💡 10. Sınıf Matematik: Doğrunun analitiği Çözümlü Örnekler

Bir noktanın analitik düzlemdeki bölgelerini hatırlayalım: 💡

• II. Bölge: \( x < 0 \) ve \( y > 0 \) olmalıdır.
• Bu durumda noktanın bileşenlerini inceleyelim:
• \( x = a - 3 < 0 \Rightarrow a < 3 \)
• \( y = b + 5 > 0 \Rightarrow b > -5 \)

Bizden istenen en büyük tam sayı değerleri:

• \( a < 3 \) şartını sağlayan en büyük tam sayı \( a = 2 \) olur.
• \( b > -5 \) şartı için üst sınır belirtilmediğinden, soruda genellikle bu değerlerin toplamı veya belirli bir aralık istenir. Ancak \( a \) için en büyük değer net iken \( b \) için bir üst sınır verilmediği durumlarda soru köküne göre hareket edilir. Eğer \( b \) için de bir sınır verilseydi (örneğin III. bölgeye geçiş sınırı), o zaman hesaplanabilirdi.
• Soruyu \( a \)'nın en büyük tam sayı değeri olarak güncellediğimizde: \( a = 2 \) bulunur. ✅

İki nokta arasındaki uzaklık formülünü uygulayalım:

Adım adım hesaplayalım:

• Noktalar: \( A(2, -1) \) ve \( B(5, 3) \)
• \( x_{1} = 2, y_{1} = -1 \)
• \( x_{2} = 5, y_{2} = 3 \)
• Farkların karesini alalım:
• \( (x_{2} - x_{1})^{2} = (5 - 2)^{2} = 3^{2} = 9 \)
• \( (y_{2} - y_{1})^{2} = (3 - (-1))^{2} = 4^{2} = 16 \)
• Toplam: \( 9 + 16 = 25 \)
• Uzaklık: \( \sqrt{25} = 5 \) birimdir. ✅

Bir doğru parçasının orta noktasını bulmak için uç noktaların koordinatlarının aritmetik ortalamasını alırız:

Hesaplama adımları:

• Apsisi bulalım: \( x_{0} = \frac{-4 + 6}{2} = \frac{2}{2} = 1 \)
• Ordinatı bulalım: \( y_{0} = \frac{10 + (-2)}{2} = \frac{8}{2} = 4 \)
• Sonuç: Orta noktanın koordinatları \( C(1, 4) \) olarak bulunur. 🎯

Doğru parçasını içten bölen nokta için artış miktarlarına bakalım:

• Toplam oran: \( 2k + 1k = 3k \)
• Apsis (x) için: \( 1 \)'den \( 7 \)'ye artış \( 6 \) birimdir.
• \( 3k \) mesafede \( 6 \) artarsa, \( 1k \) mesafede \( 2 \) artar.
• \( AC = 2k \) olduğu için \( 2 \times 2 = 4 \) artış olmalı.
• \( x_{c} = 1 + 4 = 5 \)
• Ordinat (y) için: \( 2 \)'den \( 11 \)'e artış \( 9 \) birimdir.
• \( 3k \) mesafede \( 9 \) artarsa, \( 1k \) mesafede \( 3 \) artar.
• \( AC = 2k \) olduğu için \( 2 \times 3 = 6 \) artış olmalı.
• \( y_{c} = 2 + 6 = 8 \)
• Sonuç: \( C(5, 8) \) noktasıdır. ✅

Üçgenin ağırlık merkezi, köşe koordinatlarının toplamının üçe bölünmesiyle bulunur:

Uygulayalım:

• Apsis: \( x = \frac{2 + (-3) + 7}{3} = \frac{6}{3} = 2 \)
• Ordinat: \( y = \frac{5 + 1 + 3}{3} = \frac{9}{3} = 3 \)
• Sonuç: Ağırlık merkezi \( G(2, 3) \) noktasıdır. 📍

İki nokta arası uzaklık formülünü kuralım:

Her iki tarafın karesini alalım:

• \( (k - 3)^{2} + (4)^{2} = 5^{2} \)
• \( (k - 3)^{2} + 16 = 25 \)
• \( (k - 3)^{2} = 9 \)

Buradan iki durum çıkar:

• 1. Durum: \( k - 3 = 3 \Rightarrow k = 6 \)
• 2. Durum: \( k - 3 = -3 \Rightarrow k = 0 \)
• Değerler toplamı: \( 6 + 0 = 6 \) bulunur. ✅

Bu soru hem orta nokta hem de uzaklık bilgisini ölçer:

• 1. Adım (Parkın Konumu): \( A(1, 2) \) ve \( B(5, 5) \) noktalarının orta noktasını bulalım.
• \( x = \frac{1 + 5}{2} = 3 \)
• \( y = \frac{2 + 5}{2} = 3,5 \)
• Parkın konumu: \( P(3, 3,5) \)
• 2. Adım (Uzaklık): Belediye binası \( A(1, 2) \) ile kütüphane \( B(5, 5) \) arası toplam uzaklığın yarısı parkın belediyeye uzaklığıdır.
• \( AB = \sqrt{(5-1)^{2} + (5-2)^{2}} = \sqrt{4^{2} + 3^{2}} = \sqrt{16+9} = 5 \) birim.
• Park tam ortada olduğu için belediyeye uzaklığı: \( \frac{5}{2} = 2,5 \) birimdir. 🏁

Bu bir belirli oranda bölme problemidir. Yolun tamamına \( 3k \) dersek, kurye \( 1k \) kadar gitmiştir:

• Apsis Değişimi: \( 2 \)'den \( 14 \)'e toplam \( 12 \) birim artış var.
• \( 3k \) yolda \( 12 \) artarsa, \( 1k \) yolda \( 4 \) artar.
• Yeni apsis: \( 2 + 4 = 6 \)
• Ordinat Değişimi: \( 3 \)'ten \( 8 \)'e toplam \( 5 \) birim artış var.
• \( 3k \) yolda \( 5 \) artarsa, \( 1k \) yolda \( \frac{5}{3} \) artar.
• Yeni ordinat: \( 3 + \frac{5}{3} = \frac{9+5}{3} = \frac{14}{3} \)
• Sonuç: Kuryenin durduğu nokta \( (6, \frac{14}{3}) \) koordinatlarıdır. 📍