💡 10. Sınıf Matematik: Doğrusal, Karekök ve Karesel Fonksiyonları İfade Eden Denklem ve Eşitsizlikler Çözümlü Örnekler

Fonksiyonun tanımını hatırlayalım: Bir \( f(x) \) fonksiyonu, \( x \) değişkenine bağlı bir kuraldır. Verilen fonksiyonumuz \( f(x) = 2x + 3 \). Bizden istenen \( f(4) \) değeridir. Bu, fonksiyonda \( x \) yerine 4 yazmamız gerektiği anlamına gelir. 1. Fonksiyonda \( x \) gördüğümüz her yere 4 yazalım: \( f(4) = 2 \cdot 4 + 3 \) 2. Çarpma işlemini yapalım: \( 2 \cdot 4 = 8 \) 3. Toplama işlemini yapalım: \( f(4) = 8 + 3 \) 4. Sonucu bulalım: \( f(4) = 11 \) ✅ Sonuç olarak, \( f(4) = 11 \) olarak bulunur.

Bu bir kareköklü ifade içeren denklemdir. Amacımız \( x \) değerini yalnız bırakmaktır. Verilen denklem: \( \sqrt{x-2} = 3 \) 1. Denklemin her iki tarafının karesini alarak karekökten kurtulalım: \( (\sqrt{x-2})^2 = 3^2 \) 2. Kare alma işlemini uygulayalım: \( x-2 = 9 \) 3. \( x \) değerini yalnız bırakmak için her iki tarafa 2 ekleyelim: \( x - 2 + 2 = 9 + 2 \) 4. Sonucu bulalım: \( x = 11 \) 5. Bulduğumuz \( x \) değerini orijinal denklemde yerine koyarak kontrol edelim: \( \sqrt{11-2} = \sqrt{9} = 3 \). Denklem sağlanıyor. ✅ Bu nedenle, denklemin çözüm kümesi \( \{11\} \) dir.

Bu, çarpanlara ayırma yöntemiyle çözülebilecek bir karesel denklemdir. Verilen denklem: \( x^2 - 5x + 6 = 0 \) 1. Çarpımları +6 ve toplamları -5 olan iki sayı bulmalıyız. Bu sayılar -2 ve -3'tür. 2. Denklemi çarpanlarına ayırarak yazalım: \( (x - 2)(x - 3) = 0 \) 3. Bir çarpımın sonucunun sıfır olması için çarpanlardan en az birinin sıfır olması gerekir. Bu nedenle iki olası durum vardır: * Durum 1: \( x - 2 = 0 \) ise, \( x = 2 \) olur. * Durum 2: \( x - 3 = 0 \) ise, \( x = 3 \) olur. ✅ Bu karesel denklemin kökleri \( x_1 = 2 \) ve \( x_2 = 3 \) olarak bulunur.

Bu bir doğrusal fonksiyon örneğidir çünkü değişim oranı sabittir (her saat 5 litre azalma). 1. Başlangıç değeri: Depoda başlangıçta 50 litre benzin var. Bu, \( t=0 \) anındaki değerdir ve fonksiyonun sabit terimini oluşturur. 2. Değişim oranı: Her saat 5 litre benzin tükeniyor. Bu, \( t \) değişkeninin katsayısıdır ve azaldığı için negatif işaretlidir. Yani, -5'tir. 3. Fonksiyonun Kurulumu: Doğrusal bir fonksiyonun genel formu \( f(x) = mx + c \) şeklindedir. Burada \( m \) eğim (değişim oranı) ve \( c \) y-keseni (başlangıç değeri)dir. 4. Bizim durumumuzda: \( B(t) = -5t + 50 \) ✅ Depodaki benzin miktarını gösteren fonksiyon \( B(t) = -5t + 50 \) olur.

1. Alan Fonksiyonu: Bir karenin alanı, kenar uzunluğunun karesine eşittir. Tarlanın kenar uzunluğu \( x \) metre ise, alanı \( A(x) = x^2 \) şeklinde ifade edilir. Bu bir karesel fonksiyondur. 2. Alan Eşitsizliği: Çiftçi tarlasının alanının en az 100 metrekare olmasını istiyor. "En az" ifadesi, değerin 100'e eşit veya 100'den büyük olmasını ifade eder. 3. Bu durumu matematiksel olarak ifade edersek: \( A(x) \ge 100 \) 4. Alan fonksiyonunu yerine koyalım: \( x^2 \ge 100 \) 5. Bu eşitsizliği sağlayan \( x \) değerlerini bulalım. Kenar uzunluğu negatif olamayacağı için sadece pozitif değerleri dikkate alırız. * \( x^2 = 100 \) denkleminin pozitif kökü \( x = 10 \) dur. * \( x^2 > 100 \) eşitsizliğini sağlayan pozitif \( x \) değerleri \( x > 10 \) dur. 6. Her iki durumu birleştirdiğimizde, \( x \ge 10 \) olmalıdır. ✅ Tarlanın alanını ifade eden karesel fonksiyon \( A(x) = x^2 \) dir. Tarlanın alanının en az 100 metrekare olması için kenar uzunluğu \( x \) için \( x \ge 10 \) eşitsizliği sağlanmalıdır.

