🎓 10. Sınıf
📚 10. Sınıf Matematik
💡 10. Sınıf Matematik: Doğrunun analitik incelemesi Çözümlü Örnekler
10. Sınıf Matematik: Doğrunun analitik incelemesi Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Analitik düzlemde A(1, 3) ve B(5, 6) noktaları arasındaki uzaklık kaç birimdir? 📏
Çözüm:
İki nokta arasındaki uzaklık formülünü kullanarak çözüme ulaşabiliriz:
- 1. Adım: İki nokta arasındaki uzaklık formülü: \[ d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \]
- 2. Adım: Verilen değerleri formülde yerine yazalım:
\( x_1 = 1, y_1 = 3 \)
\( x_2 = 5, y_2 = 6 \) - 3. Adım: Hesaplamayı yapalım: \[ d = \sqrt{(5 - 1)^2 + (6 - 3)^2} \] \[ d = \sqrt{4^2 + 3^2} \] \[ d = \sqrt{16 + 9} \] \[ d = \sqrt{25} \]
- Sonuç: İki nokta arasındaki uzaklık \( 5 \) birimdir. ✅
Örnek 2:
Analitik düzlemde A(-2, 8) ve B(6, 2) noktalarının orta noktasının koordinatlarını bulunuz. 📍
Çözüm:
Bir doğru parçasının orta noktasını bulmak için uç noktaların koordinatlarının aritmetik ortalamasını alırız:
- 1. Adım: Orta nokta formülü: \[ C(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}) \]
- 2. Adım: Verilen koordinatları yerleştirelim:
x bileşeni için: \( \frac{-2 + 6}{2} = \frac{4}{2} = 2 \)
y bileşeni için: \( \frac{8 + 2}{2} = \frac{10}{2} = 5 \) - Sonuç: Orta noktanın koordinatları (2, 5) noktasıdır. 🎯
Örnek 3:
Analitik düzlemde A(2, -1) ve B(5, 8) noktalarından geçen doğrunun eğimini bulunuz. 📈
Çözüm:
İki noktası bilinen doğrunun eğimi, y'lerin farkının x'lerin farkına oranıdır:
- 1. Adım: Eğim formülü: \[ m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \]
- 2. Adım: Verilen değerleri uygulayalım:
\( y_2 - y_1 = 8 - (-1) = 9 \)
\( x_2 - x_1 = 5 - 2 = 3 \) - 3. Adım: Bölme işlemini yapalım: \[ m = \frac{9}{3} \] \[ m = 3 \]
- Sonuç: Doğrunun eğimi \( 3 \) olarak bulunur. 🚀
Örnek 4:
Eğimi m = -2 olan ve A(3, 4) noktasından geçen doğrunun denklemini yazınız. ✍️
Çözüm:
Bir noktası ve eğimi bilinen doğrunun denklemi formülünü kullanacağız:
- 1. Adım: Denklem formülü: \[ y - y_1 = m(x - x_1) \]
- 2. Adım: Verilenleri yerine koyalım: \[ y - 4 = -2(x - 3) \]
- 3. Adım: Denklemi düzenleyelim: \[ y - 4 = -2x + 6 \] \[ y = -2x + 10 \]
- Sonuç: Doğrunun denklemi y = -2x + 10 veya genel formda 2x + y - 10 = 0 şeklindedir. ✅
Örnek 5:
d1: y = 3x + 4 doğrusu ile d2: ax - 2y + 5 = 0 doğrusu birbirine paralel olduğuna göre a kaçtır? ⚡
Çözüm:
Paralel doğruların eğimleri birbirine eşittir:
- 1. Adım: Birinci doğrunun (d1) eğimini bulalım. Denklem \( y = mx + n \) formunda olduğunda x'in katsayısı eğimdir.
Eğim \( m_1 = 3 \). - 2. Adım: İkinci doğrunun (d2) eğimini bulalım. Denklem \( ax + by + c = 0 \) formunda olduğunda eğim \( -\frac{a}{b} \) olur.
