💡 10. Sınıf Matematik: Doğrusal, karesel, kareköklü ve rasyonel fonksiyonlardan türetilebilen fonksiyonlarla oluşturulan denklem ve eşitsizlikler Çözümlü Örnekler

Yok Etme Yöntemi ile Çözüm:

• Denklemleri alt alta yazalım:

\( 2x + y = 5 \)

\( x - y = 1 \)

• İkinci denklemdeki '-y' terimi, birinci denklemdeki '+y' terimiyle toplandığında birbirini götürecektir. Bu yüzden iki denklemi taraf tarafa toplayalım:

\( (2x + y) + (x - y) = 5 + 1 \)

\( 3x = 6 \)

• Şimdi x'i bulmak için her iki tarafı 3'e bölelim:

\( x = \frac{6}{3} \)

\( x = 2 \)

• Bulduğumuz x değerini denklemlerden herhangi birine yerine koyarak y'yi bulalım. İkinci denklemi kullanalım:

\( x - y = 1 \)

\( 2 - y = 1 \)

• y'yi yalnız bırakalım:

\( -y = 1 - 2 \)

\( -y = -1 \)

\( y = 1 \)

• Çözüm kümesi: \( \{ (2, 1) \} \)

👉 Yani, denklem sistemimizin çözümü \( x=2 \) ve \( y=1 \)'dir. ✅

Adım 1: Kökleri Bulma

• Eşitsizliği bir denklem olarak ele alalım: \( x^2 - 5x + 6 = 0 \)
• Bu ikinci dereceden denklemi çarpanlarına ayıralım. Çarpımları 6, toplamları -5 olan iki sayı -2 ve -3'tür.

\( (x - 2)(x - 3) = 0 \)

• Köklerimiz: \( x_1 = 2 \) ve \( x_2 = 3 \)

Adım 2: İşaret Analizi (Tablo Yöntemi)

• Bulduğumuz kökleri sayı doğrusuna yerleştirelim: 2 ve 3. Bu kökler sayı doğrusunu üç aralığa böler: \( (-\infty, 2) \), \( (2, 3) \) ve \( (3, \infty) \).
• Her bir aralıkta \( f(x) = x^2 - 5x + 6 \) fonksiyonunun işaretini belirleyelim.
• \( (-\infty, 2) \) aralığı: Bir değer seçelim, örneğin \( x=0 \). \( (0-2)(0-3) = (-2)(-3) = 6 \). İşaret +.
• \( (2, 3) \) aralığı: Bir değer seçelim, örneğin \( x=2.5 \). \( (2.5-2)(2.5-3) = (0.5)(-0.5) = -0.25 \). İşaret -.
• \( (3, \infty) \) aralığı: Bir değer seçelim, örneğin \( x=4 \). \( (4-2)(4-3) = (2)(1) = 2 \). İşaret +.
• Eşitsizliğimiz \( \le 0 \) olduğu için, fonksiyonun negatif olduğu aralığı arıyoruz. Bu aralık \( (2, 3) \)'tür.
• Eşitsizlikte eşitlik durumu ( \( \le \) ) olduğundan, kökler de çözüm kümesine dahildir.
• Dolayısıyla çözüm kümesi \( [2, 3] \)'tür.

👉 Bu aralıktaki tam sayılar 2 ve 3'tür. ✅

Adım 1: Karekökten Kurtulma

• Verilen denklem: \( \sqrt{x+1} = 3 \)
• Denklemin her iki tarafının karesini alalım:

\( (\sqrt{x+1})^2 = 3^2 \)

\( x+1 = 9 \)

Adım 2: x'i Bulma

• x'i yalnız bırakmak için her iki taraftan 1 çıkaralım:

\( x = 9 - 1 \)

\( x = 8 \)

Adım 3: Sağlama Yapma

• Bulduğumuz \( x=8 \) değerini orijinal denklemde yerine koyalım:

\( \sqrt{8+1} = \sqrt{9} = 3 \)

• Elde ettiğimiz sonuç orijinal denklemin sağ tarafına eşittir. Bu nedenle çözümümüz doğrudur.

👉 Denklemimizin tek çözümü \( x=8 \)'dir. ✅

Adım 1: Kritik Noktaları Bulma

• Payı sıfıra eşitleyelim: \( x-1 = 0 \implies x = 1 \)
• Paydayı sıfıra eşitleyelim: \( x+2 = 0 \implies x = -2 \)
• Payda sıfır olamayacağı için \( x=-2 \) değeri çözüm kümesine dahil değildir.

