🎓 10. Sınıf
📚 10. Sınıf Matematik
💡 10. Sınıf Matematik: Doğrusal, karesel, karekök ve rasyonel fonksiyonlar ile bunlardan türetilen denklemlerin ve eşitsizliklerin çözümü Çözümlü Örnekler
10. Sınıf Matematik: Doğrusal, karesel, karekök ve rasyonel fonksiyonlar ile bunlardan türetilen denklemlerin ve eşitsizliklerin çözümü Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Bir f doğrusal fonksiyonu verilsin.
\( f(x) = 3x - 5 \) olduğuna göre,
\( f(2) \) değerini bulunuz.
\( f(x) = 3x - 5 \) olduğuna göre,
\( f(2) \) değerini bulunuz.
Çözüm:
Bu bir doğrusal fonksiyon sorusudur. Fonksiyonun tanımında verilen \( x \) değeri yerine istenen değer yazılarak sonuç bulunur.
- Verilen fonksiyon: \( f(x) = 3x - 5 \)
- Bulmamız gereken: \( f(2) \)
- Fonksiyonda \( x \) yerine 2 yazalım: \( f(2) = 3 \times 2 - 5 \)
- Hesaplayalım: \( f(2) = 6 - 5 \)
- Sonuç: \( f(2) = 1 \)
Örnek 2:
Bir g karesel fonksiyonu verilsin.
\( g(x) = x^2 - 4x + 3 \) olduğuna göre,
\( g(x) = 0 \) denkleminin köklerini bulunuz.
\( g(x) = x^2 - 4x + 3 \) olduğuna göre,
\( g(x) = 0 \) denkleminin köklerini bulunuz.
Çözüm:
Bu, bir karesel denklemin köklerini bulma problemidir. Kökleri bulmak için denklem \( ax^2 + bx + c = 0 \) formatına getirilir ve çarpanlara ayırma veya diskriminant yöntemi kullanılır.
- Verilen denklem: \( x^2 - 4x + 3 = 0 \)
- Bu denklemi çarpanlarına ayıralım. Çarpımları +3, toplamları -4 olan iki sayı -1 ve -3'tür.
- Denklem şu şekilde yazılır: \( (x - 1)(x - 3) = 0 \)
- Bu çarpımın sıfır olması için çarpanlardan en az birinin sıfır olması gerekir.
- 1. Durum: \( x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1 \)
- 2. Durum: \( x - 3 = 0 \Rightarrow x = 3 \)
Örnek 3:
Bir h karekök fonksiyonu verilsin.
\( h(x) = \sqrt{x - 2} \) olduğuna göre,
\( h(x) = 3 \) denklemini sağlayan \( x \) değerini bulunuz.
\( h(x) = \sqrt{x - 2} \) olduğuna göre,
\( h(x) = 3 \) denklemini sağlayan \( x \) değerini bulunuz.
Çözüm:
Karekök içeren bir denklemi çözmek için her iki tarafın karesini alarak karekökten kurtuluruz.
- Verilen denklem: \( \sqrt{x - 2} = 3 \)
- Her iki tarafın karesini alalım: \( (\sqrt{x - 2})^2 = 3^2 \)
- Bu işlem sonucunda: \( x - 2 = 9 \)
- \( x \) değerini bulmak için 2'yi karşıya atalım: \( x = 9 + 2 \)
- Sonuç: \( x = 11 \)
Örnek 4:
Bir k rasyonel fonksiyonu verilsin.
\( k(x) = \frac{x + 1}{x - 3} \) olduğuna göre,
\( k(x) = 2 \) denklemini sağlayan \( x \) değerini bulunuz.
\( k(x) = \frac{x + 1}{x - 3} \) olduğuna göre,
\( k(x) = 2 \) denklemini sağlayan \( x \) değerini bulunuz.
Çözüm:
Rasyonel denklemleri çözerken paydanın sıfır olmamasına dikkat etmeliyiz. Ardından içler dışlar çarpımı yaparak denklemi basitleştiririz.
- Verilen denklem: \( \frac{x + 1}{x - 3} = 2 \)
- Öncelikle payda \( x - 3 \neq 0 \) olmalıdır, yani \( x \neq 3 \).
- Denklemi içler dışlar çarpımı ile çözelim: \( x + 1 = 2 \times (x - 3) \)
- Dağılma özelliğini uygulayalım: \( x + 1 = 2x - 6 \)
- \( x \) terimlerini bir tarafa, sabit terimleri diğer tarafa toplayalım: \( 1 + 6 = 2x - x \)
- Hesaplayalım: \( 7 = x \)
Örnek 5:
Bir bahçıvan, domates yetiştirmek için kare şeklinde bir sera yapacaktır. Seranın alanı \( A(x) = x^2 - 6x + 9 \) metrekare olarak planlanmıştır, burada \( x \) metredir. Bahçıvanın serayı tam olarak kapatabilmesi için kenar uzunluğunun kaç metre olması gerektiğini bulunuz.
Çözüm:
Seranın alanı \( x^2 - 6x + 9 \) metrekare olarak verilmiş ve bu alanın bir karenin alanı olduğu belirtilmiştir. Karenin alanı kenar uzunluğunun karesine eşittir.
