🎓 10. Sınıf
📚 10. Sınıf Matematik
💡 10. Sınıf Matematik: Doğrunun analitik incelenmesi Çözümlü Örnekler
10. Sınıf Matematik: Doğrunun analitik incelenmesi Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Analitik düzlemde A(2, 5) ve B(5, 9) noktaları arasındaki uzaklık kaç birimdir? 📏
Çözüm:
İki nokta arasındaki uzaklık formülünü kullanarak çözüme ulaşabiliriz.
İki nokta arasındaki uzaklık formülü:
\[ d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \]- Verilen noktalar: \( x_1 = 2 \), \( y_1 = 5 \), \( x_2 = 5 \), \( y_2 = 9 \)
- Değerleri formülde yerine yazalım:
- \( d = \sqrt{(5 - 2)^2 + (9 - 5)^2} \)
- \( d = \sqrt{3^2 + 4^2} \)
- \( d = \sqrt{9 + 16} \)
- \( d = \sqrt{25} \)
- d = 5 birim olarak bulunur. ✅
Örnek 2:
A(-3, 4) ve B(7, 10) noktalarının orta noktasının koordinatlarını bulunuz. 📍
Çözüm:
Bir doğru parçasının orta noktasını bulmak için uç noktaların koordinatlarının aritmetik ortalamasını alırız.
Orta nokta C(x, y) olsun:
- \( x = \frac{x_1 + x_2}{2} \)
- \( y = \frac{y_1 + y_2}{2} \)
- Verilenleri yerleştirelim:
- \( x = \frac{-3 + 7}{2} = \frac{4}{2} = 2 \)
- \( y = \frac{4 + 10}{2} = \frac{14}{2} = 7 \)
- C(2, 7) noktası orta noktadır. 🎯
Örnek 3:
Analitik düzlemde A(1, 2) ve B(7, 5) noktaları veriliyor. [AB] doğru parçasını AC / CB = 2 oranında içten bölen C noktasının koordinatlarını bulunuz. 📐
Çözüm:
İçten bölen nokta sorusunda koordinatlardaki değişim oranını kullanırız.
- Toplam oran: \( 2 + 1 = 3 \) birim (k cinsinden düşünürsek \( 2k + k = 3k \)).
- x koordinatı için: \( 1 \)'den \( 7 \)'ye \( 6 \) birim artış var.
- \( 3k \) mesafede \( 6 \) artarsa, \( 1k \) mesafede \( 2 \) artar.
- C noktası A'dan \( 2k \) uzaklıkta olduğu için: \( 1 + (2 \times 2) = 5 \) olur.
- y koordinatı için: \( 2 \)'den \( 5 \)'ye \( 3 \) birim artış var.
- \( 3k \) mesafede \( 3 \) artarsa, \( 1k \) mesafede \( 1 \) artar.
- C noktası A'dan \( 2k \) uzaklıkta olduğu için: \( 2 + (2 \times 1) = 4 \) olur.
- C(5, 4) noktası elde edilir. 💡
Örnek 4:
A(2, -3) ve B(4, 5) noktalarından geçen doğrunun eğimi kaçtır? 📈
Çözüm:
İki noktası bilinen doğrunun eğimi, y'lerin farkının x'lerin farkına oranıdır.
Eğim formülü:
\[ m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \]- Noktalar: \( x_1 = 2 \), \( y_1 = -3 \), \( x_2 = 4 \), \( y_2 = 5 \)
- \( m = \frac{5 - (-3)}{4 - 2} \)
- \( m = \frac{5 + 3}{2} \)
- \( m = \frac{8}{2} \)
- m = 4 olarak bulunur. ✅
Örnek 5:
Eğimi m = -2 olan ve A(3, 4) noktasından geçen doğrunun denklemini yazınız. ✍️
Çözüm:
Eğimi ve bir noktası bilinen doğru denklemi formülünü kullanalım.
Formül: \( y - y_1 = m \times (x - x_1) \)
- Verilenler: \( m = -2 \), \( x_1 = 3 \), \( y_1 = 4 \)
- \( y - 4 = -2 \times (x - 3) \)
- \( y - 4 = -2x + 6 \)
- Denklemi düzenleyelim (tüm terimleri bir tarafa toplayalım):
- 2x + y - 10 = 0 doğrunun genel denklemidir. 🚀
Örnek 6:
d1: 2x - y + 4 = 0 ve d2: x + y - 1 = 0 doğrularının kesim noktasının koordinatlarını bulunuz. ✖️
Çözüm:
İki doğrunun kesim noktasını bulmak için denklem sistemini ortak çözeriz.
- Denklemleri alt alta yazalım:
- \( 2x - y = -4 \)
- \( x + y = 1 \)
- Bu iki denklemi taraf tarafa toplarsak y'ler yok olur:
- \( (2x + x) + (-y + y) = -4 + 1 \)
- \( 3x = -3 \) ise x = -1 bulunur.
- Bulduğumuz x değerini ikinci denklemde yerine yazalım:
- \( -1 + y = 1 \)
- y = 2 bulunur.
- Kesim noktası K(-1, 2) noktasıdır. 📍
Örnek 7:
Bir şehir haritası analitik düzleme yerleştirilmiştir. Belediye binası A(1, 1) noktasında, kütüphane ise B(5, 4) noktasındadır. Bu iki bina arasına doğrusal bir bisiklet yolu yapılacaktır. Bisiklet yolunun tam ortasına bir dinlenme istasyonu inşa edileceğine göre, bu istasyonun koordinatları ne olmalıdır? 🚲
Çözüm:
Soru bizden aslında A ve B noktalarının orta noktasını bulmamızı istemektedir.
- Belediye (A): \( (1, 1) \)
- Kütüphane (B): \( (5, 4) \)
- İstasyon koordinatları \( (x, y) \) olsun:
- \( x = \frac{1 + 5}{2} = \frac{6}{2} = 3 \)
- \( y = \frac{1 + 4}{2} = \frac{5}{2} = 2.5 \)
- Dinlenme istasyonu (3, 2.5) noktasına yapılmalıdır. 🌳
Örnek 8:
Bir taksi durağında açılış ücreti 20 TL'dir. Gidilen her kilometre için ise 10 TL ücret alınmaktadır. Gidilen yol (x) ile ödenecek toplam tutar (y) arasındaki ilişkiyi gösteren doğrusal denklemi yazınız ve 5 km giden birinin ne kadar ödeyeceğini bulunuz. 🚕
Çözüm:
Bu durum doğrusal bir fonksiyon ve analitik bir doğru belirtir.
- Sabit ücret (y eksenini kestiği nokta): \( 20 \)
- Birim artış miktarı (eğim): \( 10 \)
- Doğru denklemi: y = 10x + 20 şeklindedir.
- 5 km giden bir yolcu için \( x = 5 \) değerini yerine yazalım:
- \( y = 10 \times 5 + 20 \)
- \( y = 50 + 20 \)
- y = 70 TL ödeme yapmalıdır. 💰
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/10-sinif-matematik-dogrunun-analitik-incelenmesi/sorular