🎓 10. Sınıf
📚 10. Sınıf Matematik
💡 10. Sınıf Matematik: Doğrusal, Karesel, Karekök Ve Rasyonel Referans Fonksiyonlar Ve Bunlardan Türetilen Fonksiyonlarla İfade Edilebilen Denklem Ve Eşitsizlikler İçeren Problemlerin Çözümü Çözümlü Örnekler
10. Sınıf Matematik: Doğrusal, Karesel, Karekök Ve Rasyonel Referans Fonksiyonlar Ve Bunlardan Türetilen Fonksiyonlarla İfade Edilebilen Denklem Ve Eşitsizlikler İçeren Problemlerin Çözümü Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Bir doğrusal fonksiyon \( f(x) \) için \( f(2) = 7 \) ve \( f(5) = 16 \) olduğu bilinmektedir.
Buna göre, \( f(x) \) fonksiyonunun denklemini bulunuz ve \( f(10) \) değerini hesaplayınız.
Buna göre, \( f(x) \) fonksiyonunun denklemini bulunuz ve \( f(10) \) değerini hesaplayınız.
Çözüm:
👉 Doğrusal fonksiyonların genel denklemi \( f(x) = ax + b \) şeklindedir. Bize verilen iki noktayı kullanarak \( a \) ve \( b \) değerlerini bulabiliriz.
- Adım 1: Verilen değerleri fonksiyonda yerine yazalım.
- \( f(2) = 7 \Rightarrow 2a + b = 7 \) (Denklem 1)
- \( f(5) = 16 \Rightarrow 5a + b = 16 \) (Denklem 2)
- Adım 2: İki denklemi ortak çözerek \( a \) ve \( b \) değerlerini bulalım.
- Denklem 2'den Denklem 1'i çıkaralım:
\( (5a + b) - (2a + b) = 16 - 7 \)
\( 3a = 9 \)
\( a = 3 \) - \( a = 3 \) değerini Denklem 1'de yerine yazalım:
\( 2(3) + b = 7 \)
\( 6 + b = 7 \)
\( b = 1 \) - Adım 3: Fonksiyonun denklemini yazalım.
- Bulduğumuz \( a = 3 \) ve \( b = 1 \) değerlerini yerine yazarsak, fonksiyonun denklemi \( f(x) = 3x + 1 \) olur.
- Adım 4: \( f(10) \) değerini hesaplayalım.
- \( x = 10 \) için \( f(10) = 3(10) + 1 = 30 + 1 = 31 \) bulunur.
Örnek 2:
Aşağıdaki karesel eşitsizliğin çözüm kümesini bulunuz.
\[ x^2 - 5x - 6 < 0 \]
\[ x^2 - 5x - 6 < 0 \]
Çözüm:
💡 Karesel eşitsizlikleri çözerken önce denklemin köklerini bulur, sonra bir işaret tablosu oluştururuz.
- Adım 1: Eşitsizliği bir denklem gibi düşünerek köklerini bulalım.
- \( x^2 - 5x - 6 = 0 \)
- Çarpanlarına ayırırsak: \( (x-6)(x+1) = 0 \)
- Kökler: \( x_1 = 6 \) ve \( x_2 = -1 \)
- Adım 2: İşaret tablosu oluşturalım.
- Kökleri küçükten büyüğe doğru tabloya yerleştirelim: \( -1 \) ve \( 6 \).
- \( x^2 \) teriminin katsayısı \( +1 \) olduğu için, tablonun en sağından \( + \) ile başlarız ve her kökte işaret değiştiririz.
-
x | -∞ -1 6 +∞ -----|--------------------------- x^2-5x-6 | + | - | + - Adım 3: Eşitsizliğin istediği aralığı belirleyelim.
- Bize \( x^2 - 5x - 6 < 0 \) yani negatif olduğu aralık soruluyor.
- Tabloya göre bu aralık \( (-1, 6) \) dır. Kökler eşitsizliğe dahil değildir çünkü eşitsizlik "küçüktür" ( \( < \) ) şeklindedir.