Adım 2: İşaret Tablosu Oluşturma

• Kritik noktalarımız -2 ve 1'dir. Bu noktalar sayı doğrusunu üç aralığa böler: \( (-\infty, -2) \), \( (-2, 1) \) ve \( (1, \infty) \).
• Her bir aralıkta \( f(x) = \frac{x-1}{x+2} \) ifadesinin işaretini inceleyelim.
• \( (-\infty, -2) \) aralığı: Bir değer seçelim, örneğin \( x=-3 \). \( \frac{-3-1}{-3+2} = \frac{-4}{-1} = 4 \). İşaret +.
• \( (-2, 1) \) aralığı: Bir değer seçelim, örneğin \( x=0 \). \( \frac{0-1}{0+2} = \frac{-1}{2} \). İşaret -.
• \( (1, \infty) \) aralığı: Bir değer seçelim, örneğin \( x=2 \). \( \frac{2-1}{2+2} = \frac{1}{4} \). İşaret +.
• Eşitsizliğimiz \( \ge 0 \) olduğu için, ifadenin pozitif veya sıfır olduğu aralıkları arıyoruz.
• Kesrin değeri \( x=1 \) için sıfır olur (pay sıfır iken), bu yüzden \( x=1 \) çözüm kümesine dahildir.
• Kesrin değeri \( x=-2 \) için tanımsızdır, bu yüzden \( x=-2 \) çözüm kümesine dahil değildir.
• Çözüm kümelerimiz: \( (-\infty, -2) \) ve \( [1, \infty) \).

👉 Bu aralıklarda bulunan tam sayılar, \( \dots, -5, -4, -3 \) ve \( 1, 2, 3, \dots \)'dir. ✅

Adım 1: Eşitsizliği Kurma

• Verilen verim fonksiyonu: \( V(x) = -x^2 + 10x - 15 \)
• Çiftçinin en az 5 ton verim alması isteniyor: \( V(x) \ge 5 \)
• Bu durumda eşitsizliğimiz: \( -x^2 + 10x - 15 \ge 5 \)

Adım 2: Eşitsizliği Standart Forma Getirme

• Eşitsizliğin sağ tarafındaki 5'i sol tarafa alalım:

\( -x^2 + 10x - 15 - 5 \ge 0 \)

\( -x^2 + 10x - 20 \ge 0 \)

• Karesel ifadelerde baş katsayının pozitif olması genellikle işleri kolaylaştırır. Eşitsizliğin her iki tarafını -1 ile çarpıp eşitsizlik yönünü değiştirelim:

\( x^2 - 10x + 20 \le 0 \)

Adım 3: Kökleri Bulma

• Bu ikinci dereceden denklemin köklerini bulmak için çarpanlara ayırma yöntemi uygun olmayabilir. Diskriminant yöntemini kullanalım: \( \Delta = b^2 - 4ac \)

\( a=1, b=-10, c=20 \)

\( \Delta = (-10)^2 - 4(1)(20) = 100 - 80 = 20 \)

• Kökler: \( x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} \)

\( x_1 = \frac{10 - \sqrt{20}}{2} = \frac{10 - 2\sqrt{5}}{2} = 5 - \sqrt{5} \)

\( x_2 = \frac{10 + \sqrt{20}}{2} = \frac{10 + 2\sqrt{5}}{2} = 5 + \sqrt{5} \)

Adım 4: İşaret Analizi ve Çözüm Aralığı

• Eşitsizliğimiz \( x^2 - 10x + 20 \le 0 \) idi. Bu, \( x^2 \) teriminin katsayısı pozitif olduğu için, parabolün kolları yukarı doğrudur. Dolayısıyla, eşitsizliğin \( \le 0 \) olduğu aralık, kökler arasındaki bölgedir.
• Çözüm aralığı: \( [5 - \sqrt{5}, 5 + \sqrt{5}] \)
• Yaklaşık değerler: \( \sqrt{5} \approx 2.236 \)

\( x_1 \approx 5 - 2.236 = 2.764 \)

\( x_2 \approx 5 + 2.236 = 7.236 \)

👉 Çiftçinin en az 5 ton domates verimi alabilmesi için gübre miktarını yaklaşık olarak 2.764 kg ile 7.236 kg arasında kullanması gerekmektedir. ✅

Adım 1: Alan ve Kenar İlişkisi

• Karenin alanı \( A = x^2 \) olarak verilmiş.
• Burada \( x \) karenin bir kenar uzunluğudur ve pozitif olmalıdır: \( x > 0 \).

