💡 10. Sınıf Matematik: Doğrusal, karesel, kareköklü ve rasyonel fonksiyonlardan türetilebilen fonksiyonlarla oluşturulan denklem ve eşitsizlikler Çözümlü Örnekler
1
Çözümlü Örnek
Kolay Seviye
Aşağıdaki doğrusal denklem sistemini çözünüz:
\( 2x + y = 5 \)
\( x - y = 1 \)
Çözüm ve Açıklama
Bu tür doğrusal denklem sistemlerini çözmek için birkaç yöntemimiz var. En yaygın olanları yerine koyma yöntemi ve yok etme yöntemidir.
Yok Etme Yöntemi ile Çözüm:
Denklemleri alt alta yazalım:
\( 2x + y = 5 \)
\( x - y = 1 \)
İkinci denklemdeki '-y' terimi, birinci denklemdeki '+y' terimiyle toplandığında birbirini götürecektir. Bu yüzden iki denklemi taraf tarafa toplayalım:
\( (2x + y) + (x - y) = 5 + 1 \)
\( 3x = 6 \)
Şimdi x'i bulmak için her iki tarafı 3'e bölelim:
\( x = \frac{6}{3} \)
\( x = 2 \)
Bulduğumuz x değerini denklemlerden herhangi birine yerine koyarak y'yi bulalım. İkinci denklemi kullanalım:
Aşağıdaki karesel eşitsizliği sağlayan tam sayıları bulunuz:
\( x^2 - 5x + 6 \le 0 \)
Çözüm ve Açıklama
Karesel eşitsizlikleri çözerken genellikle tablo yöntemi veya işaret analizi kullanılır. İlk adımımız, eşitsizliği bir denklem gibi düşünüp köklerini bulmaktır.
Adım 1: Kökleri Bulma
Eşitsizliği bir denklem olarak ele alalım: \( x^2 - 5x + 6 = 0 \)
Bu ikinci dereceden denklemi çarpanlarına ayıralım. Çarpımları 6, toplamları -5 olan iki sayı -2 ve -3'tür.
\( (x - 2)(x - 3) = 0 \)
Köklerimiz: \( x_1 = 2 \) ve \( x_2 = 3 \)
Adım 2: İşaret Analizi (Tablo Yöntemi)
Bulduğumuz kökleri sayı doğrusuna yerleştirelim: 2 ve 3. Bu kökler sayı doğrusunu üç aralığa böler: \( (-\infty, 2) \), \( (2, 3) \) ve \( (3, \infty) \).
Her bir aralıkta \( f(x) = x^2 - 5x + 6 \) fonksiyonunun işaretini belirleyelim.
\( (-\infty, 2) \) aralığı: Bir değer seçelim, örneğin \( x=0 \). \( (0-2)(0-3) = (-2)(-3) = 6 \). İşaret +.
\( (2, 3) \) aralığı: Bir değer seçelim, örneğin \( x=2.5 \). \( (2.5-2)(2.5-3) = (0.5)(-0.5) = -0.25 \). İşaret -.
\( (3, \infty) \) aralığı: Bir değer seçelim, örneğin \( x=4 \). \( (4-2)(4-3) = (2)(1) = 2 \). İşaret +.
Eşitsizliğimiz \( \le 0 \) olduğu için, fonksiyonun negatif olduğu aralığı arıyoruz. Bu aralık \( (2, 3) \)'tür.
Eşitsizlikte eşitlik durumu ( \( \le \) ) olduğundan, kökler de çözüm kümesine dahildir.
Dolayısıyla çözüm kümesi \( [2, 3] \)'tür.
👉 Bu aralıktaki tam sayılar 2 ve 3'tür. ✅
3
Çözümlü Örnek
Orta Seviye
Aşağıdaki kareköklü denklemi çözünüz:
\( \sqrt{x+1} = 3 \)
Çözüm ve Açıklama
Kareköklü denklemleri çözerken denklemin her iki tarafının karesini alarak karekökten kurtuluruz. Ancak bu işlem sonucunda bulduğumuz kökleri orijinal denklemde yerine koyarak sağlama yapmayı unutmamalıyız. Çünkü karesel alma işlemi bazen yabancı kökler üretebilir. 💡
Adım 1: Karekökten Kurtulma
Verilen denklem: \( \sqrt{x+1} = 3 \)
Denklemin her iki tarafının karesini alalım:
\( (\sqrt{x+1})^2 = 3^2 \)
\( x+1 = 9 \)
Adım 2: x'i Bulma
x'i yalnız bırakmak için her iki taraftan 1 çıkaralım:
\( x = 9 - 1 \)
\( x = 8 \)
Adım 3: Sağlama Yapma
Bulduğumuz \( x=8 \) değerini orijinal denklemde yerine koyalım:
\( \sqrt{8+1} = \sqrt{9} = 3 \)
Elde ettiğimiz sonuç orijinal denklemin sağ tarafına eşittir. Bu nedenle çözümümüz doğrudur.