Örnek 3:
Aşağıdaki karekök denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
\[ \sqrt{x+2} = x \]
\[ \sqrt{x+2} = x \]
Çözüm:
📌 Karekök içeren denklemleri çözerken, her iki tarafın karesini alırız. Ancak bulduğumuz kökleri mutlaka orijinal denklemde kontrol etmeliyiz, çünkü karesini alma işlemi "sahte kök" (istenmeyen kök) üretebilir. Ayrıca karekökün içindeki ifadenin negatif olamayacağını unutmayalım.
- Adım 1: Tanım kümesini belirleyelim.
- Karekök içindeki ifade \( x+2 \ge 0 \) olmalıdır, yani \( x \ge -2 \).
- Ayrıca, \( \sqrt{x+2} \) ifadesi her zaman pozitif veya sıfır olacağı için, denklemin sağ tarafı \( x \) de pozitif veya sıfır olmalıdır, yani \( x \ge 0 \).
- Bu iki koşulun kesişimi \( x \ge 0 \) dır.
- Adım 2: Her iki tarafın karesini alalım.
- \( (\sqrt{x+2})^2 = x^2 \)
- \( x+2 = x^2 \)
- Adım 3: Denklemi düzenleyip köklerini bulalım.
- \( x^2 - x - 2 = 0 \)
- Çarpanlarına ayıralım: \( (x-2)(x+1) = 0 \)
- Kökler: \( x_1 = 2 \) ve \( x_2 = -1 \)
- Adım 4: Bulduğumuz kökleri tanım kümesi ve orijinal denklemde kontrol edelim.
- \( x_1 = 2 \) için:
- Tanım kümesi koşulunu sağlıyor mu? \( 2 \ge 0 \) (Evet).
- Orijinal denklemde yerine yazalım: \( \sqrt{2+2} = 2 \Rightarrow \sqrt{4} = 2 \Rightarrow 2 = 2 \) (Sağlıyor).
- Yani \( x = 2 \) bir çözümdür.
- \( x_2 = -1 \) için:
- Tanım kümesi koşulunu sağlıyor mu? \( -1 \ge 0 \) (Hayır, sağlamıyor).
- Dolayısıyla \( x = -1 \) bir çözüm değildir (sahte köktür).
Örnek 4:
Aşağıdaki rasyonel denklemin çözüm kümesini bulunuz.
\[ \frac{3}{x-2} + \frac{1}{x} = \frac{5}{x(x-2)} \]
\[ \frac{3}{x-2} + \frac{1}{x} = \frac{5}{x(x-2)} \]
Çözüm:
💡 Rasyonel denklemleri çözerken, paydaların sıfır olmaması gerektiğine dikkat etmeliyiz. Öncelikle denklemin tanım kümesini belirleyelim.
- Adım 1: Denklemin tanım kümesini belirleyelim.
- Paydalar \( x-2 \) ve \( x \) olduğu için, \( x-2 \neq 0 \) ve \( x \neq 0 \) olmalıdır.
- Yani \( x \neq 2 \) ve \( x \neq 0 \).
- Tanım kümesi: \( \mathbb{R} \setminus \{0, 2\} \).
- Adım 2: Paydaları eşitleyelim. Ortak payda \( x(x-2) \) dir.
- İlk terimi \( x \) ile, ikinci terimi \( x-2 \) ile genişletelim:
\( \frac{3x}{x(x-2)} + \frac{1(x-2)}{x(x-2)} = \frac{5}{x(x-2)} \) - Adım 3: Paydalar eşitlendiği için payları eşitleyelim.
- \( 3x + (x-2) = 5 \)
- \( 3x + x - 2 = 5 \)
- \( 4x - 2 = 5 \)
- Adım 4: Denklemi çözerek \( x \) değerini bulalım.
- \( 4x = 5 + 2 \)
- \( 4x = 7 \)
- \( x = \frac{7}{4} \)
- Adım 5: Bulduğumuz \( x \) değerinin tanım kümesinde olup olmadığını kontrol edelim.
- \( x = \frac{7}{4} \) değeri \( 0 \) veya \( 2 \) değildir. Yani tanım kümesindedir.
Örnek 5:
📚 Bir yazar, yazdığı romanın her gün eşit sayıda sayfasını okuyucularından gelen yorumlara göre düzeltmektedir. Yazarın romanı toplam 300 sayfadır.