Bu problemde, kullanılan veri miktarı ile zaman arasında doğrusal bir ilişki vardır. 1. Veri Noktaları: Bize verilen iki nokta var: (10 dakika, 20 MB) ve (0 dakika, 0 MB) çünkü başlangıçta veri kullanılmamıştır. 2. Eğimi Bulma: Doğrusal ilişkinin eğimi, veri kullanım hızını gösterir. Eğim \( m = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \) formülüyle bulunur. * \( m = \frac{20 \text{ MB} - 0 \text{ MB}}{10 \text{ dakika} - 0 \text{ dakika}} = \frac{20}{10} = 2 \) MB/dakika. Yani, her dakika 2 MB veri kullanılıyor. 3. Doğrusal Fonksiyon: Fonksiyonumuz \( V(t) = mt + c \) şeklinde olacaktır. Başlangıçta veri kullanılmadığı için \( c=0 \)'dır. * \( V(t) = 2t \) 4. 30 Dakika Sonundaki Veri Miktarı: \( t = 30 \) dakika için \( V(30) \) değerini hesaplayalım. * \( V(30) = 2 \cdot 30 = 60 \) MB. ✅ 30 dakika sonunda toplam 60 MB veri kullanılmış olur.

Bu denklemi çözmek için karekökü yalnız bırakıp karesini almamız gerekecek. Verilen denklem: \( \sqrt{2x+1} - 1 = x \) 1. Karekökü yalnız bırakalım: \( \sqrt{2x+1} = x + 1 \) 2. Denklemin her iki tarafının karesini alalım: \( (\sqrt{2x+1})^2 = (x+1)^2 \) 3. Kare alma işlemlerini uygulayalım: \( 2x+1 = x^2 + 2x + 1 \) 4. Tüm terimleri bir tarafa toplayarak karesel bir denklem elde edelim: \( 0 = x^2 + 2x + 1 - 2x - 1 \) \( 0 = x^2 \) 5. Bu karesel denklemin çözümü \( x=0 \) dır. 6. Kontrol Adımı (Çok Önemli!): Kare alma işlemi bazen denkleme yabancı kökler ekleyebilir. Bu yüzden bulduğumuz kökü orijinal denklemde yerine koyarak kontrol etmeliyiz. * \( x=0 \) için: \( \sqrt{2(0)+1} - 1 = 0 \) * \( \sqrt{1} - 1 = 0 \) * \( 1 - 1 = 0 \) * \( 0 = 0 \) ✅ Denklem sağlanıyor. Bu nedenle, denklemin tek çözümü \( x = 0 \) dır.

Bu bir karesel eşitsizliktir. Öncelikle eşitsizliği bir karesel denklem gibi ele alıp köklerini bulmalıyız. Verilen eşitsizlik: \( x^2 - 4x + 4 \le 0 \) 1. Karesel Denklemi Çözme: \( x^2 - 4x + 4 = 0 \) denklemini çözelim. Bu ifade tam kare bir ifadedir: \( (x-2)^2 \). * \( (x-2)^2 = 0 \) * Bu denklemin tek kökü \( x = 2 \) dir. 2. Eşitsizliği Analiz Etme: Eşitsizliğimiz \( (x-2)^2 \le 0 \) şeklindedir. * Bir sayının karesi her zaman 0'dan büyük veya eşittir (yani \( (x-2)^2 \ge 0 \) her zaman doğrudur). * Bizim eşitsizliğimiz ise karesel ifadenin 0'dan küçük veya eşit olmasını istiyor. * Bir sayının karesi asla negatif olamaz. * Bu durumda, \( (x-2)^2 \) ifadesinin 0'dan küçük olma ihtimali yoktur. * Tek olası durum, \( (x-2)^2 \) ifadesinin 0'a eşit olmasıdır. 3. Çözüm Kümesi: \( (x-2)^2 = 0 \) denklemini sağlayan tek değer \( x=2 \) dir. ✅ Bu nedenle, \( x^2 - 4x + 4 \le 0 \) eşitsizliğini sağlayan tek \( x \) değeri \( x = 2 \) dir. Çözüm kümesi \( \{2\} \) dir.