \) - Bulduğumuz x değerinin köklü ifadenin tanım kümesini sağlayıp sağlamadığını kontrol edelim:
\( 14 + 2 = 16 \geq 0 \). Koşul sağlanıyor.
Örnek 5:
Bir teknoloji mağazasında satılan akıllı telefonların fiyatları, üretim yılına (t) bağlı olarak yaklaşık olarak f(t) = 1000 + 50t - 0.5t² formülü ile modellenebilir.
Bu formüle göre, hangi yıllarda telefonların fiyatı 1200 TL'den fazla olur? (t=0, ilk üretim yılıdır.) 📈
Bu formüle göre, hangi yıllarda telefonların fiyatı 1200 TL'den fazla olur? (t=0, ilk üretim yılıdır.) 📈
Çözüm:
Bu, küresel bir fonksiyonla modellenebilen bir fiyat denklemidir.
- Fiyatın 1200 TL'den fazla olması için şu eşitsizliği çözmeliyiz:
\( 1000 + 50t - 0.5t² > 1200 \) - Eşitsizliği yeniden düzenleyelim:
\( -0.5t² + 50t - 200 > 0 \) - Denklemin işaretini değiştirmek için her tarafı -1 ile çarpıp eşitsizliği ters çevirelim:
\( 0.5t² - 50t + 200 < 0 \) - Bu ikinci dereceden eşitsizliği çözmek için öncelikle \( 0.5t² - 50t + 200 = 0 \) denkleminin köklerini bulalım.
Denklemi 2 ile çarparsak: \( t² - 100t + 400 = 0 \)
Diskriminant (Δ) hesaplayalım: \( \Delta = b^2 - 4ac = (-100)^2 - 4(1)(400) = 10000 - 1600 = 8400 \)
Kökler: \( t = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{100 \pm \sqrt{8400}}{2} \)
\( \sqrt{8400} \approx 91.65 \)
\( t_1 = \frac{100 - 91.65}{2} \approx 4.175 \)
\( t_2 = \frac{100 + 91.65}{2} \approx 95.825 \) - Eşitsizlik \( 0.5t² - 50t + 200 < 0 \) olduğundan ve parabolün kolları yukarı doğru olduğundan, bu eşitsizlik kökler arasındaki değerler için sağlanır.
- Yani, yaklaşık olarak t=4.175 ile t=95.825 yılları arasında telefon fiyatları 1200 TL'den fazla olacaktır.
Örnek 6:
Bir kimyager, bir reaksiyonun sıcaklığını T(t) = 20 + 5\sqrt{t} formülü ile zamanla (t saniye) değiştiğini gözlemlemektedir.
Sıcaklığın 40°C'ye ulaştığı anı bulunuz. 🌡️
Sıcaklığın 40°C'ye ulaştığı anı bulunuz. 🌡️
Çözüm:
Bu, köklü fonksiyonlarla günlük hayattaki bir uygulamadır.
- Sıcaklığın 40°C'ye eşit olduğu anı bulmak için şu denklemi çözmeliyiz:
\( 20 + 5\sqrt{t} = 40 \) - Sabit terimi denklemin diğer tarafına atalım:
\( 5\sqrt{t} = 40 - 20 \)
\( 5\sqrt{t} = 20 \) - Her iki tarafı 5'e bölelim:
\( \sqrt{t} = \frac{20}{5} \)
\( \sqrt{t} = 4 \) - t'yi bulmak için her iki tarafın karesini alalım:
\( (\sqrt{t})^2 = 4^2 \)
\( t = 16 \)
Örnek 7:
\(\frac{2}{x} - \frac{1}{x+1} = \frac{3}{x(x+1)}\) rasyonel denklemini sağlayan x değerleri nelerdir? ✖️
Çözüm:
Bu rasyonel denklemde paydaların sıfır olmaması gerektiğini unutmayalım: \( x \neq 0 \) ve \( x \neq -1 \).
- Denklemin paydalarını eşitlemek için en küçük ortak katı (EKOK) olan \( x(x+1) \) ile her terimi çarpalım:
\( x(x+1) \left( \frac{2}{x} \right) - x(x+1) \left( \frac{1}{x+1} \right) = x(x+1) \left( \frac{3}{x(x+1)} \right) \) - Sadeleştirmeleri yapalım:
\( 2(x+1) - x(1) = 3 \) - Denklemi çözelim:
\( 2x + 2 - x = 3 \)
\( x + 2 = 3 \)
\( x = 3 - 2 \)
\( x = 1 \) - Bulduğumuz x=1 değeri, paydaların sıfır olmaması koşullarını (x ≠ 0 ve x ≠ -1) sağlamaktadır.
Örnek 8:
Bir parkta bulunan salıncakların denge noktasına uzaklığı (x metre), salıncağın uygulanan kuvveti (F Newton) ile ters orantılıdır. Bu ilişki F = \(\frac{k}{x}\) şeklinde ifade edilebilir, burada k bir sabittir.
Eğer 2 metre uzaklıktaki bir noktaya 100 Newton kuvvet uygulanıyorsa, 5 metre uzaklıktaki bir noktaya uygulanması gereken kuvvet kaç Newton olur? ⚖️
Eğer 2 metre uzaklıktaki bir noktaya 100 Newton kuvvet uygulanıyorsa, 5 metre uzaklıktaki bir noktaya uygulanması gereken kuvvet kaç Newton olur? ⚖️
Çözüm:
Bu, ters orantı ve rasyonel fonksiyonlarla ilgili bir problemdir.
- Öncelikle verilen bilgilerle k sabitini bulalım:
\( 100 = \frac{k}{2} \)
Her iki tarafı 2 ile çarparsak:
\( k = 100 \times 2 = 200 \) - Şimdi k sabitini kullanarak 5 metre uzaklıktaki kuvveti hesaplayalım:
\( F = \frac{200}{5} \) - Kuvveti hesaplayalım:
\( F = 40 \)
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/10-sinif-matematik-dogrusal-kuresel-koklu-ve-rasyonel-fonksiyonlardan-turetilen-denklem-ve-esitsizlikler/sorular