🎓 10. Sınıf
📚 10. Sınıf Matematik
💡 10. Sınıf Matematik: Doğrusal, Karesel, Karekök ve Rasyonel Fonksiyonların Ters Fonksiyonları Çözümlü Örnekler
10. Sınıf Matematik: Doğrusal, Karesel, Karekök ve Rasyonel Fonksiyonların Ters Fonksiyonları Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
\( f(x) = 2x + 3 \) fonksiyonunun ters fonksiyonunu bulunuz.
Çözüm:
- Adım 1: Fonksiyonu \( y = f(x) \) şeklinde yazalım: \( y = 2x + 3 \).
- Adım 2: \( x \)'i \( y \)'ye göre yalnız bırakalım.
- \( y - 3 = 2x \)
- \( x = \frac{y - 3}{2} \)
- Adım 3: Bulduğumuz \( x \) ifadesi, ters fonksiyonun \( y \) değeridir. \( x \) yerine \( f^{-1}(y) \) yazalım: \( f^{-1}(y) = \frac{y - 3}{2} \).
- Adım 4: Değişkeni \( x \) olarak değiştirelim: \( f^{-1}(x) = \frac{x - 3}{2} \). ✅
Örnek 2:
\( g(x) = x^2 - 1 \) fonksiyonunun ters fonksiyonunu bulunuz. (Sadece pozitif x değerleri için düşününüz.)
Çözüm:
- Adım 1: Fonksiyonu \( y = g(x) \) şeklinde yazalım: \( y = x^2 - 1 \).
- Adım 2: \( x \)'i \( y \)'ye göre yalnız bırakalım.
- \( y + 1 = x^2 \)
- \( x = \sqrt{y + 1} \) (Pozitif değerler için karekök alırız.)
- Adım 3: Bulduğumuz \( x \) ifadesi, ters fonksiyonun \( y \) değeridir. \( x \) yerine \( g^{-1}(y) \) yazalım: \( g^{-1}(y) = \sqrt{y + 1} \).
- Adım 4: Değişkeni \( x \) olarak değiştirelim: \( g^{-1}(x) = \sqrt{x + 1} \). 💡
Örnek 3:
\( h(x) = \sqrt{x - 2} \) fonksiyonunun ters fonksiyonunu bulunuz.
Çözüm:
- Adım 1: Fonksiyonu \( y = h(x) \) şeklinde yazalım: \( y = \sqrt{x - 2} \).
- Adım 2: \( x \)'i \( y \)'ye göre yalnız bırakalım.
- \( y^2 = x - 2 \) (Her iki tarafın karesini alalım.)
- \( x = y^2 + 2 \)
- Adım 3: Bulduğumuz \( x \) ifadesi, ters fonksiyonun \( y \) değeridir. \( x \) yerine \( h^{-1}(y) \) yazalım: \( h^{-1}(y) = y^2 + 2 \).
- Adım 4: Değişkeni \( x \) olarak değiştirelim: \( h^{-1}(x) = x^2 + 2 \). ✅
Örnek 4:
\( k(x) = \frac{1}{x + 1} \) fonksiyonunun ters fonksiyonunu bulunuz.
Çözüm:
- Adım 1: Fonksiyonu \( y = k(x) \) şeklinde yazalım: \( y = \frac{1}{x + 1} \).
- Adım 2: \( x \)'i \( y \)'ye göre yalnız bırakalım.
- \( y(x + 1) = 1 \)
- \( xy + y = 1 \)
- \( xy = 1 - y \)
- \( x = \frac{1 - y}{y} \)
- Adım 3: Bulduğumuz \( x \) ifadesi, ters fonksiyonun \( y \) değeridir. \( x \) yerine \( k^{-1}(y) \) yazalım: \( k^{-1}(y) = \frac{1 - y}{y} \).
- Adım 4: Değişkeni \( x \) olarak değiştirelim: \( k^{-1}(x) = \frac{1 - x}{x} \). 👉
Örnek 5:
\( f(x) = 3x - 5 \) fonksiyonu veriliyor. \( f^{-1}(a) = 4 \) olduğuna göre, \( a \) kaçtır?
Çözüm:
- Adım 1: Ters fonksiyon tanımını kullanalım. \( f^{-1}(a) = 4 \) demek, \( f(4) = a \) demektir. 💡
- Adım 2: \( f(x) = 3x - 5 \) fonksiyonunda \( x \) yerine 4 yazarak \( a \) değerini bulalım.
