🎓 10. Sınıf
📚 10. Sınıf Matematik
💡 10. Sınıf Matematik: Doğrusal, karesel, kareköklü ve rasyonel referans fonksiyonlar ve bunlardan türetilen fonksiyonların ters fonksiyonları Çözümlü Örnekler
10. Sınıf Matematik: Doğrusal, karesel, kareköklü ve rasyonel referans fonksiyonlar ve bunlardan türetilen fonksiyonların ters fonksiyonları Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Bir
f(x) = 3x - 2
doğrusal fonksiyonunun ters fonksiyonunu bulunuz.
Çözüm:
Bu, doğrusal bir fonksiyonun tersini bulmanın temel bir örneğidir.
- Adım 1: Fonksiyonu \( y = f(x) \) şeklinde yazın.
- Verilen fonksiyon: \( y = 3x - 2 \)
- Adım 2: \( x \) 'i \( y \) cinsinden ifade edin.
- \( y + 2 = 3x \)
- \( x = \frac{y + 2}{3} \)
- Adım 3: \( x \) ve \( y \) değişkenlerinin yerini değiştirin. Bu, ters fonksiyonu verir.
- \( f^{-1}(x) = \frac{x + 2}{3} \)
Örnek 2:
g(x) = x^2 + 1
karesel fonksiyonunun \( x \ge 0 \) tanım kümesindeki ters fonksiyonunu bulunuz.
Çözüm:
Karesel fonksiyonlarda tersini alırken tanım kümesine dikkat etmek önemlidir.
- Adım 1: Fonksiyonu \( y = g(x) \) şeklinde yazın.
- \( y = x^2 + 1 \)
- Adım 2: \( x \) 'i \( y \) cinsinden ifade edin.
- \( y - 1 = x^2 \)
- \( x = \pm\sqrt{y - 1} \)
- Adım 3: Tanım kümesi \( x \ge 0 \) olduğundan, pozitif karekökü alırız.
- \( x = \sqrt{y - 1} \)
- Adım 4: \( x \) ve \( y \) değişkenlerinin yerini değiştirin.
- \( g^{-1}(x) = \sqrt{x - 1} \)
Örnek 3:
h(x) = \sqrt{x - 4}
kareköklü fonksiyonunun ters fonksiyonunu bulunuz.
Çözüm:
Kareköklü fonksiyonların tersleri genellikle karesel fonksiyonlardır.
- Adım 1: Fonksiyonu \( y = h(x) \) şeklinde yazın.
- \( y = \sqrt{x - 4} \)
- Adım 2: Eşitliğin her iki tarafının karesini alın.
- \( y^2 = x - 4 \)
- Adım 3: \( x \) 'i \( y \) cinsinden ifade edin.
- \( x = y^2 + 4 \)
- Adım 4: \( x \) ve \( y \) değişkenlerinin yerini değiştirin.
- \( h^{-1}(x) = x^2 + 4 \)
Örnek 4:
k(x) = \frac{2x + 1}{x - 3}
rasyonel fonksiyonunun ters fonksiyonunu bulunuz.
Çözüm:
Rasyonel fonksiyonların tersini bulmak, cebirsel işlemleri dikkatli yapmayı gerektirir.
- Adım 1: Fonksiyonu \( y = k(x) \) şeklinde yazın.
- \( y = \frac{2x + 1}{x - 3} \)
- Adım 2: \( y \) ile \( (x - 3) \) çarpın.
- \( y(x - 3) = 2x + 1 \)
- \( xy - 3y = 2x + 1 \)
- Adım 3: \( x \) 'li terimleri bir tarafa, sabit terimleri diğer tarafa toplayın.
- \( xy - 2x = 3y + 1 \)
- Adım 4: \( x \) parantezine alın.
- \( x(y - 2) = 3y + 1 \)
- Adım 5: \( x \) 'i yalnız bırakın.
- \( x = \frac{3y + 1}{y - 2} \)
- Adım 6: \( x \) ve \( y \) değişkenlerinin yerini değiştirin.