👉 Denklemimizin tek çözümü \( x=8 \)'dir. ✅
4
Çözümlü Örnek
Orta Seviye
Aşağıdaki rasyonel eşitsizliği sağlayan x tam sayılarını bulunuz:
\( \frac{x-1}{x+2} \ge 0 \)
Çözüm ve Açıklama
Rasyonel eşitsizlikleri çözerken, kesrin payını ve paydasını ayrı ayrı sıfıra eşitleyerek kritik noktaları buluruz. Ardından bu kritik noktaları kullanarak işaret tablosu oluştururuz. 📌
👉 Bu aralıklarda bulunan tam sayılar, \( \dots, -5, -4, -3 \) ve \( 1, 2, 3, \dots \)'dir. ✅
5
Çözümlü Örnek
Yeni Nesil Soru
Bir çiftçi, tarlasındaki domates verimini artırmak için yeni bir gübre kullanmaya karar veriyor. Bu gübrenin maliyeti ve domates verimi arasındaki ilişkiyi modelleyen denklem \( V(x) = -x^2 + 10x - 15 \) olarak bulunmuştur. Burada \( V(x) \) ton cinsinden domates verimini, \( x \) ise kullanılan gübre miktarını (kg) temsil etmektedir. Çiftçinin en az 5 ton domates verimi alabilmesi için gübre miktarını (kg) hangi aralıkta kullanması gerektiğini bulunuz.
Çözüm ve Açıklama
Bu problemde, verilen karesel fonksiyonun belirli bir değeri (verimi) sağlaması için gereken girdi (gübre miktarı) aralığını bulmamız gerekiyor. Yani, \( V(x) \ge 5 \) eşitsizliğini çözmeliyiz. 🍅
Çiftçinin en az 5 ton verim alması isteniyor: \( V(x) \ge 5 \)
Bu durumda eşitsizliğimiz: \( -x^2 + 10x - 15 \ge 5 \)
Adım 2: Eşitsizliği Standart Forma Getirme
Eşitsizliğin sağ tarafındaki 5'i sol tarafa alalım:
\( -x^2 + 10x - 15 - 5 \ge 0 \)
\( -x^2 + 10x - 20 \ge 0 \)
Karesel ifadelerde baş katsayının pozitif olması genellikle işleri kolaylaştırır. Eşitsizliğin her iki tarafını -1 ile çarpıp eşitsizlik yönünü değiştirelim:
\( x^2 - 10x + 20 \le 0 \)
Adım 3: Kökleri Bulma
Bu ikinci dereceden denklemin köklerini bulmak için çarpanlara ayırma yöntemi uygun olmayabilir. Diskriminant yöntemini kullanalım: \( \Delta = b^2 - 4ac \)
Eşitsizliğimiz \( x^2 - 10x + 20 \le 0 \) idi. Bu, \( x^2 \) teriminin katsayısı pozitif olduğu için, parabolün kolları yukarı doğrudur. Dolayısıyla, eşitsizliğin \( \le 0 \) olduğu aralık, kökler arasındaki bölgedir.
Çözüm aralığı: \( [5 - \sqrt{5}, 5 + \sqrt{5}] \)
Yaklaşık değerler: \( \sqrt{5} \approx 2.236 \)
\( x_1 \approx 5 - 2.236 = 2.764 \)
\( x_2 \approx 5 + 2.236 = 7.236 \)
👉 Çiftçinin en az 5 ton domates verimi alabilmesi için gübre miktarını yaklaşık olarak 2.764 kg ile 7.236 kg arasında kullanması gerekmektedir. ✅
6
Çözümlü Örnek
Günlük Hayattan Örnek
Bir inşaat firması, kare şeklindeki bir arsanın etrafına çit çekmek istiyor. Arsanın alanı \( A = x^2 \) metrekare olarak veriliyor. Eğer firmanın kullanabileceği çit uzunluğu en fazla 40 metre ise, bu arsanın bir kenar uzunluğu (x) için olası değerleri bulunuz.
Çözüm ve Açıklama
Bu problemde, karenin alanından kenar uzunluğunu ve ardından çevresinden yola çıkarak bir eşitsizlik kuracağız. 📏
Adım 1: Alan ve Kenar İlişkisi
Karenin alanı \( A = x^2 \) olarak verilmiş.
Burada \( x \) karenin bir kenar uzunluğudur ve pozitif olmalıdır: \( x > 0 \).
