🎓 10. Sınıf
📚 10. Sınıf Matematik
💡 10. Sınıf Matematik: Doğrusal, karesel, karekök ve rasyonel fonksiyonlar ile ters fonksiyonları Çözümlü Örnekler
10. Sınıf Matematik: Doğrusal, karesel, karekök ve rasyonel fonksiyonlar ile ters fonksiyonları Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
f(x) = 3x + 2 fonksiyonunun doğrusal olup olmadığını ve doğrusal ise eğimini bulunuz.
Çözüm:
Bu fonksiyonun doğrusal olup olmadığını anlamak için genel doğrusal fonksiyon formuna bakmalıyız: \( f(x) = mx + n \)
- Adım 1: Verilen fonksiyonu inceleyelim: \( f(x) = 3x + 2 \).
- Adım 2: Bu fonksiyon, \( mx + n \) formundadır. Burada \( m = 3 \) ve \( n = 2 \) 'dir.
- Adım 3: Fonksiyonun katsayısı (x'in önündeki sayı) sabit bir değer olduğu için bu fonksiyon doğrusaldır.
- Adım 4: Doğrusal fonksiyonlarda \( m \) değeri eğimi verir. Bu nedenle, eğim 3'tür.
Örnek 2:
g(x) = x^2 - 5 fonksiyonu karesel bir fonksiyon mudur? Karesel ise tepe noktasını belirtiniz.
Çözüm:
Karesel fonksiyonlar genellikle \( f(x) = ax^2 + bx + c \) formundadır.
- Adım 1: Verilen fonksiyon \( g(x) = x^2 - 5 \)'tir.
- Adım 2: Bu fonksiyon \( ax^2 + bx + c \) formundadır. Burada \( a = 1 \), \( b = 0 \) ve \( c = -5 \)'tir.
- Adım 3: Fonksiyonda x'in karesi bulunduğundan, bu fonksiyon karesel bir fonksiyondur.
- Adım 4: Karesel fonksiyonlarda tepe noktası, \( x = -b / (2a) \) formülü ile bulunur. Burada \( b=0 \) olduğu için tepe noktasının x koordinatı 0'dır.
- Adım 5: Tepe noktasının y koordinatını bulmak için x=0 değerini fonksiyonda yerine koyalım: \( g(0) = (0)^2 - 5 = -5 \).
- Adım 6: Dolayısıyla, tepe noktası (0, -5)'tir.
Örnek 3:
\( h(x) = \sqrt{x-4} \) fonksiyonunun en geniş tanım kümesini bulunuz.
Çözüm:
Karekök fonksiyonlarında, kökün içi negatif olamaz.
- Adım 1: Karekök fonksiyonu \( h(x) = \sqrt{x-4} \)'tür.
- Adım 2: Karekökün içindeki ifade, yani \( x-4 \), sıfıra eşit veya sıfırdan büyük olmalıdır. Bu nedenle, \( x-4 \ge 0 \) eşitsizliğini kurarız.
- Adım 3: Eşitsizliği çözeriz: \( x \ge 4 \).
- Adım 4: Bu, x değerlerinin 4'ten başlayıp sonsuza kadar devam ettiği anlamına gelir.
Örnek 4:
\( k(x) = \frac{2x+1}{x-3} \) fonksiyonunun en geniş tanım kümesini bulunuz.
Çözüm:
Rasyonel fonksiyonlarda, paydanın sıfır olmaması gerekir.
- Adım 1: Verilen rasyonel fonksiyon \( k(x) = \frac{2x+1}{x-3} \)'tür.
- Adım 2: Payda \( x-3 \) ifadesi sıfıra eşit olamaz. Bu nedenle, \( x-3 \neq 0 \) olmalıdır.
- Adım 3: Eşitsizliği çözeriz: \( x \neq 3 \).
- Adım 4: Bu, x'in 3 dışındaki tüm reel sayılar olabileceği anlamına gelir.
