🎓 10. Sınıf
📚 10. Sınıf Matematik
💡 10. Sınıf Matematik: Doğal Sayıların Asal Çarpanları Çözümlü Örnekler
10. Sınıf Matematik: Doğal Sayıların Asal Çarpanları Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
120 sayısının asal çarpanlarını bulunuz. 💡
Çözüm:
120 sayısının asal çarpanlarını bulmak için bölme algoritmasını kullanabiliriz:
Dolayısıyla, 120 sayısının asal çarpanları 2, 3 ve 5'tir. ✅
Asal çarpanlarına ayrılmış hali ise \( 120 = 2^3 \times 3 \times 5 \) şeklindedir.
- 120'yi en küçük asal sayı olan 2'ye bölelim: \( 120 \div 2 = 60 \)
- Elde ettiğimiz 60'ı tekrar 2'ye bölelim: \( 60 \div 2 = 30 \)
- 30'u yine 2'ye bölelim: \( 30 \div 2 = 15 \)
- 15 sayısı 2'ye bölünmez. Bir sonraki asal sayı olan 3'e bölelim: \( 15 \div 3 = 5 \)
- 5 sayısı 3'e bölünmez. Bir sonraki asal sayı olan 5'e bölelim: \( 5 \div 5 = 1 \)
Dolayısıyla, 120 sayısının asal çarpanları 2, 3 ve 5'tir. ✅
Asal çarpanlarına ayrılmış hali ise \( 120 = 2^3 \times 3 \times 5 \) şeklindedir.
Örnek 2:
72 sayısının asal çarpanlarını ve bu asal çarpanların kuvvetlerini gösteren üslü ifade şeklinde yazınız. ✍️
Çözüm:
72 sayısını asal çarpanlarına ayıralım:
2 sayısı 3 kez kullanıldığı için \( 2^3 \) şeklinde yazılır.
3 sayısı 2 kez kullanıldığı için \( 3^2 \) şeklinde yazılır.
Bu nedenle, 72 sayısının asal çarpanlarına ayrılmış şekli \( 72 = 2^3 \times 3^2 \)'dir. 👉
- \( 72 \div 2 = 36 \)
- \( 36 \div 2 = 18 \)
- \( 18 \div 2 = 9 \)
- 9 sayısı 2'ye bölünmez. 3'e bölelim: \( 9 \div 3 = 3 \)
- \( 3 \div 3 = 1 \)
2 sayısı 3 kez kullanıldığı için \( 2^3 \) şeklinde yazılır.
3 sayısı 2 kez kullanıldığı için \( 3^2 \) şeklinde yazılır.
Bu nedenle, 72 sayısının asal çarpanlarına ayrılmış şekli \( 72 = 2^3 \times 3^2 \)'dir. 👉
Örnek 3:
98 sayısının kaç farklı asal çarpanı vardır? 🤔
Çözüm:
98 sayısını asal çarpanlarına ayıralım:
Bu sayılar farklı olduğu için, 98 sayısının 2 farklı asal çarpanı vardır. ✅
- \( 98 \div 2 = 49 \)
- 49 sayısı 2'ye bölünmez. Bir sonraki asal sayı olan 3'e de bölünmez. Bir sonraki asal sayı olan 5'e de bölünmez. Bir sonraki asal sayı olan 7'ye bölelim: \( 49 \div 7 = 7 \)
- \( 7 \div 7 = 1 \)
Bu sayılar farklı olduğu için, 98 sayısının 2 farklı asal çarpanı vardır. ✅
Örnek 4:
Bir sepetteki elmaların sayısı, 200 sayısının en büyük asal çarpanından 5 fazladır. Sepette kaç elma vardır? 🍎
Çözüm:
Öncelikle 200 sayısının asal çarpanlarını bulalım:
Bu asal çarpanlardan en büyüğü 5'tir.
Soruda, elmaların sayısının bu en büyük asal çarpandan 5 fazla olduğu belirtiliyor.
Yani, elma sayısı = \( 5 + 5 = 10 \) olur.
Sepette 10 elma vardır. 🥳
- \( 200 \div 2 = 100 \)
- \( 100 \div 2 = 50 \)
- \( 50 \div 2 = 25 \)
- 25 sayısı 2'ye bölünmez. 3'e de bölünmez. 5'e bölelim: \( 25 \div 5 = 5 \)
- \( 5 \div 5 = 1 \)
Bu asal çarpanlardan en büyüğü 5'tir.
Soruda, elmaların sayısının bu en büyük asal çarpandan 5 fazla olduğu belirtiliyor.
Yani, elma sayısı = \( 5 + 5 = 10 \) olur.
Sepette 10 elma vardır. 🥳
Örnek 5:
180 sayısının asal çarpanlarının toplamını bulunuz. ➕
Çözüm:
180 sayısını asal çarpanlarına ayıralım:
Bu asal çarpanların toplamı: \( 2 + 3 + 5 = 10 \) olur.
Dolayısıyla, 180 sayısının asal çarpanlarının toplamı 10'dur. 👍
- \( 180 \div 2 = 90 \)
- \( 90 \div 2 = 45 \)
- 45 sayısı 2'ye bölünmez. 3'e bölelim: \( 45 \div 3 = 15 \)
- \( 15 \div 3 = 5 \)
- \( 5 \div 5 = 1 \)
Bu asal çarpanların toplamı: \( 2 + 3 + 5 = 10 \) olur.
