💡 10. Sınıf Matematik: Doğrusal karesel karekök ve rasyonel fonksiyonlar ile denklem ve eşitsizlik içeren problemler Çözümlü Örnekler

Bu problemi bir denklem kurarak çözebiliriz.

• Sayımız x olsun.
• "Bir sayının 3 katı" ifadesi \( 3x \) olarak yazılır.
• "3 katının 5 fazlası" ifadesi \( 3x + 5 \) olur.
• Bu ifadenin 23'e eşit olduğu söyleniyor: \( 3x + 5 = 23 \)

Şimdi bu denklemi çözelim:

• Her iki taraftan 5 çıkaralım: \( 3x + 5 - 5 = 23 - 5 \)
• Bu da \( 3x = 18 \) sonucunu verir.
• Her iki tarafı 3'e bölelim: \( \frac{3x}{3} = \frac{18}{3} \)
• Sonuç olarak sayımız \( x = 6 \) bulunur. ✅

💡 Denklem kurma becerisi, bu tür problemleri çözmenin anahtarıdır.

Karekök içeren bu denklemi çözmek için her iki tarafın karesini almalıyız.

• Denklemimiz: \( \sqrt{x+1} = 3 \)
• Her iki tarafın karesini alalım: \( (\sqrt{x+1})^2 = 3^2 \)
• Bu işlem sonucunda karekökten kurtuluruz: \( x+1 = 9 \)

Şimdi x'i yalnız bırakalım:

• Her iki taraftan 1 çıkaralım: \( x+1 - 1 = 9 - 1 \)
• Böylece \( x = 8 \) değerini elde ederiz. ✅

📌 Kareköklü denklemlerde, her iki tarafın karesini almak yaygın bir çözüm yöntemidir.

Bu rasyonel denklemi çözmek için öncelikle x'li terimi yalnız bırakmalıyız.

• Denklemimiz: \( \frac{x}{2} + 1 = 5 \)
• Her iki taraftan 1 çıkaralım: \( \frac{x}{2} + 1 - 1 = 5 - 1 \)
• Bu işlem sonucunda \( \frac{x}{2} = 4 \) elde ederiz.

Şimdi x'i bulmak için denklemi düzenleyelim:

• Her iki tarafı 2 ile çarpalım: \( \frac{x}{2} \times 2 = 4 \times 2 \)
• Böylece \( x = 8 \) sonucuna ulaşırız. ✅

💡 Rasyonel denklemlerde paydaları eşitlemek veya çarpma/bölme işlemleriyle terimleri sadeleştirmek önemlidir.

Bu bir ikinci dereceden denklemdir ve çarpanlara ayırma veya karekök alma yöntemiyle çözülebilir.

• Denklemimiz: \( x^2 - 4 = 0 \)
• Bu ifade, iki kare farkı özdeşliğine uyar: \( (x-2)(x+2) = 0 \)

Çarpımın sıfır olması için çarpanlardan en az birinin sıfır olması gerekir:

• Birinci durum: \( x - 2 = 0 \implies x = 2 \)
• İkinci durum: \( x + 2 = 0 \implies x = -2 \)

Dolayısıyla, denklemin çözüm kümesi \( \{ -2, 2 \} \) olur. ✅
Alternatif olarak, karekök alarak da çözebiliriz:

• \( x^2 = 4 \)
• Her iki tarafın karekökünü alırsak: \( \sqrt{x^2} = \sqrt{4} \)
• Bu da \( |x| = 2 \) anlamına gelir, yani \( x = 2 \) veya \( x = -2 \) olur.

📌 İkinci dereceden denklemlerde çözüm kümesini bulmak için farklı yöntemler kullanılabilir.

Bu problemi bir denklem kurarak çözebiliriz.

• Satılan elmaların kilogramını \( x \) ile gösterelim.
• Kilogram fiyatı 5 TL olduğuna göre, elmaların toplam fiyatı \( 5x \) TL olur.
• Manav 10 TL indirim yaparsa, ödenen miktar \( 5x - 10 \) TL olur.
• Bu miktarın 40 TL'ye eşit olduğu verilmiş: \( 5x - 10 = 40 \)

Şimdi denklemi çözelim:

• Her iki tarafa 10 ekleyelim: \( 5x - 10 + 10 = 40 + 10 \)
• Bu da \( 5x = 50 \) sonucunu verir.
• Her iki tarafı 5'e bölelim: \( \frac{5x}{5} = \frac{50}{5} \)
• Manavın sattığı elmaların kilogramı \( x = 10 \) kg bulunur. ✅

💡 Günlük hayattaki problemleri matematiksel modellere dönüştürmek, gerçek dünya sorunlarını çözmemize yardımcı olur.

