💡 10. Sınıf Matematik: Doğrusal Fonksiyonların Nitel Özellikleri Çözümlü Örnekler

👉 Bir fonksiyonun doğrusal olabilmesi için \(f(x) = ax + b\) şeklinde olması gerekir. Burada \(a\) ve \(b\) birer reel sayı olmalı ve \(x\)'in kuvveti 1 olmalıdır. Ayrıca \(x\) paydada veya kök içinde bulunmamalıdır.

• a) \(f(x) = x^2 + 3\): Bu fonksiyonda \(x^2\) terimi olduğu için doğrusal değildir. ❌
• b) \(g(x) = 5x - 2\): Bu fonksiyon \(ax + b\) formatındadır (burada \(a=5\) ve \(b=-2\)). Dolayısıyla doğrusal bir fonksiyondur. ✅
• c) \(h(x) = \frac{1}{x}\): Bu fonksiyonda \(x\) paydada olduğu için doğrusal değildir. ❌
• d) \(k(x) = \sqrt{x} + 1\): Bu fonksiyonda \(x\) kök içinde olduğu için doğrusal değildir. ❌

Bu nedenle, doğru cevap b seçeneğidir. 💡

📌 Doğrusal bir fonksiyonun genel gösterimi \(f(x) = ax + b\) şeklindedir.

• Bu denklemde \(a\), fonksiyonun eğimini temsil eder.
• \(b\) ise, fonksiyonun y-eksenini kestiği noktanın y koordinatını verir. Yani, \(x=0\) için \(f(0) = b\) noktasıdır.

Verilen fonksiyon \(f(x) = -3x + 7\) ile genel gösterimi karşılaştıralım:

• Burada \(a = -3\)'tür. Demek ki fonksiyonun eğimi \(-3\)'tür.
• Burada \(b = 7\)'dir. Demek ki fonksiyon y-eksenini \((0, 7)\) noktasında keser.

Cevap: Eğim \( = -3 \) ve y-eksenini kestiği nokta \((0, 7)\) dir. ✅

💡 Bir doğrunun denklemi genel olarak \(y = ax + b\) şeklinde yazılabilir. Burada \(a\) eğimi temsil eder.

• Bize eğim \(a = 2\) olarak verilmiştir. O halde fonksiyonun denklemi \(y = 2x + b\) şeklindedir.
• Doğru, \((1, 5)\) noktasından geçtiği için, bu noktanın koordinatları denklemi sağlamalıdır. Yani \(x=1\) iken \(y=5\) olmalıdır.
• Denklemde \(x\) yerine 1, \(y\) yerine 5 yazalım:
• \(5 = 2(1) + b\)
• \(5 = 2 + b\)
• \(b = 5 - 2\)
• \(b = 3\)

Bulduğumuz \(b\) değerini \(y = 2x + b\) denkleminde yerine yazarsak, doğrusal fonksiyonun denklemi \(y = 2x + 3\) olur. ✅

📌 İki noktası verilen doğrunun denklemini bulmak için öncelikle eğimi hesaplamamız gerekir.

Eğim formülü: \(a = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}\)

• Verilen noktalar \((x_1, y_1) = (2, 3)\) ve \((x_2, y_2) = (4, 7)\) olsun.
• Eğimi hesaplayalım: \(a = \frac{7 - 3}{4 - 2} = \frac{4}{2} = 2\)

Şimdi eğim \(a = 2\) ve noktalardan herhangi birini (örneğin \((2, 3)\)) kullanarak denklemi bulalım. (Örnek 3'teki yöntemin aynısı)

• Doğru denklemi \(y = ax + b\) şeklindedir. Eğim \(a=2\) olduğu için \(y = 2x + b\) olur.
• Nokta \((2, 3)\) olduğu için \(x=2\) ve \(y=3\) değerlerini yerine koyalım:
• \(3 = 2(2) + b\)
• \(3 = 4 + b\)
• \(b = 3 - 4\)
• \(b = -1\)

Böylece doğrusal fonksiyonun denklemi \(y = 2x - 1\) olarak bulunur. ✅

📌 Fonksiyonumuz \(Y(t) = -5t + 60\) şeklindedir. Bu bir doğrusal fonksiyondur ve genel formu \(ax + b\) (burada \(at + b\)) ile aynıdır.