- \( k^{-1}(x) = \frac{3x + 1}{x - 2} \)
Örnek 5:
Bir teknoloji mağazasında, bir ürünün satış fiyatı \( S(a) = 1.5a + 50 \) formülü ile belirlenmektedir. Burada \( a \) ürünün maliyetini, \( S(a) \) ise satış fiyatını (TL olarak) göstermektedir. Bu formülün tersini bularak, mağazanın bir üründen ne kadar kar ettiğini satış fiyatı üzerinden hesaplayan bir formül elde ediniz.
Çözüm:
Bu soru, ters fonksiyonun pratik bir uygulamasını göstermektedir.
- Adım 1: Verilen satış fiyatı fonksiyonunu \( S(a) = 1.5a + 50 \) olarak yazın.
- Adım 2: Bu fonksiyonun tersini bularak maliyet \( a \) 'yı satış fiyatı \( S \) cinsinden ifade edin.
- \( S = 1.5a + 50 \)
- \( S - 50 = 1.5a \)
- \( a = \frac{S - 50}{1.5} \)
- Yani, ters fonksiyon \( a(S) = \frac{S - 50}{1.5} \) 'dir.
- Adım 3: Kar miktarını hesaplamak için satış fiyatından maliyeti çıkarın.
- Kar = Satış Fiyatı - Maliyet
- Kar = \( S - a(S) \)
- Kar = \( S - \frac{S - 50}{1.5} \)
- Adım 4: Bu ifadeyi sadeleştirin.
- Kar = \( \frac{1.5S - (S - 50)}{1.5} \)
- Kar = \( \frac{1.5S - S + 50}{1.5} \)
- Kar = \( \frac{0.5S + 50}{1.5} \)
- Kar = \( \frac{S + 100}{3} \)
Örnek 6:
Bir aracın yakıt tüketimi, gidilen mesafeye bağlı olarak doğrusal bir ilişki göstermektedir. Eğer araç 100 km'de 8 litre yakıt tüketiyorsa ve bu ilişki \( Y(m) = 0.08m \) şeklinde ifade edilebilirse (burada \( m \) kilometre cinsinden mesafe, \( Y(m) \) ise litre cinsinden yakıt tüketimidir), bu fonksiyonun tersini kullanarak, belirli bir miktar yakıtla (örneğin 20 litre) aracın ne kadar mesafe gidebileceğini hesaplayınız.
Çözüm:
Bu örnek, ters fonksiyonun bir niceliği başka bir nicelik cinsinden ifade etmek için nasıl kullanılabileceğini gösterir.
- Adım 1: Verilen yakıt tüketimi fonksiyonunu \( Y(m) = 0.08m \) olarak alın.
- Adım 2: Bu fonksiyonun tersini bularak mesafeyi \( m \) yakıt tüketimi \( Y \) cinsinden ifade edin.
- \( Y = 0.08m \)
- \( m = \frac{Y}{0.08} \)
- Yani, ters fonksiyon \( m(Y) = \frac{Y}{0.08} \) 'dir.
- Adım 3: Verilen yakıt miktarını (20 litre) ters fonksiyonda yerine koyun.
- \( m(20) = \frac{20}{0.08} \)
- Adım 4: Hesaplamayı yapın.
- \( m(20) = \frac{20}{\frac{8}{100}} = 20 \times \frac{100}{8} = 20 \times 12.5 = 250 \)
Örnek 7:
f(x) = \frac{2x+1}{x-1}
veg(x) = \frac{x+3}{x-2}
fonksiyonları veriliyor.(f o g)(x)
bileşke fonksiyonunun tersini bulunuz.
Çözüm:
Bu soru, hem bileşke fonksiyon hem de ters fonksiyon kavramlarını birleştirir.