Yazar, romanın \( x \) sayfa düzeltmesini tamamladığında, kalan sayfa sayısını gösteren fonksiyon \( K(x) \) olsun.
Aşağıdaki soruları cevaplayınız:
1. Kalan sayfa sayısını \( x \) cinsinden ifade eden doğrusal fonksiyonun denklemini yazınız.
2. Yazar 120 sayfa düzelttiğinde, romanın yüzde kaçı kalmıştır?
Yazar, romanın \( x \) sayfa düzeltmesini tamamladığında, kalan sayfa sayısını gösteren fonksiyon \( K(x) \) olsun.
Aşağıdaki soruları cevaplayınız:
1. Kalan sayfa sayısını \( x \) cinsinden ifade eden doğrusal fonksiyonun denklemini yazınız.
2. Yazar 120 sayfa düzelttiğinde, romanın yüzde kaçı kalmıştır?
Çözüm:
✅ 2. sorunun cevabı: Romanın %60'ı kalmıştır.
- 1. Soru Çözümü: Doğrusal fonksiyonun denklemi
- Adım 1: Fonksiyonun tanımını anlayalım.
- Toplam sayfa sayısı 300'dür.
- Yazar \( x \) sayfa düzelttiğinde, kalan sayfa sayısı \( K(x) \) olacaktır.
- Adım 2: Denklemi oluşturalım.
- Kalan sayfa sayısı, toplam sayfa sayısından düzeltilen sayfa sayısının çıkarılmasıyla bulunur.
- Yani, \( K(x) = 300 - x \).
- Bu, eğimi \( -1 \) ve y-keseni \( 300 \) olan bir doğrusal fonksiyondur.
- 2. Soru Çözümü: Yazar 120 sayfa düzelttiğinde kalan yüzde kaç?
- Adım 1: Kalan sayfa sayısını bulalım.
- \( x = 120 \) için \( K(120) = 300 - 120 = 180 \) sayfa kalmıştır.
- Adım 2: Kalan sayfa sayısının romanın yüzde kaçı olduğunu hesaplayalım.
- \( \frac{\text{Kalan Sayfa Sayısı}}{\text{Toplam Sayfa Sayısı}} \times 100% = \frac{180}{300} \times 100% \)
- \( \frac{180}{300} = \frac{18}{30} = \frac{3}{5} \)
- \( \frac{3}{5} \times 100% = 0.6 \times 100% = 60% \)
✅ 2. sorunun cevabı: Romanın %60'ı kalmıştır.
Örnek 6:
🏡 Bir çiftçi, dikdörtgen şeklindeki tarlasının etrafını toplam 100 metre tel ile çevirmek istiyor. Bu tarlanın alanının en büyük olması için tarlanın kenar uzunlukları ne olmalıdır?
Bu problemi bir karesel fonksiyon yardımıyla çözünüz.
Bu problemi bir karesel fonksiyon yardımıyla çözünüz.
Çözüm:
👉 Bu problem, bir karesel fonksiyonun tepe noktasını (maksimum değerini) bulma problemidir.
- Adım 1: Tarlanın kenar uzunluklarını tanımlayalım.
- Dikdörtgen tarlanın bir kenar uzunluğu \( x \) metre olsun.
- Çevre uzunluğu 100 metre olduğu için, diğer kenar uzunluğu \( \frac{100 - 2x}{2} = 50 - x \) metre olacaktır.
- Kenar uzunlukları pozitif olmalıdır: \( x > 0 \) ve \( 50 - x > 0 \Rightarrow x < 50 \). Yani \( 0 < x < 50 \).
- Adım 2: Tarlanın alanını \( x \) cinsinden ifade eden fonksiyonu yazalım.
- Alan \( A(x) = x \cdot (50 - x) \)
- \( A(x) = 50x - x^2 \)
- Bu ifadeyi standart karesel fonksiyon formunda yazarsak: \( A(x) = -x^2 + 50x \).
- Bu, aşağı doğru açılan bir paraboldür (\( a = -1 < 0 \)), dolayısıyla bir maksimum değeri vardır.
- Adım 3: Karesel fonksiyonun tepe noktasının \( x \) koordinatını (maksimum değeri veren \( x \) değerini) bulalım.