Adım 2: Çevre ve Kenar İlişkisi
Karenin çevresi \( Ç = 4x \) formülüyle hesaplanır.
Firmanın kullanabileceği çit uzunluğu en fazla 40 metre ise, bu karenin çevresinin 40 metreden küçük veya eşit olması gerektiği anlamına gelir:
\( 4x \le 40 \)
Adım 3: Eşitsizliği Çözme
Eşitsizliğin her iki tarafını 4'e bölelim:
\( x \le \frac{40}{4} \)
\( x \le 10 \)
Adım 4: Çözüm Kümesini Belirleme
Hem \( x > 0 \) (kenar uzunluğu pozitif olmalı) hem de \( x \le 10 \) koşullarını birlikte değerlendirmeliyiz.
Bu iki koşulu sağlayan x değerleri \( 0 < x \le 10 \) aralığındadır.
👉 İnşaat firmasının kullanabileceği çit uzunluğu en fazla 40 metre ise, bu kare arsanın bir kenar uzunluğu (x) 0 metreden büyük ve 10 metreye eşit veya küçük olmalıdır. ✅
7
Çözümlü Örnek
Zor Seviye
Aşağıdaki denklem sistemini çözünüz:
\( \sqrt{x} + y = 5 \)
\( x - y = 1 \)
Çözüm ve Açıklama
Bu denklem sistemi, hem kareköklü bir ifade hem de doğrusal bir denklem içeriyor. Bu tür sistemleri çözerken, genellikle bir denklemden diğerine yerine koyma yöntemi kullanılır. 🧩
Adım 1: Bir Değişkeni Yalnız Bırakma
İkinci denklemden \( y \)'yi çekelim:
\( x - y = 1 \implies y = x - 1 \)
Adım 2: Yerine Koyma
Bulduğumuz \( y = x - 1 \) ifadesini birinci denklemdeki \( y \) yerine yazalım:
\( \sqrt{x} + (x - 1) = 5 \)
Adım 3: Kareköklü Denklemi Düzenleme
Denklemi kareköklü ifadeyi yalnız bırakacak şekilde düzenleyelim:
\( \sqrt{x} = 5 - (x - 1) \)
\( \sqrt{x} = 5 - x + 1 \)
\( \sqrt{x} = 6 - x \)
Adım 4: Her İki Tarafın Karesini Alma
Karekökten kurtulmak için her iki tarafın karesini alalım:
\( (\sqrt{x})^2 = (6 - x)^2 \)
\( x = 36 - 12x + x^2 \)
Adım 5: Karesel Denklemi Çözme
Tüm terimleri bir tarafa toplayarak standart bir karesel denklem elde edelim:
\( x^2 - 12x - x + 36 = 0 \)
\( x^2 - 13x + 36 = 0 \)
Bu denklemi çarpanlarına ayıralım. Çarpımları 36, toplamları -13 olan sayılar -4 ve -9'dur.
\( (x - 4)(x - 9) = 0 \)
Bu denklemin olası kökleri \( x = 4 \) ve \( x = 9 \)'dur.
Adım 6: Sağlama Yapma (Çok Önemli!)
Karesel alma işlemi yabancı kökler üretebilir. Bulduğumuz kökleri orijinal denklemlerde yerine koyarak kontrol etmeliyiz. Özellikle \( \sqrt{x} = 6 - x \) denkleminde \( 6-x \) ifadesinin negatif olamayacağını unutmayalım (çünkü karekökün sonucu negatif olamaz).
\( x = 4 \) için:
Orijinal birinci denklem: \( \sqrt{4} + y = 5 \implies 2 + y = 5 \implies y = 3 \)
Orijinal ikinci denklem: \( 4 - y = 1 \implies y = 3 \)
Her iki denklem de \( y=3 \) sonucunu verdi. Ayrıca \( \sqrt{x} = 6 - x \) kontrolü: \( \sqrt{4} = 6 - 4 \implies 2 = 2 \). Bu kök geçerlidir. ✅
\( x = 9 \) için:
Orijinal birinci denklem: \( \sqrt{9} + y = 5 \implies 3 + y = 5 \implies y = 2 \)
Orijinal ikinci denklem: \( 9 - y = 1 \implies y = 8 \)
Burada \( y \) için farklı değerler bulduk. Bu, \( x=9 \) değerinin bir çözüm olmadığını gösterir. Ayrıca \( \sqrt{x} = 6 - x \) kontrolü: \( \sqrt{9} = 6 - 9 \implies 3 = -3 \) (Yanlış!). Bu kök yabancıdır. ❌
👉 Denklem sisteminin tek çözümü \( x=4 \) ve \( y=3 \)'tür. ✅
8
Çözümlü Örnek
Günlük Hayattan Örnek
Bir teknoloji mağazası, yeni çıkan bir akıllı telefonun satış fiyatını belirlemek istiyor. Telefonun maliyeti 2000 TL'dir. Mağaza, satış fiyatı \( P \) (TL) ve satılan telefon sayısı \( x \) arasındaki ilişkiyi gösteren bir talep fonksiyonu \( P(x) = 3000 - 2x \) olarak belirlemiştir. Mağazanın bu satıştan zarar etmemesi (yani karının sıfır veya pozitif olması) için satması gereken telefon sayısı \( x \) için eşitsizliği kurup çözüm aralığını bulunuz.