- Adım 1: Önce
(f o g)(x)
bileşke fonksiyonunu hesaplayın. - \( (f \circ g)(x) = f(g(x)) = f\left(\frac{x+3}{x-2}\right) \)
- \( = \frac{2\left(\frac{x+3}{x-2}\right) + 1}{\left(\frac{x+3}{x-2}\right) - 1} \)
- Payı ve paydayı \( (x-2) \) ile çarparak sadeleştirin:
- \( = \frac{2(x+3) + (x-2)}{(x+3) - (x-2)} \)
- \( = \frac{2x + 6 + x - 2}{x + 3 - x + 2} \)
- \( = \frac{3x + 4}{5} \)
- Bileşke fonksiyonumuz \( h(x) = \frac{3x + 4}{5} \) oldu.
- Adım 2: Şimdi \( h(x) \) fonksiyonunun tersini bulun.
- \( y = \frac{3x + 4}{5} \)
- \( 5y = 3x + 4 \)
- \( 5y - 4 = 3x \)
- \( x = \frac{5y - 4}{3} \)
- Ters fonksiyon: \( h^{-1}(x) = \frac{5x - 4}{3} \)
(f o g)^{-1}(x) = g^{-1}(f^{-1}(x))
özelliğini kullanarak da sonuca ulaşılabilir.
Örnek 8:
f(x) = 2^x - 1
üstel fonksiyonunun ters fonksiyonunu bulunuz.
Çözüm:
Üstel fonksiyonların tersleri logaritmik fonksiyonlardır.
- Adım 1: Fonksiyonu \( y = f(x) \) şeklinde yazın.
- \( y = 2^x - 1 \)
- Adım 2: \( x \) 'i \( y \) cinsinden ifade edin.
- \( y + 1 = 2^x \)
- Her iki tarafın logaritmasını alın (genellikle tabanı 2 olan logaritma tercih edilir).
- \( \log_2(y + 1) = \log_2(2^x) \)
- \( \log_2(y + 1) = x \)
- Adım 3: \( x \) ve \( y \) değişkenlerinin yerini değiştirin.
- \( f^{-1}(x) = \log_2(x + 1) \)
Örnek 9:
Bir kimya deneyinde, bir reaktifin miktarı zamanla \( M(t) = 100 \cdot e^{-0.05t} \) formülüyle azalmaktadır. Burada \( M(t) \) miligram cinsinden reaktif miktarı ve \( t \) dakika cinsinden zamandır. Bu formülün tersini kullanarak, deneyin belirli bir reaktif miktarına (örneğin 50 mg) ulaşması için ne kadar süre geçmesi gerektiğini hesaplayınız.
Çözüm:
Bu soru, üstel fonksiyonların terslerinin (logaritmik fonksiyonlar) gerçek dünya problemlerinde nasıl kullanıldığını gösterir.
- Adım 1: Verilen reaktif miktarı fonksiyonunu \( M(t) = 100 \cdot e^{-0.05t} \) olarak alın.
- Adım 2: Bu fonksiyonun tersini bularak zamanı \( t \) reaktif miktarı \( M \) cinsinden ifade edin.
- \( M = 100 \cdot e^{-0.05t} \)
- \( \frac{M}{100} = e^{-0.05t} \)
- Her iki tarafın doğal logaritmasını alın (ln).
- \( \ln\left(\frac{M}{100}\right) = \ln(e^{-0.05t}) \)
- \( \ln\left(\frac{M}{100}\right) = -0.05t \)
- \( t = \frac{\ln\left(\frac{M}{100}\right)}{-0.05} \)
- Bu ifadeyi \( t = -20 \ln\left(\frac{M}{100}\right) \) veya \( t = 20 \ln\left(\frac{100}{M}\right) \) olarak da yazabiliriz.
- Adım 3: Verilen reaktif miktarını (50 mg) ters fonksiyonda yerine koyun.
- \( t = 20 \ln\left(\frac{100}{50}\right) \)
- \( t = 20 \ln(2) \)
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/10-sinif-matematik-dogrusal-karesel-karekoklu-ve-rasyonel-referans-fonksiyonlar-ve-bunlardan-turetilen-fonksiyonlarin-ters-fonksiyonlari/sorular