💡 10. Sınıf Matematik: Doğrusal, karesel, karekök, rasyonel ve referans fonksiyonlarla ifade edilen denklem ve eşitsizlik problemleri Çözümlü Örnekler

• Maliyet: Manavın bir elma için maliyeti 2 TL'dir.
• Satış Fiyatı: Manavın bir elma için satış fiyatı 3 TL'dir.
• Kar: Her bir elma satışından elde edilen kar, satış fiyatı eksi maliyettir. Kar = 3 TL - 2 TL = 1 TL.
• Hedef Kar: Manavın hedeflediği toplam kar 100 TL'dir.
• Gerekli Satış Sayısı: Toplam karı, bir elmadan elde edilen kara bölerek kaç elma satılması gerektiğini bulabiliriz. Gerekli Satış Sayısı = Hedef Kar / Bir Elmadan Elde Edilen Kar = 100 TL / 1 TL = 100 elma.

Manavın 100 TL kar edebilmesi için 100 elma satması gerekmektedir. ✅

• Alan Formülü: Bir karenin alanı, bir kenarının karesine eşittir. Alan = \( x^2 \).
• Verilen Alan: Bahçenin alanı \( 81 \, m^2 \) olarak verilmiş. Yani, \( x^2 = 81 \).
• Kenar Uzunluğu: Kenar uzunluğunu bulmak için alanın karekökünü alırız. \( x = \sqrt{81} \).
• Karekök Hesaplama: \( x = 9 \) metre. (Uzunluk negatif olamayacağı için pozitif değeri alırız.)
• Çevre Formülü: Bir karenin çevresi, bir kenar uzunluğunun 4 katıdır. Çevre = \( 4x \).
• Çevre Hesaplama: Çevre = \( 4 \times 9 \, m = 36 \) metre.

Bahçenin çevresinin uzunluğu 36 metre'dir. 📏

• Başlangıçtaki Su Miktarı: Depodaki su miktarı \( \sqrt{144} \) litredir.
• Karekök Hesaplama: \( \sqrt{144} = 12 \) litre.
• Günlük Tüketim: Her gün 3 litre su tüketilmektedir.
• Gün Sayısı Hesaplama: Toplam su miktarını günlük tüketim miktarına bölerek kaç gün yeteceğini buluruz. Gün Sayısı = Toplam Su / Günlük Tüketim = 12 litre / 3 litre/gün = 4 gün.

Depodaki su 4 gün sonra tamamen biter. ⏳

• Satılan Miktar: Çiftçi ürünün \( \frac{2}{5} \) 'ini satmıştır.
• Kalan Miktar (Kesir Olarak): Başlangıçtaki ürünün tamamı 1 bütündür. Kalan miktar = \( 1 - \frac{2}{5} = \frac{3}{5} \).
• Kalan Miktar (Kg Olarak): Elinde kalan ürün miktarı 90 kg'dır.
• Başlangıç Miktarını Bulma: Kalan miktar (90 kg), toplam ürünün \( \frac{3}{5} \) 'ine denk gelmektedir. Toplam Ürün \( \times \frac{3}{5} = 90 \) kg.
• Hesaplama: Toplam Ürün = \( 90 \div \frac{3}{5} = 90 \times \frac{5}{3} = 30 \times 5 = 150 \) kg.