Çözüm ve Açıklama
Bu problemde, mağazanın karını hesaplayıp bu karın negatif olmamasını sağlayacak telefon sayısı aralığını bulacağız. Kar, toplam gelir ile toplam maliyet arasındaki farktır. 💰
Adım 1: Toplam Geliri Hesaplama
Toplam gelir, satış fiyatı ile satılan ürün sayısının çarpımıdır:
\( Gelir(x) = P(x) \times x \)
\( Gelir(x) = (3000 - 2x) \times x \)
\( Gelir(x) = 3000x - 2x^2 \)
Adım 2: Toplam Maliyeti Hesaplama
Telefonun birim maliyeti 2000 TL'dir.
\( x \) tane telefon satıldığında toplam maliyet:
\( Maliyet(x) = 2000 \times x \)
\( Maliyet(x) = 2000x \)
Adım 3: Kar Fonksiyonunu Oluşturma
Kar, Gelir - Maliyet'tir:
\( Kar(x) = Gelir(x) - Maliyet(x) \)
\( Kar(x) = (3000x - 2x^2) - 2000x \)
\( Kar(x) = 1000x - 2x^2 \)
Adım 4: Zarar Etmeme Eşitsizliğini Kurma
Mağazanın zarar etmemesi demek, karının sıfır veya pozitif olması demektir:
\( Kar(x) \ge 0 \)
\( 1000x - 2x^2 \ge 0 \)
Adım 5: Eşitsizliği Çözme
Bu karesel eşitsizliği çözmek için önce çarpanlarına ayıralım:
\( 2x(500 - x) \ge 0 \)
Kritik noktalarımız \( 2x = 0 \implies x = 0 \) ve \( 500 - x = 0 \implies x = 500 \)'dür.
Satılan telefon sayısı \( x \) negatif olamayacağı için \( x \ge 0 \) olmalıdır.
İfade \( 2x(500 - x) \) ifadesinin pozitif veya sıfır olması için, \( x \) ve \( 500-x \) terimlerinin işaretleri aynı olmalıdır veya terimlerden biri sıfır olmalıdır.
Bu nedenle eşitsizliğin sağlandığı aralık \( [0, 500] \)'dür.
👉 Mağazanın zarar etmemesi için satması gereken telefon sayısı 0 ile 500 adet arasında (0 ve 500 dahil) olmalıdır. ✅
9
Çözümlü Örnek
Zor Seviye
Bir mühendis, bir köprünün yapımında kullanılacak betonun dayanıklılığını modelleyen bir denklem geliştirmiştir. Dayanıklılık \( D \) (Megapaskal - MPa), betonun yaşı \( t \) (gün) ve su-çimento oranı \( r \) ile şu şekilde ilişkilidir: \( D(t, r) = 10 \sqrt{t} + 20r \). Mühendis, dayanıklılığın en az 50 MPa olmasını istemektedir. Eğer su-çimento oranı \( r = 0.4 \) olarak sabitlenmişse, betonun dayanıklılığının istenen seviyeye ulaşması için kaç gün beklemesi gerektiğini gösteren eşitsizliği kurup çözünüz.
Çözüm ve Açıklama
Bu problemde, verilen dayanıklılık fonksiyonunda \( r \) sabitken, \( t \) için bir eşitsizlik kurup çözeceğiz. Dayanıklılığın minimum değeri hedefleniyor. 🏗️
Karekökten kurtulmak için her iki tarafın karesini alalım. (Unutmayalım ki \( t \) gün sayısı olduğu için \( t \ge 0 \) olmalıdır.)
\( (\sqrt{t})^2 \ge (4.2)^2 \)
\( t \ge 17.64 \)
Adım 5: Sonucu Yorumlama
Bulduğumuz \( t \ge 17.64 \) eşitsizliği, betonun dayanıklılığının en az 50 MPa olması için en az 17.64 gün beklemesi gerektiğini gösterir.
Gün sayısı genellikle tam sayı olarak ifade edildiği için, mühendis en az 18 gün beklemelidir.
