💡 10. Sınıf Matematik: Doğrusal, karekök ve karesel fonksiyonlar Çözümlü Örnekler

Doğrusal fonksiyonlar genel olarak \( f(x) = ax + b \) formundadır. Adım adım çözüme gidelim:

• 1. Adım: Verilen değerleri yerine yazarak bir denklem sistemi kuralım.
• \( f(1) = a \cdot 1 + b = 7 \Rightarrow a + b = 7 \)
• \( f(2) = a \cdot 2 + b = 10 \Rightarrow 2a + b = 10 \)
• 2. Adım: Bu iki denklemi birbirinden çıkararak \( a \) değerini bulalım.
• \( (2a + b) - (a + b) = 10 - 7 \)
• \( a = 3 \)
• 3. Adım: \( a \) değerini ilk denklemde yerine koyarak \( b \) değerini bulalım.
• \( 3 + b = 7 \Rightarrow b = 4 \)
• 4. Adım: Fonksiyonumuzu yazalım: \( f(x) = 3x + 4 \)
• 5. Adım: Bizden istenen \( f(5) \) değerini hesaplayalım.
• \( f(5) = 3 \cdot 5 + 4 = 15 + 4 = 19 \)

✅ Sonuç: \( f(5) = 19 \) olarak bulunur.

Bu problem bir doğrusal fonksiyon örneğidir. Değişim oranı sabit olduğu için doğrusal modelleme kullanırız.

• 1. Adım: Fonksiyonu kuralım. Sabit ücret (başlangıç değeri) \( b = 25 \), kilometre başına artış (eğim) \( a = 15 \)'tir.
• Fonksiyon: \( f(x) = 15x + 25 \)
• 2. Adım: 10 km yol giden birinin ödeyeceği tutarı bulmak için \( x = 10 \) yazalım.
• \( f(10) = 15 \cdot 10 + 25 \)
• \( f(10) = 150 + 25 = 175 \)

👉 Yolcu toplamda 175 TL ödeme yapacaktır.

Karesel bir fonksiyon olan \( f(x) = ax^2 + bx + c \) biçimindeki ifadelerde tepe noktası \( T(r, k) \) olarak adlandırılır.

• 1. Adım: \( r \) değerini (apsis) bulmak için \( r = -b / (2a) \) formülünü kullanalım.
• Burada \( a = 1 \) ve \( b = -6 \)'dır.
• \( r = -(-6) / (2 \cdot 1) = 6 / 2 = 3 \)
• 2. Adım: \( k \) değerini (ordinat) bulmak için bulduğumuz \( r \) değerini fonksiyonda yerine yazalım.
• \( k = f(3) = 3^2 - 6 \cdot 3 + 10 \)
• \( k = 9 - 18 + 10 = 1 \)
• 3. Adım: Tepe noktasını yazalım.
• \( T(3, 1) \)

✅ Tepe noktası koordinatları \( (3, 1) \) noktasıdır.

Karekök fonksiyonlarının tanımlı olabilmesi için kök içerisindeki ifadenin negatif olmaması gerekir.

• 1. Adım: Karekökün derecesi çift (2) olduğu için içerideki ifadeyi sıfıra eşit veya büyük yapmalıyız.
• \( x - 5 \geq 0 \)
• 2. Adım: Eşitsizliği çözelim.
• \( x \geq 5 \)
• 3. Adım: Tanım kümesini aralık olarak ifade edelim.
• \( [5, \infty) \)

👉 Bu fonksiyon \( x \) değerinin 5'ten küçük olduğu durumlarda reel sayılarda tanımlı değildir.

Bir fonksiyonun doğrusal olması için \( x^2 \) teriminin katsayısının sıfır olması gerekir. Ayrıca orijinden geçmesi, sabit terimin de sıfır olması demektir.

• 1. Adım: Fonksiyonun doğrusal olması için \( x^2 \)'li terimi yok edelim.
• \( m - 3 = 0 \Rightarrow m = 3 \)
• 2. Adım: Fonksiyonun orijinden geçmesi için \( f(0) = 0 \) olmalıdır. Bu da sabit terimin sıfır olması demektir.
• \( n + 2 = 0 \Rightarrow n = -2 \)
• 3. Adım: İstenen çarpımı hesaplayalım.
• \( m \cdot n = 3 \cdot (-2) = -6 \)

✅ Sonuç: \( -6 \)

Bahçenin kenarlarını ve alanını \( x \) değişkenine bağlı olarak ifade edelim.

• 1. Adım: Duvarın karşısındaki kenar \( x \) olsun. Diğer iki yan kenar birbirine eşittir ve bunlara \( y \) diyelim.
• 2. Adım: Toplam tel uzunluğu denklemini kuralım.
• \( x + 2y = 40 \)
• 3. Adım: \( y \) kenarını \( x \) cinsinden yalnız bırakalım.
• \( 2y = 40 - x \)
• \( y = 20 - x / 2 \)
• 4. Adım: Alan fonksiyonunu \( A(x) \) oluşturalım (Alan = kısa kenar \( \cdot \) uzun kenar).
• \( A(x) = x \cdot y \)
• \( A(x) = x \cdot (20 - x / 2) \)
• \( A(x) = 20x - x^2 / 2 \)

👉 Bahçenin alanını veren karesel fonksiyon: \( A(x) = -0.5x^2 + 20x \) olarak bulunur.

Fonksiyonun sonucunu 9'a eşitleyerek bilinmeyeni bulalım.

• 1. Adım: Denklemi kuralım.
• \( \sqrt{3a + 1} + 4 = 9 \)
• 2. Adım: Sabit sayıyı karşıya atalım.
• \( \sqrt{3a + 1} = 9 - 4 \)
• \( \sqrt{3a + 1} = 5 \)
• 3. Adım: Her iki tarafın karesini alarak kökten kurtulalım.
• \( (\sqrt{3a + 1})^2 = 5^2 \)
• \( 3a + 1 = 25 \)
• 4. Adım: \( a \) değerini yalnız bırakalım.
• \( 3a = 24 \)
• \( a = 8 \)

✅ Sonuç: \( a = 8 \) bulunur.

İki fonksiyonun kesiştiği noktaları bulmak için bu fonksiyonları birbirine eşitlememiz gerekir.

• 1. Adım: Denklemleri eşitleyelim.
• \( x^2 - 4x + 1 = 2x - 4 \)
• 2. Adım: Tüm terimleri bir tarafa toplayarak ikinci dereceden bir denklem elde edelim.
• \( x^2 - 4x - 2x + 1 + 4 = 0 \)
• \( x^2 - 6x + 5 = 0 \)
• 3. Adım: Elde edilen denklemi çarpanlarına ayıralım.
• \( (x - 5) \cdot (x - 1) = 0 \)
• 4. Adım: Kökleri bulalım.
• \( x - 5 = 0 \Rightarrow x = 5 \)
• \( x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1 \)

👉 Fonksiyonların kesişim noktalarının apsisleri 1 ve 5 değerleridir.