Başlangıçta çiftçinin elinde 150 kg ürün vardı. 💯

• Başlangıç Benzin Miktarı: \( x \) litre.
• Tüketim Oranı: Her 100 km için 8 litre.
• Kalan Benzin Miktarı: 40 litre.
• Denklem Kurma: Başlangıçtaki benzin miktarından, tüketilen benzin miktarı çıkarıldığında kalan benzin miktarı elde edilir. Tüketilen benzin miktarı, kat edilen mesafeye bağlıdır. Ancak burada doğrudan kalan miktar verilmiş.
• Doğrusal Denklem: Başlangıçtaki miktar - Tüketilen Miktar = Kalan Miktar. Eğer tüketilen miktar 'T' ise, denklem \( x - T = 40 \) olur. Ancak soruda doğrudan 'x' ile ifade edilen başlangıç miktarı ve kalan miktar verilmiş. Bu durumda, tüketilen miktar \( x - 40 \) litre olur.
• Denklem: \( x - (\text{Tüketilen Miktar}) = 40 \). Soruda tüketilen miktarın ne kadar olduğu belirtilmemiş, sadece bir oran verilmiş. Ancak, eğer soru "depoda 40 litre benzin kaldığında, başlangıçta kaç litre benzin olduğunu gösteren denklem nedir?" şeklinde ise ve tüketilen miktar bilinmiyorsa, denklem doğrudan başlangıç ve kalan miktar arasındaki ilişkiyi kurar. Eğer tüketilen miktar 'T' ise, \( x - T = 40 \) olur. Eğer sorunun amacı tüketilen miktarı bulmaksa, farklı bir yaklaşım gerekir. Burada, başlangıç miktarı \(x\) ve kalan miktar 40 ise, tüketilen miktar \(x-40\) litre olarak ifade edilebilir.
• Referans Fonksiyon İlişkisi: Bu durum, başlangıç miktarı \(f(0)=x\) ve belirli bir kullanım sonrası \(f(t)=40\) şeklinde bir referans fonksiyonu ile de düşünülebilir.
• Basit Denklem: Eğer soruda doğrudan bir denklem isteniyorsa ve tüketilen miktar hakkında ek bilgi yoksa, başlangıç miktarının \(x\) olduğu ve kalan miktarın 40 olduğu bilgisiyle, tüketilen miktarın \(x-40\) olduğu söylenebilir. Eğer bir denklem isteniyorsa ve bu denklemde \(x\) bilinmeyeni varsa, tüketilen miktar bir fonksiyon olarak ifade edilmelidir. Ancak bu haliyle, \(x\)'in kendisi başlangıç miktarını temsil eder ve kalan miktar 40'tır.
• Standart Denklem Formu: Eğer bir işlem sonucu 40 elde ediliyorsa ve başlangıç \(x\) ise, \(x - \text{bir miktar} = 40\) şeklinde bir denklem kurulabilir. Sorunun netliği açısından, tüketilen miktarın bir bilinmeyen veya sabit olmaması durumunda, denklem \(x\)'in kendisi ve kalan miktar arasındaki ilişkiyi gösterir.
• Denklem: \( x - (\text{Tüketilen Miktar}) = 40 \). Eğer tüketilen miktar \( 8 \times \frac{\text{Mesafe}}{100} \) ise, denklem \( x - 8 \times \frac{\text{Mesafe}}{100} = 40 \) olurdu. Ancak sadece başlangıç ve kalan miktar soruluyor. Bu durumda, denklem doğrudan başlangıç miktarını ve kalan miktarını ifade eder.
• En Yalın Denklem: Eğer sorunun amacı, başlangıç miktarı \(x\) ve kalan miktar 40 ise, tüketilen miktarın \(x-40\) olduğunu göstermektir.

Bu durum, başlangıçta \(x\) litre benzin olduğunu ve belirli bir kullanımdan sonra 40 litre kaldığını gösterir. Eğer tüketilen miktar \( T \) ise, denklem \( x - T = 40 \) şeklinde olur. Soruda doğrudan bir denklem isteniyorsa ve tüketilen miktar hakkında ek bilgi verilmemişse, başlangıç miktarının \(x\) olduğu ve kalan miktarın 40 olduğu bilgisini içeren bir denklem kurulur. Örneğin, eğer tüketilen miktar \( y \) ise, denklem \( x - y = 40 \) olacaktır.

• İş Miktarı: Binanın tamamlanması gereken iş miktarı sabittir.
• Planlanan Durum: Planlanan sürede \( x \) gün ve günlük hız \( \frac{1}{x} \) ise, toplam iş miktarı \( x \times \frac{1}{x} = 1 \) birimdir.
• Yeni Durum: Günlük hız \( \frac{1}{x} + \frac{1}{x} = \frac{2}{x} \) (Soruda "hızı \( \frac{1}{x} \) oranında artarsa" ifadesi, hızın \( \frac{1}{x} \) kadar arttığı anlamına gelir. Yani yeni hız \( \frac{1}{x} + \frac{1}{x} = \frac{2}{x} \) olur. Eğer hız \( \frac{1}{x} \) katına çıkarsa, yeni hız \( \frac{1}{x} \times \frac{1}{x} = \frac{1}{x^2} \) olurdu. Sorunun ifadesine göre, hızın \( \frac{1}{x} \) kadar arttığı varsayılacaktır.)
• Yeni Tamamlanma Süresi: Yeni hızla bina \( x-10 \) günde tamamlanıyor.
• Denklem Kurma: Toplam iş miktarı = Yeni Hız \( \times \) Yeni Süre.
• Denklem: \( 1 = \frac{2}{x} \times (x-10) \).
• Denklemi Çözme:
• \( 1 = \frac{2(x-10)}{x} \)
• \( x = 2(x-10) \)
• \( x = 2x - 20 \)
• \( 20 = 2x - x \)
• \( x = 20 \)
• Planlanan Süre: Planlanan süre \( x \) gündü.

