💡 10. Sınıf Matematik: Doğrusal, karesel, karekök ve rasyonel referans fonksiyonlar ile bu fonksiyonlardan türetilebilen fonksiyonların tersleri Çözümlü Örnekler

• Adım 1: Fonksiyonu \( y = f(x) \) şeklinde yazalım.
  \( y = 2x + 3 \)
• Adım 2: Denklemde \( x \) değişkenini \( y \) cinsinden yalnız bırakalım.
  \( y - 3 = 2x \)
  \( x = \frac{y - 3}{2} \)
• Adım 3: \( x \) ve \( y \) değişkenlerinin yerlerini değiştirelim.
  \( y = \frac{x - 3}{2} \)
• Adım 4: Bulduğumuz \( y \) ifadesi, fonksiyonun tersi olan \( f^{-1}(x) \) fonksiyonunu verir.
  \( f^{-1}(x) = \frac{x - 3}{2} \)

💡 Unutmayın, doğrusal fonksiyonların tersleri de doğrusal fonksiyonlardır.

• Adım 1: Fonksiyonu \( y = f(x) \) şeklinde yazalım.
  \( y = x^2 \)
• Adım 2: Denklemde \( x \) değişkenini \( y \) cinsinden yalnız bırakalım.
  \( x = \pm \sqrt{y} \)
• Adım 3: Tanım kümesi \( [0, \infty) \) olduğundan, \( x \) pozitif olmalıdır. Bu nedenle \( x = \sqrt{y} \) alırız.
• Adım 4: \( x \) ve \( y \) değişkenlerinin yerlerini değiştirelim.
  \( y = \sqrt{x} \)
• Adım 5: Bulduğumuz \( y \) ifadesi, fonksiyonun tersi olan \( f^{-1}(x) \) fonksiyonunu verir.
  \( f^{-1}(x) = \sqrt{x} \)

📌 Eğer tanım kümesi \( (-\infty, 0] \) olsaydı, ters fonksiyon \( f^{-1}(x) = -\sqrt{x} \) olurdu.

• Adım 1: Fonksiyonu \( y = f(x) \) şeklinde yazalım.
  \( y = \sqrt{x} \)
• Adım 2: Denklemde \( x \) değişkenini \( y \) cinsinden yalnız bırakalım. Her iki tarafın karesini alalım.
  \( y^2 = x \)
• Adım 3: \( x \) ve \( y \) değişkenlerinin yerlerini değiştirelim.
  \( y = x^2 \)
• Adım 4: Bulduğumuz \( y \) ifadesi, fonksiyonun tersi olan \( f^{-1}(x) \) fonksiyonunu verir.
  \( f^{-1}(x) = x^2 \)

💡 Karekök fonksiyonunun tersi bir karesel fonksiyondur. Tanım ve görüntü kümelerine dikkat etmek önemlidir.

• Adım 1: Fonksiyonu \( y = f(x) \) şeklinde yazalım.
  \( y = \frac{x+1}{x-2} \)
• Adım 2: Denklemde \( x \) değişkenini \( y \) cinsinden yalnız bırakalım.
  \( y(x-2) = x+1 \)
  \( xy - 2y = x+1 \)
  \( xy - x = 2y + 1 \)
  \( x(y-1) = 2y + 1 \)
  \( x = \frac{2y+1}{y-1} \)
• Adım 3: \( x \) ve \( y \) değişkenlerinin yerlerini değiştirelim.
  \( y = \frac{2x+1}{x-1} \)
• Adım 4: Bulduğumuz \( y \) ifadesi, fonksiyonun tersi olan \( f^{-1}(x) \) fonksiyonunu verir.
  \( f^{-1}(x) = \frac{2x+1}{x-1} \)

✅ Rasyonel fonksiyonların tersleri de genellikle rasyonel fonksiyonlardır.