👉 Betonun dayanıklılığının en az 50 MPa olması için, su-çimento oranı 0.4 iken, betonun yaşının en az 17.64 gün olması gerekmektedir. Pratik olarak bu, en az 18 gün beklenmesi gerektiği anlamına gelir. ✅
10. Sınıf Matematik: Doğrusal, karesel, kareköklü ve rasyonel fonksiyonlardan türetilebilen fonksiyonlarla oluşturulan denklem ve eşitsizlikler Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Aşağıdaki doğrusal denklem sistemini çözünüz:
\( 2x + y = 5 \)
\( x - y = 1 \)
Çözüm:
Bu tür doğrusal denklem sistemlerini çözmek için birkaç yöntemimiz var. En yaygın olanları yerine koyma yöntemi ve yok etme yöntemidir.
Yok Etme Yöntemi ile Çözüm:
Denklemleri alt alta yazalım:
\( 2x + y = 5 \)
\( x - y = 1 \)
İkinci denklemdeki '-y' terimi, birinci denklemdeki '+y' terimiyle toplandığında birbirini götürecektir. Bu yüzden iki denklemi taraf tarafa toplayalım:
\( (2x + y) + (x - y) = 5 + 1 \)
\( 3x = 6 \)
Şimdi x'i bulmak için her iki tarafı 3'e bölelim:
\( x = \frac{6}{3} \)
\( x = 2 \)
Bulduğumuz x değerini denklemlerden herhangi birine yerine koyarak y'yi bulalım. İkinci denklemi kullanalım:
Aşağıdaki karesel eşitsizliği sağlayan tam sayıları bulunuz:
\( x^2 - 5x + 6 \le 0 \)
Çözüm:
Karesel eşitsizlikleri çözerken genellikle tablo yöntemi veya işaret analizi kullanılır. İlk adımımız, eşitsizliği bir denklem gibi düşünüp köklerini bulmaktır.
Adım 1: Kökleri Bulma
Eşitsizliği bir denklem olarak ele alalım: \( x^2 - 5x + 6 = 0 \)
Bu ikinci dereceden denklemi çarpanlarına ayıralım. Çarpımları 6, toplamları -5 olan iki sayı -2 ve -3'tür.
\( (x - 2)(x - 3) = 0 \)
Köklerimiz: \( x_1 = 2 \) ve \( x_2 = 3 \)
Adım 2: İşaret Analizi (Tablo Yöntemi)
Bulduğumuz kökleri sayı doğrusuna yerleştirelim: 2 ve 3. Bu kökler sayı doğrusunu üç aralığa böler: \( (-\infty, 2) \), \( (2, 3) \) ve \( (3, \infty) \).
Her bir aralıkta \( f(x) = x^2 - 5x + 6 \) fonksiyonunun işaretini belirleyelim.
\( (-\infty, 2) \) aralığı: Bir değer seçelim, örneğin \( x=0 \). \( (0-2)(0-3) = (-2)(-3) = 6 \). İşaret +.
\( (2, 3) \) aralığı: Bir değer seçelim, örneğin \( x=2.5 \). \( (2.5-2)(2.5-3) = (0.5)(-0.5) = -0.25 \). İşaret -.
\( (3, \infty) \) aralığı: Bir değer seçelim, örneğin \( x=4 \). \( (4-2)(4-3) = (2)(1) = 2 \). İşaret +.
Eşitsizliğimiz \( \le 0 \) olduğu için, fonksiyonun negatif olduğu aralığı arıyoruz. Bu aralık \( (2, 3) \)'tür.
Eşitsizlikte eşitlik durumu ( \( \le \) ) olduğundan, kökler de çözüm kümesine dahildir.
Dolayısıyla çözüm kümesi \( [2, 3] \)'tür.
👉 Bu aralıktaki tam sayılar 2 ve 3'tür. ✅
Örnek 3:
Aşağıdaki kareköklü denklemi çözünüz:
\( \sqrt{x+1} = 3 \)
Çözüm:
Kareköklü denklemleri çözerken denklemin her iki tarafının karesini alarak karekökten kurtuluruz. Ancak bu işlem sonucunda bulduğumuz kökleri orijinal denklemde yerine koyarak sağlama yapmayı unutmamalıyız. Çünkü karesel alma işlemi bazen yabancı kökler üretebilir. 💡
Adım 1: Karekökten Kurtulma
Verilen denklem: \( \sqrt{x+1} = 3 \)
Denklemin her iki tarafının karesini alalım:
\( (\sqrt{x+1})^2 = 3^2 \)
\( x+1 = 9 \)
Adım 2: x'i Bulma
x'i yalnız bırakmak için her iki taraftan 1 çıkaralım:
\( x = 9 - 1 \)
\( x = 8 \)
Adım 3: Sağlama Yapma
Bulduğumuz \( x=8 \) değerini orijinal denklemde yerine koyalım:
\( \sqrt{8+1} = \sqrt{9} = 3 \)
Elde ettiğimiz sonuç orijinal denklemin sağ tarafına eşittir. Bu nedenle çözümümüz doğrudur.