Binanın planlanan tamamlanma süresi 20 gün'dür. 📅

• Etiket Fiyatı: Gömleğin etiket fiyatı 250 TL'dir.
• İndirim Oranı: İndirim oranı %20'dir.
• İndirim Miktarını Hesaplama: İndirim miktarı, etiket fiyatının %20'sidir. İndirim Miktarı = \( 250 \times \frac{20}{100} \).
• Hesaplama: İndirim Miktarı = \( 250 \times 0.20 = 50 \) TL.
• İndirimli Fiyatı Hesaplama: İndirimli fiyat, etiket fiyatından indirim miktarının çıkarılmasıyla bulunur. İndirimli Fiyat = Etiket Fiyatı - İndirim Miktarı.
• Hesaplama: İndirimli Fiyat = 250 TL - 50 TL = 200 TL.

Gömleğin indirimli fiyatı 200 TL'dir. 💸

• Toplam Yol: \( x \) km.
• Yolun Bölümleri:
• 1. Bölüm: Yol = \( \frac{x}{3} \) km, Hız = \( v \).
• 2. Bölüm: Kalan yol = \( x - \frac{x}{3} = \frac{2x}{3} \) km. Bu yolun yarısı = \( \frac{1}{2} \times \frac{2x}{3} = \frac{x}{3} \) km. Hız = \( 2v \).
• 3. Bölüm: Son kalan yol = Toplam Yol - (1. Bölüm Yolu + 2. Bölüm Yolu) = \( x - (\frac{x}{3} + \frac{x}{3}) = x - \frac{2x}{3} = \frac{x}{3} \) km. Hız = \( 3v \).
• Zaman Hesaplamaları: Zaman = Yol / Hız
• 1. Bölüm Süresi: \( t_1 = \frac{x/3}{v} = \frac{x}{3v} \).
• 2. Bölüm Süresi: \( t_2 = \frac{x/3}{2v} = \frac{x}{6v} \).
• 3. Bölüm Süresi: \( t_3 = \frac{x/3}{3v} = \frac{x}{9v} \).
• Toplam Süre: \( T = t_1 + t_2 + t_3 \).
• Denklem Kurma:
• \( T = \frac{x}{3v} + \frac{x}{6v} + \frac{x}{9v} \)
• Paydaları eşitlemek için en küçük ortak katı (18v) bulalım.
• \( T = \frac{6x}{18v} + \frac{3x}{18v} + \frac{2x}{18v} \)
• \( T = \frac{6x + 3x + 2x}{18v} \)
• \( T = \frac{11x}{18v} \)

Toplam yolculuk süresi \( T \) ile toplam yol \( x \) arasındaki ilişkiyi gösteren denklem \( T = \frac{11x}{18v} \) 'dir. Bu denklem, \( v \) hızının sabit olduğu varsayımıyla kurulmuştur. Eğer \( v \) de bir değişken olsaydı, ilişki daha karmaşık olurdu. 📈

• Başlangıç Su Miktarı: \( f(0) = 100 \) litre.
• Azalma Oranı: Her saat \( \sqrt{t} \) litre azalmaktadır. Bu, azalmanın hızının zamana bağlı olarak değiştiği anlamına gelir.
• Toplam Azalma Miktarı: \( t \) saat boyunca toplam azalan su miktarını bulmak için, azalma oranının integralini almamız gerekir. İntegral, sürekli bir değişimin toplam etkisini verir.
• İntegral Hesaplama: Toplam Azalma = \( \int_{0}^{t} \sqrt{u} \, du \) (Burada \( u \) integral değişkenidir.)
• Karekök İntegrali: \( \sqrt{u} = u^{1/2} \). İntegrali \( \frac{u^{1/2 + 1}}{1/2 + 1} = \frac{u^{3/2}}{3/2} = \frac{2}{3} u^{3/2} \).
• Belirli İntegral: \( \left[ \frac{2}{3} u^{3/2} \right]_{0}^{t} = \frac{2}{3} t^{3/2} - \frac{2}{3} (0)^{3/2} = \frac{2}{3} t^{3/2} \).
• Kalan Su Miktarı Fonksiyonu: Kalan Su Miktarı = Başlangıç Miktarı - Toplam Azalma Miktarı.
• Fonksiyon: \( f(t) = 100 - \frac{2}{3} t^{3/2} \).

\( t \) saat sonra depoda kalan su miktarını veren fonksiyon \( f(t) = 100 - \frac{2}{3} t^{3/2} \) 'dir. Bu fonksiyon, su miktarının zamanla nasıl azaldığını gösterir. 📉