Karekök içeren bu eşitsizliği çözmek için öncelikle karekökün tanımlı olduğu aralığı ve ardından eşitsizliğin kendisini ele almalıyız.

• Karekökün Tanımlı Olması: Karekök içindeki ifade negatif olamaz.
• \( 2x - 1 \ge 0 \)
• \( 2x \ge 1 \)
• \( x \ge \frac{1}{2} \)

Şimdi eşitsizliğin kendisini çözelim:

• Eşitsizliğimiz: \( \sqrt{2x-1} \ge 3 \)
• Her iki tarafın karesini alalım (eşitsizlik yön değiştirmez çünkü her iki taraf da pozitiftir): \( (\sqrt{2x-1})^2 \ge 3^2 \)
• Bu işlem sonucunda: \( 2x - 1 \ge 9 \)
• Her iki tarafa 1 ekleyelim: \( 2x - 1 + 1 \ge 9 + 1 \)
• \( 2x \ge 10 \)
• Her iki tarafı 2'ye bölelim: \( \frac{2x}{2} \ge \frac{10}{2} \)
• \( x \ge 5 \)

Hem \( x \ge \frac{1}{2} \) hem de \( x \ge 5 \) koşullarını sağlayan değerler \( x \ge 5 \) olur. Eşitsizliği sağlayan en küçük tam sayı değeri 5'tir. ✅

Bu rasyonel denklemi çözmek için içler dışlar çarpımı yapabiliriz. Ancak öncelikle paydaların sıfır olmaması gerektiğini unutmamalıyız: \( x \neq 1 \) ve \( x \neq -1 \).

• Denklemimiz: \( \frac{3}{x-1} = \frac{1}{x+1} \)
• İçler dışlar çarpımı yapalım: \( 3 \times (x+1) = 1 \times (x-1) \)
• Denklemi açalım: \( 3x + 3 = x - 1 \)

Şimdi x'li terimleri bir tarafa, sabit terimleri diğer tarafa toplayalım:

• Her iki taraftan x çıkaralım: \( 3x - x + 3 = x - x - 1 \)
• \( 2x + 3 = -1 \)
• Her iki taraftan 3 çıkaralım: \( 2x + 3 - 3 = -1 - 3 \)
• \( 2x = -4 \)
• Her iki tarafı 2'ye bölelim: \( \frac{2x}{2} = \frac{-4}{2} \)
• Sonuç olarak \( x = -2 \) bulunur. ✅

Bulduğumuz \( x = -2 \) değeri, paydaları sıfır yapmadığı için geçerli bir çözümdür. 📌 Rasyonel denklemlerde çözüm kümesini bulduktan sonra, köklerin denklemin paydalarını sıfır yapıp yapmadığını kontrol etmek önemlidir.

Bu problemde verilen derinlik bilgisiyle bir kareköklü denklem kurarak x değerini bulacağız.

• Kazılması gereken derinlik formülü: \( \sqrt{2x+5} \) metre.
• Bu derinliğin 7 metre olduğu verilmiş.
• Dolayısıyla denklemimiz: \( \sqrt{2x+5} = 7 \)

Şimdi bu denklemi çözelim:

• Her iki tarafın karesini alalım: \( (\sqrt{2x+5})^2 = 7^2 \)
• Bu işlem sonucunda karekökten kurtuluruz: \( 2x+5 = 49 \)
• Her iki taraftan 5 çıkaralım: \( 2x+5 - 5 = 49 - 5 \)
• \( 2x = 44 \)
• Her iki tarafı 2'ye bölelim: \( \frac{2x}{2} = \frac{44}{2} \)
• Sonuç olarak \( x = 22 \) bulunur. ✅

💡 Gerçek hayattaki ölçüm ve hesaplamalarda kareköklü ifadeler ve denklemler sıkça karşımıza çıkabilir.