🎓 10. Sınıf
📚 10. Sınıf Matematik
💡 10. Sınıf Matematik: Doğrusal karesel rasyonel ve karekök fonksiyonları ile ters fonksiyonları, denklem ve eşitsizlik problemleri Çözümlü Örnekler
10. Sınıf Matematik: Doğrusal karesel rasyonel ve karekök fonksiyonları ile ters fonksiyonları, denklem ve eşitsizlik problemleri Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Birinci dereceden bir fonksiyon \( f(x) = 3x - 5 \) olarak verilmiştir. Bu fonksiyonun ters fonksiyonunu bulunuz. 💡
Çözüm:
Fonksiyonun tersini bulmak için şu adımları izleyebiliriz:
- Fonksiyonu \( y = f(x) \) şeklinde yazalım: \( y = 3x - 5 \)
- Denklemde \( x \) ve \( y \) değişkenlerinin yerini değiştirelim: \( x = 3y - 5 \)
- Yeni denklemde \( y \)'yi yalnız bırakalım:
- \( x + 5 = 3y \)
- \( y = \frac{x+5}{3} \)
- Bulduğumuz \( y \) ifadesi, orijinal fonksiyonun ters fonksiyonudur. Yani, \( f^{-1}(x) = \frac{x+5}{3} \) olur. ✅
Örnek 2:
\( f(x) = x^2 + 2 \) fonksiyonunun tanım kümesi \( \mathbb{R} \) ve görüntü kümesi \( [2, \infty) \) olarak verilmiştir. Bu fonksiyonun tersinin olup olmadığını ve varsa tersini bulunuz. (Dikkat: Fonksiyonun birebir ve örten olması gerekir.) 🤔
Çözüm:
Bir fonksiyonun tersinin olabilmesi için birebir ve örten olması gerekir.
- \( f(x) = x^2 + 2 \) fonksiyonu, örneğin \( f(2) = 2^2 + 2 = 6 \) ve \( f(-2) = (-2)^2 + 2 = 6 \) olduğundan birebir değildir. Çünkü farklı girdiler (2 ve -2) aynı çıktıyı (6) vermiştir.
- Bu nedenle, tanım kümesi \( \mathbb{R} \) iken \( f(x) = x^2 + 2 \) fonksiyonunun tersi yoktur. ❌
- Ancak, tanım kümesini örneğin \( [0, \infty) \) olarak kısıtlarsak, fonksiyon birebir ve örten hale gelir ve tersi bulunabilir. Bu durumda:
- \( y = x^2 + 2 \)
- \( x = y^2 + 2 \)
- \( x - 2 = y^2 \)
- \( y = \sqrt{x-2} \) (Tanım kümesi \( [0, \infty) \) olduğundan pozitif kök alınır.)
- Yani, \( f^{-1}(x) = \sqrt{x-2} \) olur.
Örnek 3:
\( g(x) = \frac{2x+1}{x-3} \) rasyonel fonksiyonunun ters fonksiyonunu bulunuz. 🚀
Çözüm:
Rasyonel fonksiyonların tersini bulmak için de benzer adımlar izlenir:
- Fonksiyonu \( y = g(x) \) olarak yazalım: \( y = \frac{2x+1}{x-3} \)
- \( x \) ve \( y \) yerlerini değiştirelim: \( x = \frac{2y+1}{y-3} \)
- \( y \)'yi yalnız bırakmak için denklemi düzenleyelim:
- \( x(y-3) = 2y+1 \)
- \( xy - 3x = 2y + 1 \)
- \( xy - 2y = 3x + 1 \)
- \( y(x-2) = 3x + 1 \)
- \( y = \frac{3x+1}{x-2} \)
- Bu durumda, \( g^{-1}(x) = \frac{3x+1}{x-2} \) olur. ✅
Örnek 4:
\( h(x) = \sqrt{x+4} \) fonksiyonunun ters fonksiyonunu bulunuz. ➕
Çözüm:
Karekök fonksiyonlarının tersini bulma adımları:
- Fonksiyonu \( y = h(x) \) olarak yazalım: \( y = \sqrt{x+4} \)
- \( x \) ve \( y \) yerlerini değiştirelim: \( x = \sqrt{y+4} \)
- \( y \)'yi yalnız bırakmak için her iki tarafın karesini alalım:
- \( x^2 = y+4 \)
- \( y = x^2 - 4 \)
- Orijinal fonksiyonun tanım kümesi \( x \ge -4 \) ve görüntü kümesi \( y \ge 0 \) olduğundan, ters fonksiyonun tanım kümesi \( x \ge 0 \) olmalıdır.
