🎓 10. Sınıf
📚 10. Sınıf Matematik
💡 10. Sınıf Matematik: Doğrusal, Karesel, Karekök Ve Rasyonel Referans Fonksiyonlar İle Bu Fonksiyonlardan Türetilebilen Fonksiyonların Ters Fonksiyonları Çözümlü Örnekler
10. Sınıf Matematik: Doğrusal, Karesel, Karekök Ve Rasyonel Referans Fonksiyonlar İle Bu Fonksiyonlardan Türetilebilen Fonksiyonların Ters Fonksiyonları Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
💡 Bir doğrusal fonksiyon olan \( f(x) = 3x - 5 \) fonksiyonunun ters fonksiyonunu bulunuz.
Çözüm:
Ters fonksiyon bulma adımları şunlardır:
- 1️⃣ Öncelikle \( f(x) \) yerine \( y \) yazılır.
\[ y = 3x - 5 \] - 2️⃣ Daha sonra \( x \) ve \( y \) değişkenlerinin yerleri değiştirilir.
\[ x = 3y - 5 \] - 3️⃣ Elde edilen denklemde \( y \) yalnız bırakılır.
\[ x + 5 = 3y \] \[ y = \frac{x + 5}{3} \] - 4️⃣ Son olarak \( y \) yerine \( f^{-1}(x) \) yazılır.
✅ Cevap: \( f^{-1}(x) = \frac{x + 5}{3} \)
Örnek 2:
📌 Fonksiyonu \( f(x) = \frac{2x + 1}{4} \) olarak tanımlanıyor. Bu fonksiyonun ters fonksiyonu \( f^{-1}(x) \) nedir?
Çözüm:
Ters fonksiyonu bulmak için aşağıdaki adımları takip edelim:
- 1️⃣ \( f(x) \) yerine \( y \) yazalım.
\[ y = \frac{2x + 1}{4} \] - 2️⃣ \( x \) ve \( y \) değişkenlerinin yerlerini değiştirelim.
\[ x = \frac{2y + 1}{4} \] - 3️⃣ Şimdi \( y \) değişkenini yalnız bırakalım. Her iki tarafı 4 ile çarpalım:
\[ 4x = 2y + 1 \]
1'i diğer tarafa atalım:
\[ 4x - 1 = 2y \]
Her iki tarafı 2'ye bölelim:
\[ y = \frac{4x - 1}{2} \] - 4️⃣ Son olarak \( y \) yerine \( f^{-1}(x) \) yazarak ters fonksiyonu ifade edelim.
✅ Cevap: \( f^{-1}(x) = \frac{4x - 1}{2} \)
Örnek 3:
👉 Tanım kümesi \( x \ge 2 \) olmak üzere, karesel fonksiyon \( f(x) = (x - 2)^2 + 3 \) fonksiyonunun ters fonksiyonunu bulunuz.
Çözüm:
Karesel fonksiyonların tersini alırken tanım kümesinin kısıtlı olması gerektiğini unutmayalım.
- 1️⃣ \( f(x) \) yerine \( y \) yazalım.
\[ y = (x - 2)^2 + 3 \] - 2️⃣ \( x \) ve \( y \) değişkenlerinin yerlerini değiştirelim.
\[ x = (y - 2)^2 + 3 \] - 3️⃣ Şimdi \( y \) değişkenini yalnız bırakalım. Önce 3'ü diğer tarafa atalım:
\[ x - 3 = (y - 2)^2 \]
Her iki tarafın karekökünü alalım. Burada tanım kümesi \( x \ge 2 \) verildiği için \( y - 2 \ge 0 \) olacaktır. Bu yüzden pozitif karekökü alırız.
\[ \sqrt{x - 3} = y - 2 \]
2'yi diğer tarafa atalım:
\[ y = \sqrt{x - 3} + 2 \] - 4️⃣ Son olarak \( y \) yerine \( f^{-1}(x) \) yazalım.
Fonksiyonun tanım kümesi \( x \ge 2 \) olduğu için görüntü kümesi (range) \( y \ge 3 \) olur. Bu da ters fonksiyonun tanım kümesi anlamına gelir.
✅ Cevap: \( f^{-1}(x) = \sqrt{x - 3} + 2 \), \( x \ge 3 \) olmak üzere.
Örnek 4:
💡 Tanım kümesi \( x \ge -1 \) olan karekök fonksiyonu \( f(x) = \sqrt{x + 1} \) fonksiyonunun ters fonksiyonu nedir?
Çözüm:
Karekök fonksiyonlarının tersi karesel fonksiyon olur ve ters fonksiyonun tanım kümesi, orijinal fonksiyonun görüntü kümesinden gelir.