• Bu fonksiyonda eğim \(a = -5\)'tir.
• Eğimin negatif olması, fonksiyonun azalan bir fonksiyon olduğunu gösterir. Yani zaman geçtikçe depodaki yakıt miktarı azalmaktadır.
• Eğimin değeri olan \(-5\), her bir birim zaman (yani her 1 saat) için yakıt miktarının 5 litre azaldığını ifade eder.

Yorum: Aracın yakıt tüketimi sabittir ve saatte 5 litre yakıt harcamaktadır. Eksi işareti, yakıtın azaldığını gösterir. ⛽️

💡 Doğrusal fonksiyonun grafiği üzerinden önemli bilgiler çıkarabiliriz:

• y-eksenini kestiği nokta \((0, 30)\): Bu nokta, zaman \(x=0\) iken \(y\) değerini verir. Yani fidanın dikildiği andaki (zaman 0 iken) boyunu gösterir.
• O halde, fidanın dikildiğindeki boyu 30 cm'dir.
• x-eksenini kestiği nokta \((-60, 0)\): Bu nokta, fidanın boyunun 0 olduğu zamanı gösterir. Ancak zaman negatif olamayacağı için bu noktanın fiziksel bir anlamı yoktur. Bu nokta, fonksiyonun denklemini bulmak için kullanılabilir.

Şimdi fidanın aylık uzama miktarını (yani eğimi) bulalım. İki noktamız var: \((0, 30)\) ve \((-60, 0)\).

• Eğim \(a = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{0 - 30}{-60 - 0} = \frac{-30}{-60} = \frac{1}{2}\)
• Eğim \(a = \frac{1}{2}\) veya \(0.5\) demektir.

Yorum: Fidanın dikildiğindeki boyu 30 cm'dir. Aylık uzama miktarı ise 0.5 cm'dir. Yani her ay 0.5 cm uzamaktadır. 🌱

👉 Bu problemde, ödenen toplam ücret yolculuk mesafesine bağlı olarak değişmektedir ve bu ilişki doğrusal bir fonksiyondur.

• Açılış ücreti: Bu, yolculuk mesafesi 0 km olduğunda ödenen sabit ücrettir. Fonksiyonumuzda bu değer y-eksenini kestiği nokta (\(b\)) olacaktır. Yani \(b = 15\) TL.
• Her kilometre için ücret: Bu, mesafe arttıkça toplam ücrete eklenen sabit orandır. Bu değer, fonksiyonumuzun eğimini (\(a\)) temsil eder. Yani \(a = 8\) TL/km.

Fonksiyonu \(f(x) = ax + b\) şeklinde yazarsak:

• \(f(x) = 8x + 15\)
• Burada \(x\) gidilen mesafeyi (km), \(f(x)\) ise ödenen toplam ücreti (TL) temsil eder.

Şimdi 10 km yol giden bir müşterinin ne kadar ödeyeceğini hesaplayalım:

• Denklemde \(x\) yerine 10 yazalım:
• \(f(10) = 8(10) + 15\)
• \(f(10) = 80 + 15\)
• \(f(10) = 95\)

Sonuç: 10 km yol giden bir müşteri 95 TL öder. 🚕

💡 İki doğru birbirine paralel ise, eğimleri birbirine eşittir. Bu bilgiyi kullanarak \(k\) değerini bulabiliriz.

• Öncelikle verilen doğruların eğimlerini bulalım.
• Birinci doğru: \(y = (k-1)x + 5\)
• Bu doğru zaten \(y = ax + b\) formundadır. Dolayısıyla eğimi \(a_1 = k-1\)'dir.

• İkinci doğru: \(2x - y = 3\)
• Bu denklemi de \(y = ax + b\) formuna getirmemiz gerekir.
• \(-y = -2x + 3\)
• Her tarafı \(-1\) ile çarpalım: \(y = 2x - 3\)
• Bu doğrunun eğimi \(a_2 = 2\)'dir.

Doğrular paralel olduğu için eğimleri eşit olmalıdır:

• \(a_1 = a_2\)
• \(k-1 = 2\)
• \(k = 2 + 1\)
• \(k = 3\)

Sonuç: \(k\) değeri 3'tür. ✅