💡 10. Sınıf Matematik: Doğal Sayıların Asal Çarpanları ve Bölenleri Çözümlü Örnekler
1
Çözümlü Örnek
Kolay Seviye
120 sayısının asal çarpanlarını bulunuz. 💡
Çözüm ve Açıklama
120 sayısının asal çarpanlarını bulmak için öncelikle sayıyı asal çarpanlarına ayırmamız gerekir.
Adım 1: Sayıyı en küçük asal sayıdan başlayarak bölmeye başlayın.
Adım 2: 120 ÷ 2 = 60
60 ÷ 2 = 30
30 ÷ 2 = 15
Adım 3: 2'ye bölünemeyen 15'i bir sonraki asal sayı olan 3'e bölün.
15 ÷ 3 = 5
Adım 4: 5 asal bir sayıdır, bu yüzden kendisine bölünür.
5 ÷ 5 = 1
Bu durumda 120 sayısının asal çarpanlarına ayrılmış hali \( 2^3 \times 3^1 \times 5^1 \) şeklindedir. Dolayısıyla 120 sayısının asal çarpanları 2, 3 ve 5'tir. ✅
2
Çözümlü Örnek
Orta Seviye
360 sayısının pozitif bölenlerinin sayısını bulunuz. 📌
Çözüm ve Açıklama
Bir sayının pozitif bölenlerinin sayısını bulmak için öncelikle sayıyı asal çarpanlarına ayırırız. Ardından, asal çarpanların üslerini birer artırıp çarparız.
Adım 1: 360 sayısını asal çarpanlarına ayıralım.
360 ÷ 2 = 180
180 ÷ 2 = 90
90 ÷ 2 = 45
45 ÷ 3 = 15
15 ÷ 3 = 5
5 ÷ 5 = 1
Adım 2: 360 sayısının asal çarpanlarına ayrılmış hali \( 2^3 \times 3^2 \times 5^1 \) şeklindedir.
Adım 3: Asal çarpanların üslerini birer artıralım:
\( (3+1) \times (2+1) \times (1+1) \)
Adım 4: Elde ettiğimiz sayıları çarpalım:
\( 4 \times 3 \times 2 = 24 \)
Bu nedenle, 360 sayısının pozitif bölenlerinin sayısı 24'tür. 👉
3
Çözümlü Örnek
Yeni Nesil Soru
Bir sepetteki elmaların sayısı 200 ile 300 arasındadır. Bu elmalar 12'şerli gruplandığında hiç artmıyor ve 18'erli gruplandığında ise 6 elma artıyor. Sepetteki elma sayısı en az kaç olabilir? 🤔
Çözüm ve Açıklama
Bu problemi çözmek için verilen bilgileri matematiksel ifadelere dökelim:
Elma sayısı \( N \) olsun.
\( 200 < N < 300 \)
12'şerli gruplandığında artmadığına göre, \( N \), 12'nin bir katıdır. Yani \( N = 12k \) (k bir tam sayı).
18'erli gruplandığında 6 elma arttığına göre, \( N \equiv 6 \pmod{18} \). Bu da \( N = 18m + 6 \) (m bir tam sayı) anlamına gelir.
Adım 1: \( N = 12k \) ve \( N = 18m + 6 \) eşitliklerini birleştirelim.
\( 12k = 18m + 6 \)
Her tarafı 6'ya bölelim: \( 2k = 3m + 1 \)
Adım 2: \( 2k = 3m + 1 \) denklemini sağlayan en küçük pozitif tam sayıları bulalım.
Eğer \( m=1 \) ise \( 2k = 3(1) + 1 = 4 \implies k=2 \). Bu durumda \( N = 12 \times 2 = 24 \). Ancak bu 200'den küçük.
Eğer \( m=3 \) ise \( 2k = 3(3) + 1 = 10 \implies k=5 \). Bu durumda \( N = 12 \times 5 = 60 \).
Eğer \( m=5 \) ise \( 2k = 3(5) + 1 = 16 \implies k=8 \). Bu durumda \( N = 12 \times 8 = 96 \).
Eğer \( m=7 \) ise \( 2k = 3(7) + 1 = 22 \implies k=11 \). Bu durumda \( N = 12 \times 11 = 132 \).
Eğer \( m=9 \) ise \( 2k = 3(9) + 1 = 28 \implies k=14 \). Bu durumda \( N = 12 \times 14 = 168 \).