- 1️⃣ \( f(x) \) yerine \( y \) yazalım.
\[ y = \sqrt{x + 1} \] - 2️⃣ \( x \) ve \( y \) değişkenlerinin yerlerini değiştirelim.
\[ x = \sqrt{y + 1} \] - 3️⃣ Şimdi \( y \) değişkenini yalnız bırakalım. Her iki tarafın karesini alalım:
\[ x^2 = y + 1 \]
1'i diğer tarafa atalım:
\[ y = x^2 - 1 \] - 4️⃣ Son olarak \( y \) yerine \( f^{-1}(x) \) yazalım.
Orijinal fonksiyonun tanım kümesi \( x \ge -1 \) olduğunda, görüntü kümesi \( y \ge 0 \) olur. Bu durumda ters fonksiyonun tanım kümesi \( x \ge 0 \) olmalıdır.
✅ Cevap: \( f^{-1}(x) = x^2 - 1 \), \( x \ge 0 \) olmak üzere.
Örnek 5:
📌 Bir rasyonel fonksiyon olan \( f(x) = \frac{x - 4}{x + 3} \) fonksiyonunun ters fonksiyonunu bulunuz.
Çözüm:
Rasyonel fonksiyonların tersini bulmak için standart adımları uygulayalım:
- 1️⃣ \( f(x) \) yerine \( y \) yazalım.
\[ y = \frac{x - 4}{x + 3} \] - 2️⃣ \( x \) ve \( y \) değişkenlerinin yerlerini değiştirelim.
\[ x = \frac{y - 4}{y + 3} \] - 3️⃣ Şimdi \( y \) değişkenini yalnız bırakalım. Denklemde içler dışlar çarpımı yapalım:
\[ x(y + 3) = y - 4 \]
Parantezi açalım:
\[ xy + 3x = y - 4 \]
\( y \) içeren terimleri bir tarafa, diğer terimleri karşıya atalım:
\[ xy - y = -4 - 3x \]
\( y \) ortak parantezine alalım:
\[ y(x - 1) = -4 - 3x \]
\( y \) yalnız bırakalım:
\[ y = \frac{-4 - 3x}{x - 1} \]
Veya pay ve paydanın işaretlerini değiştirerek:
\[ y = \frac{3x + 4}{1 - x} \] - 4️⃣ Son olarak \( y \) yerine \( f^{-1}(x) \) yazalım.
✅ Cevap: \( f^{-1}(x) = \frac{3x + 4}{1 - x} \)
Örnek 6:
👉 Fonksiyonu \( f(x) = \frac{3x - 2}{x + 5} \) olarak veriliyor. Buna göre \( f^{-1}(1) \) değerini bulunuz.
Çözüm:
Bu tür sorularda iki farklı yol izlenebilir:
- Yöntem 1: Önce ters fonksiyonu bulup sonra değerini yerine yazmak.
- 1️⃣ \( f(x) \) yerine \( y \) yazıp \( x \) ve \( y \) yerlerini değiştirelim:
\[ y = \frac{3x - 2}{x + 5} \implies x = \frac{3y - 2}{y + 5} \] - 2️⃣ \( y \) yalnız bırakalım:
\[ x(y + 5) = 3y - 2 \] \[ xy + 5x = 3y - 2 \] \[ xy - 3y = -2 - 5x \] \[ y(x - 3) = -2 - 5x \] \[ y = \frac{-2 - 5x}{x - 3} \]
Böylece \( f^{-1}(x) = \frac{-5x - 2}{x - 3} \) bulunur. - 3️⃣ Şimdi \( x \) yerine 1 yazarak \( f^{-1}(1) \) değerini bulalım:
\[ f^{-1}(1) = \frac{-5(1) - 2}{1 - 3} = \frac{-5 - 2}{-2} = \frac{-7}{-2} = \frac{7}{2} \]
- 1️⃣ \( f(x) \) yerine \( y \) yazıp \( x \) ve \( y \) yerlerini değiştirelim:
- Yöntem 2: Ters fonksiyonun tanımını kullanarak.
Ters fonksiyonun tanımına göre, eğer \( f^{-1}(a) = b \) ise \( f(b) = a \) olur.
- 1️⃣ Bizden \( f^{-1}(1) \) isteniyor. Diyelim ki \( f^{-1}(1) = k \) olsun.
- 2️⃣ Bu durumda \( f(k) = 1 \) olmalıdır.
\[ f(k) = \frac{3k - 2}{k + 5} = 1 \] - 3️⃣ Denklemden \( k \) değerini bulalım:
\[ 3k - 2 = 1(k + 5) \] \[ 3k - 2 = k + 5 \] \[ 3k - k = 5 + 2 \] \[ 2k = 7 \] \[ k = \frac{7}{2} \]
Örnek 7:
⚙️ Bir "Sayı Dönüştürücü" makine, kendisine girilen bir sayıyı önce 4 ile çarpıyor, ardından çıkan sonuca 7 ekliyor ve sonucu çıktı olarak veriyor.