- Dolayısıyla, \( h^{-1}(x) = x^2 - 4 \) fonksiyonunun tanım kümesi \( [0, \infty) \) olarak belirtilmelidir. ✅
Örnek 5:
Bir mağaza, sattığı ürünlerin maliyet fiyatı üzerinden %20 karla satış fiyatını belirlemektedir. Eğer bir ürünün satış fiyatı \( S \) TL ise, bu ürünün maliyet fiyatı \( M \) TL'dir. Bu ilişkiyi bir fonksiyon olarak ifade edip, satış fiyatının maliyet fiyatına göre ters fonksiyonunu bulunuz. 💰
Çözüm:
Bu problemi adım adım çözelim:
- Satış fiyatı, maliyet fiyatı ve kar oranı arasındaki ilişki şöyledir:
- \( S = M + M \times \frac{20}{100} \)
- \( S = M + 0.20M \)
- \( S = 1.20M \)
- Bu ilişkiyi bir fonksiyon olarak ifade edersek, \( S(M) = 1.20M \) olur. Burada \( M \) bağımsız değişken, \( S \) ise bağımlı değişkendir.
- Şimdi satış fiyatının maliyet fiyatına göre ters fonksiyonunu bulalım. Yani, maliyet fiyatını satış fiyatı cinsinden ifade edeceğiz.
- \( S = 1.20M \)
- \( M = \frac{S}{1.20} \)
- \( M = \frac{S}{\frac{120}{100}} \)
- \( M = \frac{100S}{120} \)
- \( M = \frac{5S}{6} \)
- Bu durumda, maliyet fiyatının satış fiyatına göre ters fonksiyonu \( M(S) = \frac{5S}{6} \) şeklinde ifade edilebilir. Bu, verilen satış fiyatından maliyet fiyatını hesaplamamızı sağlar. ✅
Örnek 6:
Bir aracın deposunda bulunan yakıt miktarı \( y \) litre ve bu aracın \( x \) kilometre yol yapması sonucu kalan yakıt miktarı \( f(x) = 50 - 0.08x \) fonksiyonu ile verilmektedir. Aracın \( x \) kilometre yol yapması için gereken yakıt miktarını \( x \) cinsinden veren ters fonksiyonu bulunuz. ⛽
Çözüm:
Bu soruyu çözmek için fonksiyonun tersini almamız gerekiyor:
- Fonksiyonumuz \( f(x) = 50 - 0.08x \) olup, \( y = 50 - 0.08x \) olarak yazılabilir.
- Ters fonksiyonu bulmak için \( x \) ve \( y \) yerlerini değiştirelim: \( x = 50 - 0.08y \)
- Şimdi \( y \)'yi yalnız bırakalım:
- \( x - 50 = -0.08y \)
- \( 50 - x = 0.08y \)
- \( y = \frac{50 - x}{0.08} \)
- \( y = \frac{50 - x}{\frac{8}{100}} \)
- \( y = \frac{100(50 - x)}{8} \)
- \( y = \frac{25(50 - x)}{2} \)
- \( y = \frac{1250 - 25x}{2} \)
- Bu durumda, aracın \( x \) kilometre yol yapması için gereken yakıt miktarını veren ters fonksiyon \( f^{-1}(x) = \frac{1250 - 25x}{2} \) olur. Bu fonksiyon, depoda kalan yakıt miktarı \( x \) olduğunda kat edilen mesafeyi bulmamızı sağlar. ✅
Örnek 7:
Bir telefon şirketinin aylık sabit ücreti 30 TL'dir ve her dakika konuşma için ek olarak 0.5 TL ücret almaktadır. Bir ay boyunca \( x \) dakika konuşan bir kişinin toplam ödeyeceği fatura tutarı \( F(x) \) TL'dir. Bu fonksiyonun tersini bularak, belirli bir fatura tutarı üzerinden ne kadar konuşulduğunu hesaplayınız. 📞
Çözüm:
Bu günlük hayat problemini fonksiyon ve ters fonksiyon mantığıyla çözelim:
- Aylık fatura tutarı fonksiyonu şu şekildedir: \( F(x) = 30 + 0.5x \)
- Burada \( x \) konuşulan dakika sayısıdır ve \( F(x) \) toplam fatura tutarıdır.