- \( f(4) = 3(4) - 5 \)
- \( f(4) = 12 - 5 \)
- \( f(4) = 7 \)
- Adım 3: Dolayısıyla, \( a = 7 \) olmalıdır. ✅
Örnek 6:
\( f(x) = x^2 + 2 \) fonksiyonunun ters fonksiyonunu bulunuz. (Sadece \( x \ge 0 \) için düşününüz.)
Çözüm:
- Adım 1: Fonksiyonu \( y = f(x) \) şeklinde yazalım: \( y = x^2 + 2 \).
- Adım 2: \( x \)'i \( y \)'ye göre yalnız bırakalım.
- \( y - 2 = x^2 \)
- \( x = \sqrt{y - 2} \) (Verilen koşul nedeniyle pozitif karekökü alırız.)
- Adım 3: Bulduğumuz \( x \) ifadesi, ters fonksiyonun \( y \) değeridir. \( x \) yerine \( f^{-1}(y) \) yazalım: \( f^{-1}(y) = \sqrt{y - 2} \).
- Adım 4: Değişkeni \( x \) olarak değiştirelim: \( f^{-1}(x) = \sqrt{x - 2} \). 👉
Örnek 7:
Bir mağaza, sattığı bir ürünün maliyetini \( M \) TL ve satış fiyatını \( S \) TL olarak belirlemektedir. Satış fiyatı, maliyetin %20 fazlası ve üzerine 10 TL eklenmesiyle hesaplanmaktadır. Bu ilişkiyi \( S(M) = 1.2M + 10 \) fonksiyonu ile ifade edebiliriz. Bu fonksiyonun ters fonksiyonunu bularak, belirli bir satış fiyatından maliyetin nasıl hesaplanacağını gösteren formülü elde ediniz.
Çözüm:
- Adım 1: Verilen satış fiyatı fonksiyonu \( S = 1.2M + 10 \).
- Adım 2: Burada \( S \) bağımlı değişken, \( M \) ise bağımsız değişkendir. Ters fonksiyonu bulmak için \( M \)'i \( S \)'ye göre yalnız bırakmalıyız.
- \( S - 10 = 1.2M \)
- \( M = \frac{S - 10}{1.2} \)
- Adım 3: Bu ters fonksiyon, maliyetin satış fiyatına bağlı olarak nasıl hesaplanacağını gösterir. \( S \) yerine \( S \) ve \( M \) yerine \( M_{hesap} \) (hesaplanan maliyet) yazarsak: \( M_{hesap}(S) = \frac{S - 10}{1.2} \). 💡
- Adım 4: Örneğin, bir ürün 70 TL'ye satılıyorsa, maliyeti \( M_{hesap}(70) = \frac{70 - 10}{1.2} = \frac{60}{1.2} = 50 \) TL'dir. ✅
Örnek 8:
Bir taksicinin açılış ücreti 5 TL'dir ve kilometre başına 4 TL almaktadır. Gidilen mesafeye göre ödenen ücreti \( Ü(m) = 4m + 5 \) fonksiyonu ile gösterebiliriz. Bu fonksiyonun tersini bularak, ödenen ücretten gidilen mesafenin nasıl bulunacağını gösteren formülü açıklayınız.
Çözüm:
- Adım 1: Ücret fonksiyonumuz \( Ü = 4m + 5 \), burada \( Ü \) ödenen ücret ve \( m \) gidilen mesafedir.
- Adım 2: Ters fonksiyonu bulmak için \( m \)'i \( Ü \)'ye göre yalnız bırakmalıyız.
- \( Ü - 5 = 4m \)
- \( m = \frac{Ü - 5}{4} \)
- Adım 3: Bu ters fonksiyon, ödenen ücretten gidilen mesafeyi hesaplamamızı sağlar. \( Ü \) yerine \( Ücret \) ve \( m \) yerine \( Mesafe \) yazabiliriz: \( Mesafe(Ücret) = \frac{Ücret - 5}{4} \). 📌
- Adım 4: Eğer bir yolcu 25 TL ödediyse, gidilen mesafe \( Mesafe(25) = \frac{25 - 5}{4} = \frac{20}{4} = 5 \) kilometredir. 💡
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/10-sinif-matematik-dogrusal-karesel-karekok-ve-rasyonel-fonksiyonlarin-ters-fonksiyonlari/sorular