Dolayısıyla, 180 sayısının asal çarpanlarının toplamı 10'dur. 👍
Örnek 6:
\( a = 2^3 \times 3^2 \times 5 \) ve \( b = 2^2 \times 3^3 \times 7 \) olduğuna göre, \( a \times b \) çarpımının kaç farklı asal çarpanı vardır? ✖️
Çözüm:
Öncelikle \( a \) ve \( b \) sayılarının çarpımını bulalım:
\( a \times b = (2^3 \times 3^2 \times 5) \times (2^2 \times 3^3 \times 7) \)
Üslü sayılarda çarpma kuralını kullanarak tabanları aynı olanları birleştirelim:
\( a \times b = 2^{3+2} \times 3^{2+3} \times 5 \times 7 \)
\( a \times b = 2^5 \times 3^5 \times 5^1 \times 7^1 \)
Bu çarpımın asal çarpanları, tabanlarda bulunan farklı asal sayılardır.
Bu asal sayılar şunlardır: 2, 3, 5 ve 7.
Dolayısıyla, \( a \times b \) çarpımının 4 farklı asal çarpanı vardır. 💯
\( a \times b = (2^3 \times 3^2 \times 5) \times (2^2 \times 3^3 \times 7) \)
Üslü sayılarda çarpma kuralını kullanarak tabanları aynı olanları birleştirelim:
\( a \times b = 2^{3+2} \times 3^{2+3} \times 5 \times 7 \)
\( a \times b = 2^5 \times 3^5 \times 5^1 \times 7^1 \)
Bu çarpımın asal çarpanları, tabanlarda bulunan farklı asal sayılardır.
Bu asal sayılar şunlardır: 2, 3, 5 ve 7.
Dolayısıyla, \( a \times b \) çarpımının 4 farklı asal çarpanı vardır. 💯
Örnek 7:
Bir manav, tanesi 3 TL'den aldığı portakalları, tanesi 5 TL'den satmaktadır. Eğer manav toplamda 150 TL kar ettiyse, kaç tane portakal satmıştır? 🍊
Çözüm:
Bu soruda doğrudan asal çarpanları kullanmasak da, fiyatlandırma ve kar hesaplamaları temel matematiksel işlemlere dayanır. Soruyu çözmek için öncelikle portakal başına elde edilen karı bulalım:
Satılan portakal sayısını bulmak için toplam karı, portakal başına kara bölelim:
Satılan portakal sayısı = Toplam Kar / Portakal Başına Kar
Satılan portakal sayısı = \( 150 \text{ TL} \div 2 \text{ TL/portakal} = 75 \text{ portakal} \)
Manav 75 adet portakal satmıştır. 💰
- Portakal başına kar = Satış fiyatı - Alış fiyatı
- Portakal başına kar = \( 5 \text{ TL} - 3 \text{ TL} = 2 \text{ TL} \)
Satılan portakal sayısını bulmak için toplam karı, portakal başına kara bölelim:
Satılan portakal sayısı = Toplam Kar / Portakal Başına Kar
Satılan portakal sayısı = \( 150 \text{ TL} \div 2 \text{ TL/portakal} = 75 \text{ portakal} \)
Manav 75 adet portakal satmıştır. 💰
Örnek 8:
Bir okulun 10. sınıf öğrencileri, bir proje için 144 adet özdeş anahtarlık yapacaktır. Bu anahtarlıklar, 2, 3 ve 5 cm uzunluğundaki farklı renklerdeki boncuklarla süslenecektir. Her bir anahtarlıkta sadece bir renk boncuk kullanılacağına göre, her renkten kaç anahtarlık süslenebilir? 🎨
Çözüm:
Bu problemde, toplam anahtarlık sayısını (144) her bir boncuk renginin uzunluğuna bölerek, o renkten kaç anahtarlık süslenebileceğini bulacağız. Bu, aslında 144'ün bölenlerini bulma mantığına benzer.
- 2 cm'lik boncuklarla süslenecek anahtarlık sayısı:
- \( 144 \div 2 = 72 \) anahtarlık
- 3 cm'lik boncuklarla süslenecek anahtarlık sayısı:
- \( 144 \div 3 = 48 \) anahtarlık
- 5 cm'lik boncuklarla süslenecek anahtarlık sayısı:
- 5 cm, 144'ün bir böleni değildir. Bu durumda, 5 cm'lik boncuklarla 144 tam anahtarlığı süslemek mümkün değildir. Ancak, 5 cm'lik boncuklarla süslenebilecek en fazla anahtarlık sayısını bulmak için 144'ü 5'e böleriz ve tam kısmını alırız.
- \( 144 \div 5 = 28.8 \)
- Tam kısım 28'dir. Yani 5 cm'lik boncuklarla 28 anahtarlık süslenebilir (ve bir miktar boncuk artar).
- 2 cm'lik boncuklarla 72 anahtarlık süslenebilir.
- 3 cm'lik boncuklarla 48 anahtarlık süslenebilir.
- 5 cm'lik boncuklarla 28 anahtarlık süslenebilir.
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/10-sinif-matematik-dogal-sayilarin-asal-carpanlari/sorular