- Şimdi ters fonksiyonu bulalım. Bu, belirli bir fatura tutarı verildiğinde konuşulan dakika sayısını bulmamızı sağlayacaktır.
- \( y = 30 + 0.5x \)
- \( x \) ve \( y \) yerlerini değiştirelim: \( x = 30 + 0.5y \)
- \( y \)'yi yalnız bırakalım:
- \( x - 30 = 0.5y \)
- \( y = \frac{x - 30}{0.5} \)
- \( y = 2(x - 30) \)
- \( y = 2x - 60 \)
- Bu durumda, ters fonksiyon \( F^{-1}(x) = 2x - 60 \) olur. Buradaki \( x \) artık fatura tutarını, \( F^{-1}(x) \) ise konuşulan dakika sayısını temsil eder. Örneğin, 100 TL fatura ödeyen biri \( F^{-1}(100) = 2(100) - 60 = 200 - 60 = 140 \) dakika konuşmuştur. ✅
Örnek 8:
\( f(x) = \frac{ax+b}{cx+d} \) biçimindeki bir rasyonel fonksiyonun ters fonksiyonu \( f^{-1}(x) = \frac{-dx+b}{cx-a} \) olarak veriliyor. Eğer \( f(x) = \frac{3x-1}{2x+5} \) ise, \( f^{-1}(x) \) fonksiyonunu bulunuz ve bu fonksiyonun tanım kümesini belirtiniz. 🧐
Çözüm:
Bu soruda hem ters fonksiyon bulma hem de rasyonel fonksiyonların tanım kümesi kurallarını hatırlamamız gerekiyor:
- Verilen fonksiyon: \( f(x) = \frac{3x-1}{2x+5} \)
- Bu fonksiyonu genel form \( f(x) = \frac{ax+b}{cx+d} \) ile karşılaştırırsak:
- \( a = 3 \)
- \( b = -1 \)
- \( c = 2 \)
- \( d = 5 \)
- Ters fonksiyon formülünü kullanarak \( f^{-1}(x) \) bulalım: \( f^{-1}(x) = \frac{-dx+b}{cx-a} \)
- \( f^{-1}(x) = \frac{-(5)x + (-1)}{(2)x - 3} \)
- \( f^{-1}(x) = \frac{-5x - 1}{2x - 3} \)
- Şimdi ters fonksiyonun tanım kümesini bulalım. Bir rasyonel fonksiyonun paydası sıfır olamaz.
- Ters fonksiyonumuzun paydası \( 2x - 3 \) olduğundan, \( 2x - 3 \neq 0 \) olmalıdır.
- \( 2x \neq 3 \)
- \( x \neq \frac{3}{2} \)
- Dolayısıyla, \( f^{-1}(x) \) fonksiyonunun tanım kümesi \( \mathbb{R} \setminus \{\frac{3}{2}\} \) veya \( (-\infty, \frac{3}{2}) \cup (\frac{3}{2}, \infty) \) olur. ✅
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/10-sinif-matematik-dogrusal-karesel-rasyonel-ve-karekok-fonksiyonlari-ile-ters-fonksiyonlari-denklem-ve-esitsizlik-problemleri/sorular