👉 Denklemimizin tek çözümü \( x=8 \)'dir. ✅
Örnek 4:
Aşağıdaki rasyonel eşitsizliği sağlayan x tam sayılarını bulunuz:
\( \frac{x-1}{x+2} \ge 0 \)
Çözüm:
Rasyonel eşitsizlikleri çözerken, kesrin payını ve paydasını ayrı ayrı sıfıra eşitleyerek kritik noktaları buluruz. Ardından bu kritik noktaları kullanarak işaret tablosu oluştururuz. 📌
👉 Bu aralıklarda bulunan tam sayılar, \( \dots, -5, -4, -3 \) ve \( 1, 2, 3, \dots \)'dir. ✅
Örnek 5:
Bir çiftçi, tarlasındaki domates verimini artırmak için yeni bir gübre kullanmaya karar veriyor. Bu gübrenin maliyeti ve domates verimi arasındaki ilişkiyi modelleyen denklem \( V(x) = -x^2 + 10x - 15 \) olarak bulunmuştur. Burada \( V(x) \) ton cinsinden domates verimini, \( x \) ise kullanılan gübre miktarını (kg) temsil etmektedir. Çiftçinin en az 5 ton domates verimi alabilmesi için gübre miktarını (kg) hangi aralıkta kullanması gerektiğini bulunuz.
Çözüm:
Bu problemde, verilen karesel fonksiyonun belirli bir değeri (verimi) sağlaması için gereken girdi (gübre miktarı) aralığını bulmamız gerekiyor. Yani, \( V(x) \ge 5 \) eşitsizliğini çözmeliyiz. 🍅
Çiftçinin en az 5 ton verim alması isteniyor: \( V(x) \ge 5 \)
Bu durumda eşitsizliğimiz: \( -x^2 + 10x - 15 \ge 5 \)
Adım 2: Eşitsizliği Standart Forma Getirme
Eşitsizliğin sağ tarafındaki 5'i sol tarafa alalım:
\( -x^2 + 10x - 15 - 5 \ge 0 \)
\( -x^2 + 10x - 20 \ge 0 \)
Karesel ifadelerde baş katsayının pozitif olması genellikle işleri kolaylaştırır. Eşitsizliğin her iki tarafını -1 ile çarpıp eşitsizlik yönünü değiştirelim:
\( x^2 - 10x + 20 \le 0 \)
Adım 3: Kökleri Bulma
Bu ikinci dereceden denklemin köklerini bulmak için çarpanlara ayırma yöntemi uygun olmayabilir. Diskriminant yöntemini kullanalım: \( \Delta = b^2 - 4ac \)
Eşitsizliğimiz \( x^2 - 10x + 20 \le 0 \) idi. Bu, \( x^2 \) teriminin katsayısı pozitif olduğu için, parabolün kolları yukarı doğrudur. Dolayısıyla, eşitsizliğin \( \le 0 \) olduğu aralık, kökler arasındaki bölgedir.
Çözüm aralığı: \( [5 - \sqrt{5}, 5 + \sqrt{5}] \)
Yaklaşık değerler: \( \sqrt{5} \approx 2.236 \)
\( x_1 \approx 5 - 2.236 = 2.764 \)
\( x_2 \approx 5 + 2.236 = 7.236 \)
👉 Çiftçinin en az 5 ton domates verimi alabilmesi için gübre miktarını yaklaşık olarak 2.764 kg ile 7.236 kg arasında kullanması gerekmektedir. ✅
Örnek 6:
Bir inşaat firması, kare şeklindeki bir arsanın etrafına çit çekmek istiyor. Arsanın alanı \( A = x^2 \) metrekare olarak veriliyor. Eğer firmanın kullanabileceği çit uzunluğu en fazla 40 metre ise, bu arsanın bir kenar uzunluğu (x) için olası değerleri bulunuz.
Çözüm:
Bu problemde, karenin alanından kenar uzunluğunu ve ardından çevresinden yola çıkarak bir eşitsizlik kuracağız. 📏
Adım 1: Alan ve Kenar İlişkisi
Karenin alanı \( A = x^2 \) olarak verilmiş.
Burada \( x \) karenin bir kenar uzunluğudur ve pozitif olmalıdır: \( x > 0 \).
Adım 2: Çevre ve Kenar İlişkisi
Karenin çevresi \( Ç = 4x \) formülüyle hesaplanır.
