💡 10. Sınıf Matematik: Doğrusal, karesel, kareköklü ve rasyonel fonksiyonlar ile ters fonksiyonları Çözümlü Örnekler

Doğrusal bir fonksiyon, genel olarak \( f(x) = ax + b \) şeklinde yazılabilen bir fonksiyondur. Burada \( a \) ve \( b \) sabit gerçek sayılardır ve \( x \)'in kuvveti en fazla 1 olmalıdır.

• A seçeneğindeki \( f(x) = x^2 + 1 \) fonksiyonunda \( x \)'in kuvveti 2'dir, bu nedenle karesel bir fonksiyondur.
• B seçeneğindeki \( g(x) = 3x - 5 \) fonksiyonu \( ax + b \) formundadır. Burada \( a = 3 \) ve \( b = -5 \)'tir. Bu bir doğrusal fonksiyondur. 👉
• C seçeneğindeki \( h(x) = \sqrt{x} \) fonksiyonu kareköklü bir fonksiyondur.
• D seçeneğindeki \( k(x) = \frac{1}{x} \) fonksiyonu rasyonel bir fonksiyondur.

Cevap: B

Bir fonksiyonun grafiği, o fonksiyonun denklemini sağlayan noktalar kümesidir. \( f(x) = 2x - 4 \) denklemi, \( y = 2x - 4 \) olarak da yazılabilir.

• Bu denklem, eğimi 2 ve y-eksenini -4'te kesen bir doğru denklemidir.
• Dolayısıyla, \( f(x) = 2x - 4 \) fonksiyonunun grafiği, analitik düzlemde bir doğrudur. 📈

Fonksiyonun tanımındaki en yüksek dereceli terime bakarak fonksiyonun türünü belirleyebiliriz.

• \( g(x) = x^2 - 3 \) fonksiyonunda, değişken \( x \)'in en yüksek kuvveti 2'dir.
• \( x \)'in kuvveti 2 olduğunda, bu tür fonksiyonlara karesel fonksiyon denir.
• Karesel fonksiyonların grafiği bir parabol şeklindedir. 🎢

Cevap: Karesel Fonksiyon

Karekök içindeki ifadenin negatif olmaması gerekir. Çünkü reel sayılarda negatif sayıların karekökü tanımsızdır.

• Bu nedenle, \( x-1 \) ifadesi büyük veya eşit sıfır olmalıdır.
• \( x - 1 \ge 0 \)
• Denklemi çözdüğümüzde: \( x \ge 1 \) elde ederiz.
• Bu da tanım kümesinin [1, \( \infty \)) aralığı olduğunu gösterir. 🎯

Cevap: [1, \( \infty \))

Bir fonksiyonda değişken, paydada kesirli bir ifade şeklinde bulunuyorsa, bu tür fonksiyonlara rasyonel fonksiyon denir.

• Rasyonel fonksiyonlarda, payda sıfır olamaz.
• \( k(x) = \frac{x+2}{x-3} \) fonksiyonunda payda \( x-3 \)'tür.
• Paydanın sıfır olmasını engelleyen değer \( x=3 \) olur.
• Dolayısıyla, bu fonksiyon bir rasyonel fonksiyondur ve tanım kümesi dışındaki tek değer 3'tür. 🚫

Cevap: Rasyonel Fonksiyon, 3

Bir fonksiyonun tersini bulmak için şu adımları izleriz:

• Adım 1: Fonksiyonu \( y = f(x) \) şeklinde yazın.
  \( y = 3x + 5 \)
• Adım 2: \( x \)'i \( y \)'ye bağlı olarak yalnız bırakın.
  \( y - 5 = 3x \)
  \( x = \frac{y-5}{3} \)
• Adım 3: \( x \) yerine \( f^{-1}(x) \) ve \( y \) yerine \( x \) yazın.
  \( f^{-1}(x) = \frac{x-5}{3} \)

Cevap: \( f^{-1}(x) = \frac{x-5}{3} \) ✅

Bu problemi bir doğrusal fonksiyon \( f(t) = at + b \) ile modelleyebiliriz. Burada \( t \) zamanı (saat), \( f(t) \) ise depodaki benzin miktarını (litre) göstermektedir.

• Başlangıç durumu: \( t=0 \) iken \( f(0) = 50 \).
  Fonksiyonda yerine koyarsak: \( 50 = a(0) + b \implies b = 50 \).
• 4 saat sonraki durum: \( t=4 \) iken \( f(4) = 30 \).
  Bulduğumuz \( b=50 \) değerini ve bu durumu fonksiyonda yerine koyarsak:
  \( 30 = a(4) + 50 \)
  \( 30 - 50 = 4a \)
  \( -20 = 4a \)
  \( a = -5 \)
• Bulduğumuz \( a \) ve \( b \) değerlerini genel fonksiyonda yerine koyarsak:
  \( f(t) = -5t + 50 \)

Cevap: Depodaki benzin miktarını gösteren fonksiyon \( f(t) = -5t + 50 \)'dir. ⛽

Bu problemi bir doğrusal fonksiyon \( K(x) = ax + b \) ile modelleyebiliriz. Burada \( x \) üretilen ürün sayısı, \( K(x) \) ise elde edilen kar miktarıdır (TL).

• Verilen Bilgiler:
  1. 100 ürün üretilince 500 TL kar: \( K(100) = 500 \)
  2. 200 ürün üretilince 1500 TL kar: \( K(200) = 1500 \)
• Fonksiyonda Yerine Koyma:
  1. \( 500 = a(100) + b \)
  2. \( 1500 = a(200) + b \)
• Bu iki denklemi kullanarak \( a \) ve \( b \) değerlerini bulabiliriz. İkinci denklemden birinci denklemi çıkaralım:
  \( (1500 - 500) = (a(200) + b) - (a(100) + b) \)
  \( 1000 = 200a - 100a \)
  \( 1000 = 100a \)
  \( a = 10 \)
• Bulduğumuz \( a=10 \) değerini birinci denklemde yerine koyalım:
  \( 500 = 10(100) + b \)
  \( 500 = 1000 + b \)
  \( b = 500 - 1000 \)
  \( b = -500 \)
• O halde, kar fonksiyonu: \( K(x) = 10x - 500 \)
• 300 ürün üretildiğinde karı hesaplayalım:
  \( K(300) = 10(300) - 500 \)
  \( K(300) = 3000 - 500 \)
  \( K(300) = 2500 \)

Cevap: Firma 300 ürün ürettiğinde 2500 TL kar elde eder. 💰