Eğer \( m=11 \) ise \( 2k = 3(11) + 1 = 34 \implies k=17 \). Bu durumda \( N = 12 \times 17 = 204 \).
Adım 3: Bulduğumuz \( N \) değerleri arasında 200 ile 300 arasında olan en küçük değeri seçelim.
\( N=204 \) değeri \( 200 < 204 < 300 \) koşulunu sağlar.
Ayrıca \( 204 \div 18 = 11 \) kalan 6'dır.
Bu nedenle, sepetteki elma sayısı en az 204 olabilir. 🎉
4
Çözümlü Örnek
Günlük Hayattan Örnek
Bir pastanede kekler 6'şarlı kutulanıyor ve börekler 8'erli paketleniyor. Hem kek hem de börek paketlerinin tam olarak dolması için en az kaç adet olması gerektiğini bulunuz. 🍰
Çözüm ve Açıklama
Bu soruda, hem 6'nın hem de 8'in ortak bir katını bulmamız gerekiyor. En az sayıda olması istendiği için en küçük ortak katı (EKOK) bulmalıyız.
Adım 1: 6 ve 8 sayılarının asal çarpanlarını bulalım.
6 = \( 2 \times 3 \)
8 = \( 2^3 \)
Adım 2: EKOK'u bulmak için, asal çarpanların en yüksek üslerini alıp çarpalım.
EKOK(6, 8) = \( 2^3 \times 3^1 \)
Adım 3: Hesaplamayı yapalım.
EKOK(6, 8) = \( 8 \times 3 = 24 \)
Dolayısıyla, hem kek hem de börek paketlerinin tam olarak dolması için en az 24 adet olması gerekir. Bu, 24 adet kekin 4 paket (6'şarlı) ve 24 adet böreğin 3 paket (8'li) yapılması anlamına gelir. 👍
5
Çözümlü Örnek
Kolay Seviye
72 sayısının pozitif bölenlerini listeleyiniz. 📝
Çözüm ve Açıklama
72 sayısının pozitif bölenlerini bulmak için, 72'yi tam bölen tüm pozitif tam sayıları sırayla bulmalıyız.
Adım 1: 1'den başlayarak 72'ye kadar olan sayıları deneyelim.
72 ÷ 1 = 72
72 ÷ 2 = 36
72 ÷ 3 = 24
72 ÷ 4 = 18
72 ÷ 6 = 12
72 ÷ 8 = 9
Adım 2: Bölme işlemi tam olarak gerçekleştiğinde, hem böleni hem de bölümü bölen olarak listeye ekleriz.
Bir sayının asal çarpanlarını bulmak için sayıyı asal çarpanlarına ayırmamız gerekir.
Adım 1: 450 sayısını en küçük asal sayıdan başlayarak bölelim.
450 ÷ 2 = 225
Adım 2: 225 sayısı 2'ye bölünmez. Bir sonraki asal sayı olan 3'e bölelim.
225 ÷ 3 = 75
75 ÷ 3 = 25
Adım 3: 25 sayısı 3'e bölünmez. Bir sonraki asal sayı olan 5'e bölelim.
25 ÷ 5 = 5
5 ÷ 5 = 1
Adım 4: 450 sayısının asal çarpanlarına ayrılmış hali \( 2^1 \times 3^2 \times 5^2 \) şeklindedir.
Bu sayının asal çarpanları 2, 3 ve 5'tir. Dolayısıyla, 450 sayısının 3 tane asal çarpanı vardır. 💯
7
Çözümlü Örnek
Yeni Nesil Soru
Bir çiftçi, tarlasındaki domatesleri 15'erli kasalara veya 20'şerli çuvallara doldurabiliyor. Çiftçi, tarlasından topladığı domatesleri hiç artmayacak şekilde kasalara veya çuvallara doldurabildiğine göre, çiftçinin topladığı domates sayısı en az kaç olabilir? 🧑🌾
Çözüm ve Açıklama
Bu problemde, hem 15'in hem de 20'nin ortak bir katını bulmamız isteniyor. En az sayıda domates olması gerektiği için 15 ve 20'nin en küçük ortak katını (EKOK) bulmalıyız.
Adım 1: 15 ve 20 sayılarının asal çarpanlarını bulalım.
