💡 10. Sınıf Matematik: Doğrusal, Karesel ve Karekök Fonksiyonlar ile Ters Fonksiyonları Çözümlü Örnekler

Bu problemi bir doğrusal fonksiyonla modelleyelim:

• Başlangıç Ücreti: Sabit olan 50 TL, fonksiyonun sabit terimidir.
• Saatlik Ücret: Her saat için eklenen 30 TL, değişkenimiz olan x'in katsayısıdır.
• Fonksiyon Tanımı: Toplam ücret f(x) ise, fonksiyonumuz şu şekilde olur:

\[ f(x) = 30x + 50 \] Bu fonksiyon, tamircinin kaç saat çalıştığına bağlı olarak ödenecek toplam ücreti hesaplamamızı sağlar. 💡

Karenin alanını bir karesel fonksiyon ile ifade edebiliriz:

• Kenar Uzunluğu: x
• Alan Fonksiyonu: Alan, kenar uzunluğunun karesidir.

\[ A(x) = x^2 \] Bu bir karesel fonksiyondur.
Kenar uzunluğu x = 5 birim olduğunda alan şu şekilde hesaplanır: \[ A(5) = 5^2 = 25 \] Yani, kenarı 5 birim olan karenin alanı 25 birim karedir. ✅

Karenin kenar uzunluğunu alanına bağlı olarak bir karekök fonksiyonu ile ifade edelim:

• Alan: A
• Kenar Uzunluğu Fonksiyonu:

\[ x(A) = \sqrt{A} \] Bu bir karekök fonksiyonudur.
Eğer alan A = 64 birim kare ise, kenar uzunluğu: \[ x(64) = \sqrt{64} = 8 \] Karenin bir kenar uzunluğu 8 birimdir. 📏

Ters fonksiyonu bulmak için şu adımları izleriz:

• Fonksiyonu y ile ifade et:

\[ y = 2x + 3 \]

• x'i y cinsinden yalnız bırak:

\[ y - 3 = 2x \] \[ x = \frac{y - 3}{2} \]

• x ve y'nin yerini değiştir:

\[ y = \frac{x - 3}{2} \]

• Ters fonksiyonu f^{-1}(x) ile göster:

\[ f^{-1}(x) = \frac{x - 3}{2} \] Bu fonksiyon, \( f(x) \) fonksiyonunun yaptığı işlemi tersine çevirir. 👉

Bu tarifeyi bir doğrusal fonksiyonla modelleyelim:

• Sabit Ücret: 20 TL
• Dakika Başı Ücret: 0.50 TL
• Toplam Fatura Fonksiyonu F(x):

\[ F(x) = 0.50x + 20 \] Şimdi 100 dakika konuşma yapıldığında ödenecek fatura miktarını hesaplayalım:
\[ F(100) = 0.50 \times 100 + 20 \] \[ F(100) = 50 + 20 \] \[ F(100) = 70 \] 100 dakika konuşma yapıldığında fatura 70 TL olur. 💰

Önce \( f(x) \) fonksiyonunun tersini bulalım:

• y = f(x)

\[ y = 3x - 5 \]

• x'i yalnız bırak:

\[ y + 5 = 3x \] \[ x = \frac{y + 5}{3} \]

• x ve y'nin yerini değiştir:

\[ y = \frac{x + 5}{3} \] Yani, \( f^{-1}(x) = \frac{x + 5}{3} \).
Şimdi \( f(f^{-1}(4)) \) değerini hesaplayalım. Ters fonksiyon özelliğini kullanarak doğrudan 4 sonucunu elde edebiliriz. Ancak, adımları görmek için hesaplayalım:

• Önce f^{-1}(4) hesaplanır:

\[ f^{-1}(4) = \frac{4 + 5}{3} = \frac{9}{3} = 3 \]

• Sonra f(3) hesaplanır:

\[ f(3) = 3 \times 3 - 5 = 9 - 5 = 4 \] Sonuç olarak, \( f(f^{-1}(4)) = 4 \) olur. ✅

Bahçenin çevresini bir fonksiyonla ifade edelim:

• Kenar Uzunluğu: x metre
• Çevre Fonksiyonu Ç(x): Karede 4 kenar olduğundan çevre, kenar uzunluğunun 4 katıdır.

\[ Ç(x) = 4x \] Bu fonksiyon bir doğrusal fonksiyondur, karesel fonksiyon değildir. Karesel fonksiyonlar \( ax^2 + bx + c \) şeklinde olup, en yüksek dereceli terimin üssü 2'dir.
Eğer bahçenin bir kenarı x = 7 metre ise, çevresi: \[ Ç(7) = 4 \times 7 = 28 \] Bahçenin çevresi 28 metre olur. 🌳

Öncelikle kenar uzunlukları verildiğinde alanları hesaplayalım:

• İlk Kenar Uzunluğu: \( x_1 = 9 \) birim
• İlk Alan: \( A(9) = 9^2 = 81 \) birim kare
• Son Kenar Uzunluğu: \( x_2 = 16 \) birim
• Son Alan: \( A(16) = 16^2 = 256 \) birim kare

Alan artışı şu şekilde hesaplanır:
\[ \Delta A = A(16) - A(9) = 256 - 81 = 175 \] Alan 175 birim kare artar. 📈
Bu değişimi doğrudan karekök fonksiyonu ile ifade etmek yerine, kenar uzunluklarındaki değişimin alandaki değişime etkisini gözlemleyebiliriz. Kenar uzunluğunun karekökü alanı verir: \( \sqrt{A} = x \).
Kenar uzunluğu 9'dan 16'ya çıktığında, \( \sqrt{81} = 9 \) ve \( \sqrt{256} = 16 \) olur. Bu, kenar uzunluğunun alanın karekökü olduğunu gösterir.