• Adım 1: \( g(x) \) fonksiyonunu oluşturalım.
  \( g(x) = f(x+2) = 3(x+2) - 5 \)
  \( g(x) = 3x + 6 - 5 \)
  \( g(x) = 3x + 1 \)
• Adım 2: Oluşturduğumuz \( g(x) \) fonksiyonunun tersini bulalım.
  \( y = 3x + 1 \)
  \( y - 1 = 3x \)
  \( x = \frac{y-1}{3} \)
• Adım 3: \( x \) ve \( y \) değişkenlerinin yerlerini değiştirelim.
  \( y = \frac{x-1}{3} \)
• Adım 4: \( g^{-1}(x) \) fonksiyonunu yazalım.
  \( g^{-1}(x) = \frac{x-1}{3} \)

👉 Fonksiyonların bileşkesinin tersini alırken, fonksiyonların sırasının değiştiğini unutmayın: \( (f \circ g)^{-1}(x) = g^{-1}(f^{-1}(x)) \).

• Adım 1: Fonksiyonu \( y = F(C) \) şeklinde yazalım.
  \( y = \frac{9}{5}C + 32 \)
• Adım 2: Denklemde \( C \) değişkenini \( y \) cinsinden yalnız bırakalım.
  \( y - 32 = \frac{9}{5}C \)
  \( C = \frac{5}{9}(y - 32) \)
• Adım 3: \( C \) ve \( y \) değişkenlerinin yerlerini değiştirelim.
  \( y = \frac{5}{9}(x - 32) \)
• Adım 4: Bulduğumuz \( y \) ifadesi, ters fonksiyon olan \( F^{-1}(x) \) fonksiyonunu verir.
  \( F^{-1}(x) = \frac{5}{9}(x - 32) \)

✅ Artık Fahrenheit cinsinden verilen bir sıcaklığı Celsius cinsine \( F^{-1}(x) \) formülü ile kolayca çevirebiliriz.

• Adım 1: Fonksiyonu \( y = f(x) \) şeklinde yazalım.
  \( y = (x-1)^2 \)
• Adım 2: Denklemde \( x \) değişkenini \( y \) cinsinden yalnız bırakalım.
  \( \sqrt{y} = |x-1| \)
• Adım 3: Tanım kümesi \( [1, \infty) \) olduğundan, \( x \ge 1 \) olur. Bu da \( x-1 \ge 0 \) anlamına gelir. Dolayısıyla \( |x-1| = x-1 \) olur.
  \( \sqrt{y} = x-1 \)
  \( x = \sqrt{y} + 1 \)
• Adım 4: \( x \) ve \( y \) değişkenlerinin yerlerini değiştirelim.
  \( y = \sqrt{x} + 1 \)
• Adım 5: Bulduğumuz \( y \) ifadesi, fonksiyonun tersi olan \( f^{-1}(x) \) fonksiyonunu verir.
  \( f^{-1}(x) = \sqrt{x} + 1 \)

💡 Tanım kümesinin doğru seçilmesi, ters fonksiyonun tek ve doğru olmasını sağlar.

• Adım 1: Fonksiyonu \( y = f(x) \) şeklinde yazalım.
  \( y = \frac{2x}{x-1} \)
• Adım 2: Denklemde \( x \) değişkenini \( y \) cinsinden yalnız bırakalım.
  \( y(x-1) = 2x \)
  \( xy - y = 2x \)
  \( xy - 2x = y \)
  \( x(y-2) = y \)
  \( x = \frac{y}{y-2} \)
• Adım 3: \( x \) ve \( y \) değişkenlerinin yerlerini değiştirelim.
  \( y = \frac{x}{x-2} \)
• Adım 4: Bulduğumuz \( y \) ifadesi, fonksiyonun tersi olan \( f^{-1}(x) \) fonksiyonunu verir.
  \( f^{-1}(x) = \frac{x}{x-2} \)
• Adım 5: Orijinal fonksiyon \( f(x) \) için tanım kümesi \( x \neq 1 \) ve görüntü kümesi \( y \neq 2 \) idi.
  Ters fonksiyon \( f^{-1}(x) \) için tanım kümesi, orijinal fonksiyonun görüntü kümesine eşittir: \( x \neq 2 \).
  Ters fonksiyon \( f^{-1}(x) \) için görüntü kümesi, orijinal fonksiyonun tanım kümesine eşittir: \( y \neq 1 \).

👉 Bir fonksiyonun tersinin tanım kümesi, orijinal fonksiyonun görüntü kümesine; tersinin görüntü kümesi ise orijinal fonksiyonun tanım kümesine eşittir.