- Seranın alanı: \( A(x) = x^2 - 6x + 9 \)
- Bu ifade tam kare bir ifadedir: \( (x - 3)^2 \)
- Karenin alanı \( (\text{kenar})^2 \) olduğundan, kenar uzunluğu \( \sqrt{A(x)} \) olmalıdır.
- Kenar uzunluğu = \( \sqrt{(x - 3)^2} = |x - 3| \)
- Seranın kenar uzunluğunun pozitif olması gerektiğinden, \( x - 3 \) ifadesi pozitif olmalıdır.
- Bu durumda kenar uzunluğu \( x - 3 \) metredir.
Örnek 6:
Bir f doğrusal fonksiyonu için
\( f(x+1) = 2x + 5 \) olduğuna göre,
\( f(x) \) fonksiyonunu bulunuz.
\( f(x+1) = 2x + 5 \) olduğuna göre,
\( f(x) \) fonksiyonunu bulunuz.
Çözüm:
Bu tür sorularda, verilen ifadeyi istenen \( f(x) \) formatına getirmek için bir değişken değişimi yapılır.
- Verilen: \( f(x+1) = 2x + 5 \)
- Amacımız \( f(\text{bir şey}) \) değil, \( f(x) \) bulmak.
- Bunun için \( x+1 \) yerine \( u \) diyelim. O zaman \( x = u - 1 \) olur.
- Bu değerleri fonksiyonda yerine yazalım: \( f(u) = 2(u - 1) + 5 \)
- Denklemi düzenleyelim: \( f(u) = 2u - 2 + 5 \)
- Sonuç: \( f(u) = 2u + 3 \)
- Şimdi \( u \) yerine tekrar \( x \) yazabiliriz: \( f(x) = 2x + 3 \)
Örnek 7:
Aşağıdaki eşitsizliği sağlayan tam sayıların toplamını bulunuz:
\( \frac{x - 2}{x + 1} \le 0 \)
\( \frac{x - 2}{x + 1} \le 0 \)
Çözüm:
Rasyonel eşitsizlikleri çözerken kritik noktaları belirlemek ve işaret tablosu oluşturmak önemlidir.
- Eşitsizlik: \( \frac{x - 2}{x + 1} \le 0 \)
- Kritik noktalar, payı ve paydayı sıfır yapan değerlerdir.
- Pay: \( x - 2 = 0 \Rightarrow x = 2 \)
- Payda: \( x + 1 = 0 \Rightarrow x = -1 \)
- Payda sıfır olamayacağı için \( x \neq -1 \) olmalıdır.
- Şimdi işaret tablosunu oluşturalım:
- \( x < -1 \) için: \( x-2 \) negatif, \( x+1 \) negatif. Oran: Pozitif.
- \( -1 < x < 2 \) için: \( x-2 \) negatif, \( x+1 \) pozitif. Oran: Negatif.
- \( x > 2 \) için: \( x-2 \) pozitif, \( x+1 \) pozitif. Oran: Pozitif.
- Eşitsizliğimiz \( \le 0 \) olduğu için negatif veya sıfır olan aralıkları alırız.
- Bu aralık: \( -1 < x \le 2 \)
- Bu aralıktaki tam sayılar: 0, 1, 2
- Bu tam sayıların toplamı: \( 0 + 1 + 2 = 3 \)
Örnek 8:
Bir araç kiralama şirketi, günlük 150 TL sabit ücret ve kilometre başına 2 TL almaktadır. Bir kişinin aracın toplam maliyetini gösteren fonksiyonu \( M(x) \) olarak tanımlayalım, burada \( x \) katedilen mesafedir (km).
a) Maliyet fonksiyonunu yazınız.
b) Bu kişi 200 km yol giderse toplam maliyet ne kadar olur?
a) Maliyet fonksiyonunu yazınız.
b) Bu kişi 200 km yol giderse toplam maliyet ne kadar olur?
Çözüm:
Bu, günlük hayatta sıkça karşılaşılan doğrusal fonksiyon örneklerinden biridir. Sabit bir ücret ve değişkene bağlı bir ücretin toplamı şeklinde ifade edilir.
- a) Maliyet Fonksiyonunu Yazma:
- Sabit ücret: 150 TL
- Kilometre başına ücret: 2 TL
- Katedilen mesafe: \( x \) km
- Değişken ücrete bağlı kısım: \( 2x \) TL
- Toplam maliyet fonksiyonu \( M(x) \): Sabit ücret + Değişken ücret
- \( M(x) = 150 + 2x \)
- b) 200 km Yol Giderse Toplam Maliyet:
- Bu durumda \( x = 200 \) olmalıdır.
- Fonksiyonda \( x \) yerine 200 yazalım: \( M(200) = 150 + 2 \times 200 \)
- Hesaplayalım: \( M(200) = 150 + 400 \)
- Sonuç: \( M(200) = 550 \) TL
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/10-sinif-matematik-dogrusal-karesel-karekok-ve-rasyonel-fonksiyonlar-ile-bunlardan-turetilen-denklemlerin-ve-esitsizliklerin-cozumu/sorular