Firmanın kullanabileceği çit uzunluğu en fazla 40 metre ise, bu karenin çevresinin 40 metreden küçük veya eşit olması gerektiği anlamına gelir:
\( 4x \le 40 \)
Adım 3: Eşitsizliği Çözme
Eşitsizliğin her iki tarafını 4'e bölelim:
\( x \le \frac{40}{4} \)
\( x \le 10 \)
Adım 4: Çözüm Kümesini Belirleme
Hem \( x > 0 \) (kenar uzunluğu pozitif olmalı) hem de \( x \le 10 \) koşullarını birlikte değerlendirmeliyiz.
Bu iki koşulu sağlayan x değerleri \( 0 < x \le 10 \) aralığındadır.
👉 İnşaat firmasının kullanabileceği çit uzunluğu en fazla 40 metre ise, bu kare arsanın bir kenar uzunluğu (x) 0 metreden büyük ve 10 metreye eşit veya küçük olmalıdır. ✅
Örnek 7:
Aşağıdaki denklem sistemini çözünüz:
\( \sqrt{x} + y = 5 \)
\( x - y = 1 \)
Çözüm:
Bu denklem sistemi, hem kareköklü bir ifade hem de doğrusal bir denklem içeriyor. Bu tür sistemleri çözerken, genellikle bir denklemden diğerine yerine koyma yöntemi kullanılır. 🧩
Adım 1: Bir Değişkeni Yalnız Bırakma
İkinci denklemden \( y \)'yi çekelim:
\( x - y = 1 \implies y = x - 1 \)
Adım 2: Yerine Koyma
Bulduğumuz \( y = x - 1 \) ifadesini birinci denklemdeki \( y \) yerine yazalım:
\( \sqrt{x} + (x - 1) = 5 \)
Adım 3: Kareköklü Denklemi Düzenleme
Denklemi kareköklü ifadeyi yalnız bırakacak şekilde düzenleyelim:
\( \sqrt{x} = 5 - (x - 1) \)
\( \sqrt{x} = 5 - x + 1 \)
\( \sqrt{x} = 6 - x \)
Adım 4: Her İki Tarafın Karesini Alma
Karekökten kurtulmak için her iki tarafın karesini alalım:
\( (\sqrt{x})^2 = (6 - x)^2 \)
\( x = 36 - 12x + x^2 \)
Adım 5: Karesel Denklemi Çözme
Tüm terimleri bir tarafa toplayarak standart bir karesel denklem elde edelim:
\( x^2 - 12x - x + 36 = 0 \)
\( x^2 - 13x + 36 = 0 \)
Bu denklemi çarpanlarına ayıralım. Çarpımları 36, toplamları -13 olan sayılar -4 ve -9'dur.
\( (x - 4)(x - 9) = 0 \)
Bu denklemin olası kökleri \( x = 4 \) ve \( x = 9 \)'dur.
Adım 6: Sağlama Yapma (Çok Önemli!)
Karesel alma işlemi yabancı kökler üretebilir. Bulduğumuz kökleri orijinal denklemlerde yerine koyarak kontrol etmeliyiz. Özellikle \( \sqrt{x} = 6 - x \) denkleminde \( 6-x \) ifadesinin negatif olamayacağını unutmayalım (çünkü karekökün sonucu negatif olamaz).
\( x = 4 \) için:
Orijinal birinci denklem: \( \sqrt{4} + y = 5 \implies 2 + y = 5 \implies y = 3 \)
Orijinal ikinci denklem: \( 4 - y = 1 \implies y = 3 \)
Her iki denklem de \( y=3 \) sonucunu verdi. Ayrıca \( \sqrt{x} = 6 - x \) kontrolü: \( \sqrt{4} = 6 - 4 \implies 2 = 2 \). Bu kök geçerlidir. ✅
\( x = 9 \) için:
Orijinal birinci denklem: \( \sqrt{9} + y = 5 \implies 3 + y = 5 \implies y = 2 \)
Orijinal ikinci denklem: \( 9 - y = 1 \implies y = 8 \)
Burada \( y \) için farklı değerler bulduk. Bu, \( x=9 \) değerinin bir çözüm olmadığını gösterir. Ayrıca \( \sqrt{x} = 6 - x \) kontrolü: \( \sqrt{9} = 6 - 9 \implies 3 = -3 \) (Yanlış!). Bu kök yabancıdır. ❌
👉 Denklem sisteminin tek çözümü \( x=4 \) ve \( y=3 \)'tür. ✅
Örnek 8:
Bir teknoloji mağazası, yeni çıkan bir akıllı telefonun satış fiyatını belirlemek istiyor. Telefonun maliyeti 2000 TL'dir. Mağaza, satış fiyatı \( P \) (TL) ve satılan telefon sayısı \( x \) arasındaki ilişkiyi gösteren bir talep fonksiyonu \( P(x) = 3000 - 2x \) olarak belirlemiştir. Mağazanın bu satıştan zarar etmemesi (yani karının sıfır veya pozitif olması) için satması gereken telefon sayısı \( x \) için eşitsizliği kurup çözüm aralığını bulunuz.