Eğim \( m_2 = -\frac{a}{-2} = \frac{a}{2} \). - 3. Adım: Paralellik şartını uygulayalım: \[ m_1 = m_2 \] \[ 3 = \frac{a}{2} \] \[ a = 6 \]
- Sonuç: Doğruların paralel olması için a = 6 olmalıdır. 💎
Örnek 6:
2x - y + 6 = 0 ve x + y - 3 = 0 doğrularının kesim noktasının koordinatlarını bulunuz. ✖️
Çözüm:
İki doğrunun kesim noktasını bulmak için denklem sistemini ortak çözmemiz gerekir:
- 1. Adım: Denklemleri alt alta yazalım:
1) \( 2x - y = -6 \)
2) \( x + y = 3 \) - 2. Adım: Taraf tarafa toplayalım (y'ler birbirini yok eder): \[ (2x - y) + (x + y) = -6 + 3 \] \[ 3x = -3 \] \[ x = -1 \]
- 3. Adım: Bulduğumuz x değerini herhangi bir denklemde yerine yazıp y'yi bulalım:
\( -1 + y = 3 \)
\( y = 4 \) - Sonuç: Kesim noktası (-1, 4) noktasıdır. 📍
Örnek 7:
Bir taksi durağında taksimetre açılış ücreti 20 TL'dir. Gidilen her kilometre için ise 10 TL ücret alınmaktadır. Gidilen yol (x) ile ödenecek toplam tutar (y) arasındaki ilişkiyi gösteren doğrusal denklemi yazınız ve 5 km giden birinin ne kadar ödeyeceğini bulunuz. 🚕
Çözüm:
Bu durum doğrusal bir fonksiyon ve bir doğru denklemi ile ifade edilebilir:
- 1. Adım: Sabit ücret (başlangıç değeri) \( n = 20 \).
- 2. Adım: Kilometre başına artış miktarı (eğim) \( m = 10 \).
- 3. Adım: Doğru denklemini kuralım: \[ y = mx + n \] \[ y = 10x + 20 \]
- 4. Adım: 5 km için \( x = 5 \) değerini yerine yazalım: \[ y = 10 \times 5 + 20 \] \[ y = 50 + 20 \] \[ y = 70 \]
- Sonuç: Denklem y = 10x + 20 olup, 5 km giden bir yolcu 70 TL öder. 💰
Örnek 8:
Bir mimar, koordinat düzlemi üzerinde bir park tasarlıyor. Parkın sınırlarını belirleyen doğrulardan biri x = 0 (y ekseni), diğeri y = 0 (x ekseni) ve üçüncüsü ise 3x + 4y - 12 = 0 doğrusudur. Bu üç doğrunun sınırladığı üçgensel bölgenin alanı kaç birimkaredir? 🌳
Çözüm:
Üçgenin köşelerini bulmak için doğrunun eksenleri kestiği noktaları belirlemeliyiz:
- 1. Adım: Doğrunun x eksenini kestiği noktayı bulmak için \( y = 0 \) verilir: \[ 3x + 4(0) - 12 = 0 \] \[ 3x = 12 \implies x = 4 \] Nokta: (4, 0)
- 2. Adım: Doğrunun y eksenini kestiği noktayı bulmak için \( x = 0 \) verilir: \[ 3(0) + 4y - 12 = 0 \] \[ 4y = 12 \implies y = 3 \] Nokta: (0, 3)
- 3. Adım: Bu noktalar ve orijin (0,0) dik bir üçgen oluşturur. Dik kenar uzunlukları 4 birim ve 3 birimdir.
- 4. Adım: Üçgenin alan formülünü uygulayalım: \[ Alan = \frac{Taban \times Yukseklik}{2} \] \[ Alan = \frac{4 \times 3}{2} \] \[ Alan = 6 \]
- Sonuç: Parkın alanı 6 birimkaredir. 📐
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/10-sinif-matematik-dogrunun-analitik-incelemesi/sorular