Bu makinenin çalışma prensibini bir \( f(x) \) fonksiyonu olarak ifade edelim. Eğer bu makinenin tersini yapacak bir makine tasarlasaydık (yani çıktıdan orijinal sayıyı bulacak makine), bu ters makinenin çalışma prensibini veren \( f^{-1}(x) \) fonksiyonu ne olurdu?
Bu makinenin çalışma prensibini bir \( f(x) \) fonksiyonu olarak ifade edelim. Eğer bu makinenin tersini yapacak bir makine tasarlasaydık (yani çıktıdan orijinal sayıyı bulacak makine), bu ters makinenin çalışma prensibini veren \( f^{-1}(x) \) fonksiyonu ne olurdu?
Çözüm:
Bu problem, günlük hayattaki bir süreci fonksiyon ve ters fonksiyon kavramlarıyla modelleme üzerine kurulmuştur.
- 1️⃣ Önce "Sayı Dönüştürücü" makinenin çalışma prensibini \( f(x) \) olarak ifade edelim:
Bir \( x \) sayısı giriliyor.
👉 Önce 4 ile çarpılıyor: \( 4x \)
👉 Sonuca 7 ekleniyor: \( 4x + 7 \)
O halde, makinenin fonksiyonu: \[ f(x) = 4x + 7 \] - 2️⃣ Şimdi bu fonksiyonun ters fonksiyonunu bulalım. Ters makine, çıktıyı alıp orijinal sayıyı bulduğuna göre, \( f^{-1}(x) \) fonksiyonunu bulmalıyız.
- \( y = 4x + 7 \)
- \( x \) ve \( y \) yerlerini değiştirelim: \( x = 4y + 7 \)
- \( y \) yalnız bırakalım:
\[ x - 7 = 4y \] \[ y = \frac{x - 7}{4} \]
- 3️⃣ Sonuç olarak, ters makinenin çalışma prensibini veren fonksiyon:
✅ Cevap: \( f^{-1}(x) = \frac{x - 7}{4} \)
Bu ters makine, kendisine girilen bir sayıyı önce 7 eksiltir, sonra 4'e böler.
Örnek 8:
💡 Bir \( f \) fonksiyonu için \( f(x) = 5x - 8 \) eşitliği veriliyor. Buna göre, \( f^{-1}(12) \) değeri kaçtır?
Çözüm:
Bu soruyu çözmek için iki yöntem kullanabiliriz:
- Yöntem 1: Ters fonksiyonu bulup yerine yazmak.
- 1️⃣ \( f(x) \) yerine \( y \) yazalım:
\[ y = 5x - 8 \] - 2️⃣ \( x \) ve \( y \) değişkenlerinin yerlerini değiştirelim:
\[ x = 5y - 8 \] - 3️⃣ \( y \) değişkenini yalnız bırakalım:
\[ x + 8 = 5y \] \[ y = \frac{x + 8}{5} \]
Böylece \( f^{-1}(x) = \frac{x + 8}{5} \) bulunur. - 4️⃣ Şimdi \( x \) yerine 12 yazarak \( f^{-1}(12) \) değerini bulalım:
\[ f^{-1}(12) = \frac{12 + 8}{5} = \frac{20}{5} = 4 \]
- 1️⃣ \( f(x) \) yerine \( y \) yazalım:
- Yöntem 2: Ters fonksiyonun tanımını kullanmak.
Ters fonksiyonun temel özelliği şudur: Eğer \( f^{-1}(a) = b \) ise, o zaman \( f(b) = a \) olur.
- 1️⃣ Bizden \( f^{-1}(12) \) değeri isteniyor. Bu değere \( k \) diyelim:
\[ f^{-1}(12) = k \] - 2️⃣ Ters fonksiyon tanımına göre, bu ifade \( f(k) = 12 \) anlamına gelir.
- 3️⃣ Şimdi \( f(x) = 5x - 8 \) fonksiyonunda \( x \) yerine \( k \) yazıp sonucu 12'ye eşitleyelim:
\[ 5k - 8 = 12 \] - 4️⃣ Bu denklemi çözerek \( k \) değerini bulalım:
\[ 5k = 12 + 8 \] \[ 5k = 20 \] \[ k = \frac{20}{5} \] \[ k = 4 \]
- 1️⃣ Bizden \( f^{-1}(12) \) değeri isteniyor. Bu değere \( k \) diyelim:
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/10-sinif-matematik-dogrusal-karesel-karekok-ve-rasyonel-referans-fonksiyonlar-ile-bu-fonksiyonlardan-turetilebilen-fonksiyonlarin-ters-fonksiyonlari/sorular