- Bir \( ax^2 + bx + c \) şeklindeki karesel fonksiyonun tepe noktasının \( x \) koordinatı \( r = -\frac{b}{2a} \) formülü ile bulunur.
- Burada \( a = -1 \) ve \( b = 50 \).
- \( r = -\frac{50}{2(-1)} = -\frac{50}{-2} = 25 \)
- Adım 4: Tarlanın kenar uzunluklarını belirleyelim.
- Bir kenar uzunluğu \( x = 25 \) metre olduğunda alan maksimum olur.
- Diğer kenar uzunluğu \( 50 - x = 50 - 25 = 25 \) metre olacaktır.
- Adım 5: Maksimum alanı hesaplayalım (isteğe bağlı).
- \( A(25) = - (25)^2 + 50(25) = -625 + 1250 = 625 \) metrekare.
Örnek 7:
💧 Bir su deposunda başlangıçta 1200 litre su bulunmaktadır. Depo, her saat 50 litre su boşaltan bir muslukla boşaltılmaktadır.
Depodaki su miktarını zamana (saat) bağlı olarak gösteren doğrusal fonksiyonu yazınız ve depoda 300 litre su kaldığında kaç saat geçtiğini bulunuz.
Depodaki su miktarını zamana (saat) bağlı olarak gösteren doğrusal fonksiyonu yazınız ve depoda 300 litre su kaldığında kaç saat geçtiğini bulunuz.
Çözüm:
✅ Depoda 300 litre su kaldığında 18 saat geçmiştir.
- Adım 1: Fonksiyonu tanımlayalım.
- Depodaki su miktarı \( S(t) \) olsun, burada \( t \) geçen zamanı (saat) temsil eder.
- Başlangıçtaki su miktarı 1200 litredir.
- Her saat 50 litre su boşaldığı için, su miktarı zamanla azalacaktır.
- Adım 2: Doğrusal fonksiyon denklemini yazalım.
- Başlangıç miktarı (sabit terim) 1200'dür.
- Azalma hızı (eğim) \( -50 \) dir.
- Dolayısıyla fonksiyon denklemi: \( S(t) = 1200 - 50t \).
- Bu fonksiyonun tanım kümesi \( t \ge 0 \) olmalıdır ve depo tamamen boşalana kadar geçerlidir.
- Adım 3: Depoda 300 litre su kaldığında geçen zamanı bulalım.
- \( S(t) = 300 \) olduğunda \( t \) değerini arıyoruz.
- \( 1200 - 50t = 300 \)
- \( 1200 - 300 = 50t \)
- \( 900 = 50t \)
- \( t = \frac{900}{50} \)
- \( t = 18 \)
✅ Depoda 300 litre su kaldığında 18 saat geçmiştir.
Örnek 8:
🏀 Bir basketbolcu topu yerden yukarıya doğru fırlatıyor. Topun yerden yüksekliği (metre cinsinden) zaman (saniye cinsinden) ile aşağıdaki karesel fonksiyon ile modellenmiştir:
\[ h(t) = -5t^2 + 20t \] Burada \( h(t) \) topun \( t \) saniyedeki yüksekliğini göstermektedir.
Aşağıdaki soruları cevaplayınız:
1. Top en yüksek noktaya kaçıncı saniyede ulaşır?
2. Topun ulaştığı maksimum yükseklik kaç metredir?
\[ h(t) = -5t^2 + 20t \] Burada \( h(t) \) topun \( t \) saniyedeki yüksekliğini göstermektedir.
Aşağıdaki soruları cevaplayınız:
1. Top en yüksek noktaya kaçıncı saniyede ulaşır?
2. Topun ulaştığı maksimum yükseklik kaç metredir?
Çözüm:
📌 Topun hareketi bir parabol çizdiğinden ve \( t^2 \) teriminin katsayısı negatif olduğundan, bu parabolün bir maksimum değeri vardır. Bu maksimum değer, parabolün tepe noktasında bulunur.
✅ 2. Topun ulaştığı maksimum yükseklik 20 metredir.
- Adım 1: Karesel fonksiyonun tepe noktasının \( t \) koordinatını (zamanı) bulalım.