Çözüm:
Bu problemde, mağazanın karını hesaplayıp bu karın negatif olmamasını sağlayacak telefon sayısı aralığını bulacağız. Kar, toplam gelir ile toplam maliyet arasındaki farktır. 💰
Adım 1: Toplam Geliri Hesaplama
Toplam gelir, satış fiyatı ile satılan ürün sayısının çarpımıdır:
\( Gelir(x) = P(x) \times x \)
\( Gelir(x) = (3000 - 2x) \times x \)
\( Gelir(x) = 3000x - 2x^2 \)
Adım 2: Toplam Maliyeti Hesaplama
Telefonun birim maliyeti 2000 TL'dir.
\( x \) tane telefon satıldığında toplam maliyet:
\( Maliyet(x) = 2000 \times x \)
\( Maliyet(x) = 2000x \)
Adım 3: Kar Fonksiyonunu Oluşturma
Kar, Gelir - Maliyet'tir:
\( Kar(x) = Gelir(x) - Maliyet(x) \)
\( Kar(x) = (3000x - 2x^2) - 2000x \)
\( Kar(x) = 1000x - 2x^2 \)
Adım 4: Zarar Etmeme Eşitsizliğini Kurma
Mağazanın zarar etmemesi demek, karının sıfır veya pozitif olması demektir:
\( Kar(x) \ge 0 \)
\( 1000x - 2x^2 \ge 0 \)
Adım 5: Eşitsizliği Çözme
Bu karesel eşitsizliği çözmek için önce çarpanlarına ayıralım:
\( 2x(500 - x) \ge 0 \)
Kritik noktalarımız \( 2x = 0 \implies x = 0 \) ve \( 500 - x = 0 \implies x = 500 \)'dür.
Satılan telefon sayısı \( x \) negatif olamayacağı için \( x \ge 0 \) olmalıdır.
İfade \( 2x(500 - x) \) ifadesinin pozitif veya sıfır olması için, \( x \) ve \( 500-x \) terimlerinin işaretleri aynı olmalıdır veya terimlerden biri sıfır olmalıdır.
Bu nedenle eşitsizliğin sağlandığı aralık \( [0, 500] \)'dür.
👉 Mağazanın zarar etmemesi için satması gereken telefon sayısı 0 ile 500 adet arasında (0 ve 500 dahil) olmalıdır. ✅
Örnek 9:
Bir mühendis, bir köprünün yapımında kullanılacak betonun dayanıklılığını modelleyen bir denklem geliştirmiştir. Dayanıklılık \( D \) (Megapaskal - MPa), betonun yaşı \( t \) (gün) ve su-çimento oranı \( r \) ile şu şekilde ilişkilidir: \( D(t, r) = 10 \sqrt{t} + 20r \). Mühendis, dayanıklılığın en az 50 MPa olmasını istemektedir. Eğer su-çimento oranı \( r = 0.4 \) olarak sabitlenmişse, betonun dayanıklılığının istenen seviyeye ulaşması için kaç gün beklemesi gerektiğini gösteren eşitsizliği kurup çözünüz.
Çözüm:
Bu problemde, verilen dayanıklılık fonksiyonunda \( r \) sabitken, \( t \) için bir eşitsizlik kurup çözeceğiz. Dayanıklılığın minimum değeri hedefleniyor. 🏗️
Karekökten kurtulmak için her iki tarafın karesini alalım. (Unutmayalım ki \( t \) gün sayısı olduğu için \( t \ge 0 \) olmalıdır.)
\( (\sqrt{t})^2 \ge (4.2)^2 \)
\( t \ge 17.64 \)
Adım 5: Sonucu Yorumlama
Bulduğumuz \( t \ge 17.64 \) eşitsizliği, betonun dayanıklılığının en az 50 MPa olması için en az 17.64 gün beklemesi gerektiğini gösterir.
Gün sayısı genellikle tam sayı olarak ifade edildiği için, mühendis en az 18 gün beklemelidir.
👉 Betonun dayanıklılığının en az 50 MPa olması için, su-çimento oranı 0.4 iken, betonun yaşının en az 17.64 gün olması gerekmektedir. Pratik olarak bu, en az 18 gün beklenmesi gerektiği anlamına gelir. ✅