15 = \( 3 \times 5 \)
20 = \( 2^2 \times 5 \)
Adım 2: EKOK'u bulmak için, her iki sayının asal çarpanlarının en yüksek üslerini alıp çarparız.
EKOK(15, 20) = \( 2^2 \times 3^1 \times 5^1 \)
Adım 3: Hesaplamayı yapalım.
EKOK(15, 20) = \( 4 \times 3 \times 5 = 60 \)
Bu nedenle, çiftçinin topladığı domates sayısı en az 60 olabilir. Bu miktar, 4 kasa (15'erli) veya 3 çuval (20'şerli) domates anlamına gelir. 🧺
8
Çözümlü Örnek
Günlük Hayattan Örnek
Bir okulda, öğrenciler 4'erli gruplar halinde veya 6'şarlı gruplar halinde etkinliklere katılabiliyorlar. Okuldaki toplam öğrenci sayısı hem 4'e hem de 6'ya tam bölünebildiğine göre, öğrenci sayısı en az kaç olabilir? 🏫
Çözüm ve Açıklama
Bu durumda, okulun toplam öğrenci sayısının hem 4'ün hem de 6'nın bir katı olması gerekiyor. En az öğrenci sayısı sorulduğu için 4 ve 6'nın en küçük ortak katını (EKOK) bulmalıyız.
Adım 1: 4 ve 6 sayılarının asal çarpanlarını bulalım.
4 = \( 2^2 \)
6 = \( 2 \times 3 \)
Adım 2: EKOK'u bulmak için, ortak olan ve olmayan tüm asal çarpanların en yüksek üslerini alıp çarparız.
EKOK(4, 6) = \( 2^2 \times 3^1 \)
Adım 3: Hesaplamayı yapalım.
EKOK(4, 6) = \( 4 \times 3 = 12 \)
Yani, okulun toplam öğrenci sayısı en az 12 olabilir. Bu, 12 öğrencinin 3 grup (4'erli) veya 2 grup (6'şarlı) halinde etkinliklere katılabileceği anlamına gelir. 🧑🤝🧑
10. Sınıf Matematik: Doğal Sayıların Asal Çarpanları ve Bölenleri Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
120 sayısının asal çarpanlarını bulunuz. 💡
Çözüm:
120 sayısının asal çarpanlarını bulmak için öncelikle sayıyı asal çarpanlarına ayırmamız gerekir.
Adım 1: Sayıyı en küçük asal sayıdan başlayarak bölmeye başlayın.
Adım 2: 120 ÷ 2 = 60
60 ÷ 2 = 30
30 ÷ 2 = 15
Adım 3: 2'ye bölünemeyen 15'i bir sonraki asal sayı olan 3'e bölün.
15 ÷ 3 = 5
Adım 4: 5 asal bir sayıdır, bu yüzden kendisine bölünür.
5 ÷ 5 = 1
Bu durumda 120 sayısının asal çarpanlarına ayrılmış hali \( 2^3 \times 3^1 \times 5^1 \) şeklindedir. Dolayısıyla 120 sayısının asal çarpanları 2, 3 ve 5'tir. ✅
Örnek 2:
360 sayısının pozitif bölenlerinin sayısını bulunuz. 📌
Çözüm:
Bir sayının pozitif bölenlerinin sayısını bulmak için öncelikle sayıyı asal çarpanlarına ayırırız. Ardından, asal çarpanların üslerini birer artırıp çarparız.
Adım 1: 360 sayısını asal çarpanlarına ayıralım.
360 ÷ 2 = 180
180 ÷ 2 = 90
90 ÷ 2 = 45
45 ÷ 3 = 15
15 ÷ 3 = 5
5 ÷ 5 = 1
Adım 2: 360 sayısının asal çarpanlarına ayrılmış hali \( 2^3 \times 3^2 \times 5^1 \) şeklindedir.
Adım 3: Asal çarpanların üslerini birer artıralım:
\( (3+1) \times (2+1) \times (1+1) \)
Adım 4: Elde ettiğimiz sayıları çarpalım:
\( 4 \times 3 \times 2 = 24 \)
Bu nedenle, 360 sayısının pozitif bölenlerinin sayısı 24'tür. 👉
Örnek 3:
Bir sepetteki elmaların sayısı 200 ile 300 arasındadır. Bu elmalar 12'şerli gruplandığında hiç artmıyor ve 18'erli gruplandığında ise 6 elma artıyor. Sepetteki elma sayısı en az kaç olabilir? 🤔
Çözüm:
Bu problemi çözmek için verilen bilgileri matematiksel ifadelere dökelim:
Elma sayısı \( N \) olsun.