Örnek 5:
\( f(x) = 2x - 6 \) fonksiyonunun ters fonksiyonunu bulunuz.
Çözüm:
Ters fonksiyon bulmak için adımları takip edelim.
- Adım 1: Fonksiyonu \( y = f(x) \) şeklinde yazalım: \( y = 2x - 6 \).
- Adım 2: x'i y cinsinden yalnız bırakalım. Önce 6'yı karşıya atalım: \( y + 6 = 2x \).
- Adım 3: Sonra her iki tarafı 2'ye bölelim: \( x = \frac{y+6}{2} \).
- Adım 4: Şimdi x ve y'nin yerini değiştirelim. Yeni x, ters fonksiyonun kendisi olacak: \( f^{-1}(x) = \frac{x+6}{2} \).
Örnek 6:
\( f(x) = (x-1)^2 + 3 \) karesel fonksiyonunun tepe noktasını ve grafiğinin kollarının yönünü bulunuz.
Çözüm:
Karesel fonksiyonun genel formu \( f(x) = a(x-h)^2 + k \) şeklindedir, burada \( (h, k) \) tepe noktasıdır.
- Adım 1: Verilen fonksiyon \( f(x) = (x-1)^2 + 3 \)'tür.
- Adım 2: Bu fonksiyonu \( a(x-h)^2 + k \) formu ile karşılaştıralım.
- Adım 3: Burada \( a = 1 \), \( h = 1 \) ve \( k = 3 \)'tür.
- Adım 4: Tepe noktası \( (h, k) \) olduğundan, tepe noktası (1, 3)'tür.
- Adım 5: \( a \) değeri 1 olduğu için (pozitif), grafiğin kolları yukarı doğrudur.
Örnek 7:
Bir taksici, taksimetresini açtıktan sonra kilometre başına 5 TL ve açılış ücreti olarak 10 TL almaktadır. Bu durumu bir fonksiyon ile ifade ediniz ve 7 km yol gidildiğinde ödenecek ücreti hesaplayınız.
Çözüm:
Bu bir doğrusal fonksiyon örneğidir.
- Adım 1: Gidilen mesafeyi \( x \) kilometre olarak alalım.
- Adım 2: Kilometre başına alınan ücret 5 TL olduğundan, kilometre ücreti \( 5x \) olur.
- Adım 3: Açılış ücreti sabit 10 TL'dir.
- Adım 4: Toplam ücreti gösteren fonksiyon \( f(x) = 5x + 10 \) olur.
- Adım 5: 7 km yol gidildiğinde ödenecek ücreti bulmak için \( x=7 \) değerini fonksiyonda yerine koyalım: \( f(7) = 5(7) + 10 \).
- Adım 6: Hesaplamayı yapalım: \( f(7) = 35 + 10 = 45 \).
Örnek 8:
Bir su deposunun başlangıçta 100 litre suyu vardır. Her saat 15 litre su akıtılmaktadır. Depodaki su miktarını zamana bağlı olarak gösteren fonksiyonu ve 4 saat sonra depoda kalan su miktarını bulunuz.
Çözüm:
Bu da bir doğrusal fonksiyon örneğidir.
- Adım 1: Geçen zamanı \( t \) saat olarak alalım.
- Adım 2: Saatte 15 litre su akıtıldığı için, \( t \) saatte \( 15t \) litre su akar.
- Adım 3: Başlangıçta 100 litre su vardı. Depoda kalan su miktarını gösteren fonksiyon \( f(t) = 100 - 15t \) olur.
- Adım 4: 4 saat sonra depoda kalan su miktarını bulmak için \( t=4 \) değerini fonksiyonda yerine koyalım: \( f(4) = 100 - 15(4) \).
- Adım 5: Hesaplamayı yapalım: \( f(4) = 100 - 60 = 40 \).
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/10-sinif-matematik-dogrusal-karesel-karekok-ve-rasyonel-fonksiyonlar-ile-ters-fonksiyonlari/sorular