- \( h(t) = -5t^2 + 20t \) fonksiyonu için \( a = -5 \) ve \( b = 20 \) dir.
- Tepe noktasının \( t \) koordinatı \( r = -\frac{b}{2a} \) formülü ile bulunur.
- \( r = -\frac{20}{2(-5)} = -\frac{20}{-10} = 2 \)
- Yani top en yüksek noktaya 2. saniyede ulaşır.
- Adım 2: Topun ulaştığı maksimum yüksekliği bulalım.
- Maksimum yükseklik, \( t = 2 \) saniyede fonksiyonun aldığı değerdir, yani \( h(2) \) dir.
- \( h(2) = -5(2)^2 + 20(2) \)
- \( h(2) = -5(4) + 40 \)
- \( h(2) = -20 + 40 \)
- \( h(2) = 20 \)
- Yani topun ulaştığı maksimum yükseklik 20 metredir.
✅ 2. Topun ulaştığı maksimum yükseklik 20 metredir.
Örnek 9:
Bir işçi bir işi tek başına \( x \) günde, aynı işi başka bir işçi tek başına \( x+3 \) günde bitirebilmektedir.
İkisi birlikte aynı işi 2 günde bitirdiklerine göre, \( x \) kaçtır?
Bu problemi rasyonel denklem kullanarak çözünüz.
İkisi birlikte aynı işi 2 günde bitirdiklerine göre, \( x \) kaçtır?
Bu problemi rasyonel denklem kullanarak çözünüz.
Çözüm:
💡 İş problemlerinde, bir işçinin birim zamanda yaptığı iş miktarını (işin tersini) kullanarak rasyonel denklemler kurarız.
- Adım 1: İşçilerin birim zamanda yaptıkları iş miktarını belirleyelim.
- Birinci işçi, işin tamamını \( x \) günde bitiriyorsa, 1 günde işin \( \frac{1}{x} \) kadarını yapar.
- İkinci işçi, işin tamamını \( x+3 \) günde bitiriyorsa, 1 günde işin \( \frac{1}{x+3} \) kadarını yapar.
- Adım 2: İkisinin birlikte 1 günde yaptığı iş miktarını ve denklemi kuralım.
- İkisi birlikte işi 2 günde bitiriyorsa, 1 günde işin \( \frac{1}{2} \) kadarını yaparlar.
- Denklem: \( \frac{1}{x} + \frac{1}{x+3} = \frac{1}{2} \)
- Adım 3: Denklemin tanım kümesini belirleyelim.
- Paydalar sıfır olamayacağı için \( x \neq 0 \) ve \( x+3 \neq 0 \Rightarrow x \neq -3 \).
- Ayrıca, gün sayısı negatif olamayacağından \( x > 0 \) olmalıdır.
- Adım 4: Paydaları eşitleyelim ve denklemi çözelim. Ortak payda \( 2x(x+3) \) dir.
- \( \frac{2(x+3)}{2x(x+3)} + \frac{2x}{2x(x+3)} = \frac{x(x+3)}{2x(x+3)} \)
- Payları eşitleyelim: \( 2(x+3) + 2x = x(x+3) \)
- \( 2x + 6 + 2x = x^2 + 3x \)
- \( 4x + 6 = x^2 + 3x \)
- Adım 5: Denklemi karesel denklem haline getirip köklerini bulalım.
- \( x^2 + 3x - 4x - 6 = 0 \)
- \( x^2 - x - 6 = 0 \)
- Çarpanlarına ayıralım: \( (x-3)(x+2) = 0 \)
- Kökler: \( x_1 = 3 \) ve \( x_2 = -2 \)
- Adım 6: Bulduğumuz kökleri tanım kümesi ile karşılaştıralım.
- \( x = 3 \) değeri \( x > 0 \) koşulunu sağlar.
- \( x = -2 \) değeri \( x > 0 \) koşulunu sağlamaz, dolayısıyla bir çözüm değildir.
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/10-sinif-matematik-dogrusal-karesel-karekok-ve-rasyonel-referans-fonksiyonlar-ve-bunlardan-turetilen-fonksiyonlarla-ifade-edilebilen-denklem-ve-esitsizlikler-iceren-problemlerin-cozumu/sorular