Adım 2: Çevre ve Kenar İlişkisi

• Karenin çevresi \( Ç = 4x \) formülüyle hesaplanır.
• Firmanın kullanabileceği çit uzunluğu en fazla 40 metre ise, bu karenin çevresinin 40 metreden küçük veya eşit olması gerektiği anlamına gelir:

\( 4x \le 40 \)

Adım 3: Eşitsizliği Çözme

• Eşitsizliğin her iki tarafını 4'e bölelim:

\( x \le \frac{40}{4} \)

\( x \le 10 \)

Adım 4: Çözüm Kümesini Belirleme

• Hem \( x > 0 \) (kenar uzunluğu pozitif olmalı) hem de \( x \le 10 \) koşullarını birlikte değerlendirmeliyiz.
• Bu iki koşulu sağlayan x değerleri \( 0 < x \le 10 \) aralığındadır.

👉 İnşaat firmasının kullanabileceği çit uzunluğu en fazla 40 metre ise, bu kare arsanın bir kenar uzunluğu (x) 0 metreden büyük ve 10 metreye eşit veya küçük olmalıdır. ✅

Adım 1: Bir Değişkeni Yalnız Bırakma

• İkinci denklemden \( y \)'yi çekelim:

\( x - y = 1 \implies y = x - 1 \)

Adım 2: Yerine Koyma

• Bulduğumuz \( y = x - 1 \) ifadesini birinci denklemdeki \( y \) yerine yazalım:

\( \sqrt{x} + (x - 1) = 5 \)

Adım 3: Kareköklü Denklemi Düzenleme

• Denklemi kareköklü ifadeyi yalnız bırakacak şekilde düzenleyelim:

\( \sqrt{x} = 5 - (x - 1) \)

\( \sqrt{x} = 5 - x + 1 \)

\( \sqrt{x} = 6 - x \)

Adım 4: Her İki Tarafın Karesini Alma

• Karekökten kurtulmak için her iki tarafın karesini alalım:

\( (\sqrt{x})^2 = (6 - x)^2 \)

\( x = 36 - 12x + x^2 \)

Adım 5: Karesel Denklemi Çözme

• Tüm terimleri bir tarafa toplayarak standart bir karesel denklem elde edelim:

\( x^2 - 12x - x + 36 = 0 \)

\( x^2 - 13x + 36 = 0 \)

• Bu denklemi çarpanlarına ayıralım. Çarpımları 36, toplamları -13 olan sayılar -4 ve -9'dur.

\( (x - 4)(x - 9) = 0 \)

• Bu denklemin olası kökleri \( x = 4 \) ve \( x = 9 \)'dur.

Adım 6: Sağlama Yapma (Çok Önemli!)

• Karesel alma işlemi yabancı kökler üretebilir. Bulduğumuz kökleri orijinal denklemlerde yerine koyarak kontrol etmeliyiz. Özellikle \( \sqrt{x} = 6 - x \) denkleminde \( 6-x \) ifadesinin negatif olamayacağını unutmayalım (çünkü karekökün sonucu negatif olamaz).
• \( x = 4 \) için:

Orijinal birinci denklem: \( \sqrt{4} + y = 5 \implies 2 + y = 5 \implies y = 3 \)

Orijinal ikinci denklem: \( 4 - y = 1 \implies y = 3 \)

Her iki denklem de \( y=3 \) sonucunu verdi. Ayrıca \( \sqrt{x} = 6 - x \) kontrolü: \( \sqrt{4} = 6 - 4 \implies 2 = 2 \). Bu kök geçerlidir. ✅

• \( x = 9 \) için:

Orijinal birinci denklem: \( \sqrt{9} + y = 5 \implies 3 + y = 5 \implies y = 2 \)

Orijinal ikinci denklem: \( 9 - y = 1 \implies y = 8 \)

Burada \( y \) için farklı değerler bulduk. Bu, \( x=9 \) değerinin bir çözüm olmadığını gösterir. Ayrıca \( \sqrt{x} = 6 - x \) kontrolü: \( \sqrt{9} = 6 - 9 \implies 3 = -3 \) (Yanlış!). Bu kök yabancıdır. ❌

👉 Denklem sisteminin tek çözümü \( x=4 \) ve \( y=3 \)'tür. ✅

Adım 1: Toplam Geliri Hesaplama

• Toplam gelir, satış fiyatı ile satılan ürün sayısının çarpımıdır:

\( Gelir(x) = P(x) \times x \)

\( Gelir(x) = (3000 - 2x) \times x \)

\( Gelir(x) = 3000x - 2x^2 \)

Adım 2: Toplam Maliyeti Hesaplama

• Telefonun birim maliyeti 2000 TL'dir.
• \( x \) tane telefon satıldığında toplam maliyet:

\( Maliyet(x) = 2000 \times x \)

\( Maliyet(x) = 2000x \)

Adım 3: Kar Fonksiyonunu Oluşturma

• Kar, Gelir - Maliyet'tir:

\( Kar(x) = Gelir(x) - Maliyet(x) \)

\( Kar(x) = (3000x - 2x^2) - 2000x \)

\( Kar(x) = 1000x - 2x^2 \)

Adım 4: Zarar Etmeme Eşitsizliğini Kurma

• Mağazanın zarar etmemesi demek, karının sıfır veya pozitif olması demektir:

\( Kar(x) \ge 0 \)

\( 1000x - 2x^2 \ge 0 \)

Adım 5: Eşitsizliği Çözme

• Bu karesel eşitsizliği çözmek için önce çarpanlarına ayıralım:

\( 2x(500 - x) \ge 0 \)

• Kritik noktalarımız \( 2x = 0 \implies x = 0 \) ve \( 500 - x = 0 \implies x = 500 \)'dür.
• Satılan telefon sayısı \( x \) negatif olamayacağı için \( x \ge 0 \) olmalıdır.
• İfade \( 2x(500 - x) \) ifadesinin pozitif veya sıfır olması için, \( x \) ve \( 500-x \) terimlerinin işaretleri aynı olmalıdır veya terimlerden biri sıfır olmalıdır.
• Eğer \( x=0 \) ise ifade 0 olur.
• Eğer \( x=500 \) ise ifade 0 olur.
• \( 0 < x < 500 \) aralığında, örneğin \( x=100 \) alırsak: \( 2(100)(500-100) = 200(400) = 80000 > 0 \).
• Bu nedenle eşitsizliğin sağlandığı aralık \( [0, 500] \)'dür.

👉 Mağazanın zarar etmemesi için satması gereken telefon sayısı 0 ile 500 adet arasında (0 ve 500 dahil) olmalıdır. ✅

Adım 1: Verilenleri Yerine Koyma

• Dayanıklılık fonksiyonu: \( D(t, r) = 10 \sqrt{t} + 20r \)
• İstenen minimum dayanıklılık: \( D \ge 50 \) MPa
• Sabitlenen su-çimento oranı: \( r = 0.4 \)
• Bu değerleri fonksiyonda yerine koyalım:

\( 10 \sqrt{t} + 20(0.4) \ge 50 \)

Adım 2: Denklemi Sadeleştirme

• Önce \( 20 \times 0.4 \) işlemini yapalım:

\( 20 \times 0.4 = 8 \)

• Denklemimiz şu hale gelir:

\( 10 \sqrt{t} + 8 \ge 50 \)

Adım 3: Kareköklü İfadeyi Yalnız Bırakma

• Her iki taraftan 8 çıkaralım:

\( 10 \sqrt{t} \ge 50 - 8 \)

\( 10 \sqrt{t} \ge 42 \)

• Her iki tarafı 10'a bölelim:

\( \sqrt{t} \ge \frac{42}{10} \)

\( \sqrt{t} \ge 4.2 \)

Adım 4: Her İki Tarafın Karesini Alma

• Karekökten kurtulmak için her iki tarafın karesini alalım. (Unutmayalım ki \( t \) gün sayısı olduğu için \( t \ge 0 \) olmalıdır.)

\( (\sqrt{t})^2 \ge (4.2)^2 \)

\( t \ge 17.64 \)

Adım 5: Sonucu Yorumlama

• Bulduğumuz \( t \ge 17.64 \) eşitsizliği, betonun dayanıklılığının en az 50 MPa olması için en az 17.64 gün beklemesi gerektiğini gösterir.
• Gün sayısı genellikle tam sayı olarak ifade edildiği için, mühendis en az 18 gün beklemelidir.

👉 Betonun dayanıklılığının en az 50 MPa olması için, su-çimento oranı 0.4 iken, betonun yaşının en az 17.64 gün olması gerekmektedir. Pratik olarak bu, en az 18 gün beklenmesi gerektiği anlamına gelir. ✅