\( 200 < N < 300 \)
12'şerli gruplandığında artmadığına göre, \( N \), 12'nin bir katıdır. Yani \( N = 12k \) (k bir tam sayı).
18'erli gruplandığında 6 elma arttığına göre, \( N \equiv 6 \pmod{18} \). Bu da \( N = 18m + 6 \) (m bir tam sayı) anlamına gelir.
Adım 1: \( N = 12k \) ve \( N = 18m + 6 \) eşitliklerini birleştirelim.
\( 12k = 18m + 6 \)
Her tarafı 6'ya bölelim: \( 2k = 3m + 1 \)
Adım 2: \( 2k = 3m + 1 \) denklemini sağlayan en küçük pozitif tam sayıları bulalım.
Eğer \( m=1 \) ise \( 2k = 3(1) + 1 = 4 \implies k=2 \). Bu durumda \( N = 12 \times 2 = 24 \). Ancak bu 200'den küçük.
Eğer \( m=3 \) ise \( 2k = 3(3) + 1 = 10 \implies k=5 \). Bu durumda \( N = 12 \times 5 = 60 \).
Eğer \( m=5 \) ise \( 2k = 3(5) + 1 = 16 \implies k=8 \). Bu durumda \( N = 12 \times 8 = 96 \).
Eğer \( m=7 \) ise \( 2k = 3(7) + 1 = 22 \implies k=11 \). Bu durumda \( N = 12 \times 11 = 132 \).
Eğer \( m=9 \) ise \( 2k = 3(9) + 1 = 28 \implies k=14 \). Bu durumda \( N = 12 \times 14 = 168 \).
Eğer \( m=11 \) ise \( 2k = 3(11) + 1 = 34 \implies k=17 \). Bu durumda \( N = 12 \times 17 = 204 \).
Adım 3: Bulduğumuz \( N \) değerleri arasında 200 ile 300 arasında olan en küçük değeri seçelim.
\( N=204 \) değeri \( 200 < 204 < 300 \) koşulunu sağlar.
Ayrıca \( 204 \div 18 = 11 \) kalan 6'dır.
Bu nedenle, sepetteki elma sayısı en az 204 olabilir. 🎉
Örnek 4:
Bir pastanede kekler 6'şarlı kutulanıyor ve börekler 8'erli paketleniyor. Hem kek hem de börek paketlerinin tam olarak dolması için en az kaç adet olması gerektiğini bulunuz. 🍰
Çözüm:
Bu soruda, hem 6'nın hem de 8'in ortak bir katını bulmamız gerekiyor. En az sayıda olması istendiği için en küçük ortak katı (EKOK) bulmalıyız.
Adım 1: 6 ve 8 sayılarının asal çarpanlarını bulalım.
6 = \( 2 \times 3 \)
8 = \( 2^3 \)
Adım 2: EKOK'u bulmak için, asal çarpanların en yüksek üslerini alıp çarpalım.
EKOK(6, 8) = \( 2^3 \times 3^1 \)
Adım 3: Hesaplamayı yapalım.
EKOK(6, 8) = \( 8 \times 3 = 24 \)
Dolayısıyla, hem kek hem de börek paketlerinin tam olarak dolması için en az 24 adet olması gerekir. Bu, 24 adet kekin 4 paket (6'şarlı) ve 24 adet böreğin 3 paket (8'li) yapılması anlamına gelir. 👍
Örnek 5:
72 sayısının pozitif bölenlerini listeleyiniz. 📝
Çözüm:
72 sayısının pozitif bölenlerini bulmak için, 72'yi tam bölen tüm pozitif tam sayıları sırayla bulmalıyız.
Adım 1: 1'den başlayarak 72'ye kadar olan sayıları deneyelim.
72 ÷ 1 = 72
72 ÷ 2 = 36
72 ÷ 3 = 24
72 ÷ 4 = 18
72 ÷ 6 = 12
72 ÷ 8 = 9
Adım 2: Bölme işlemi tam olarak gerçekleştiğinde, hem böleni hem de bölümü bölen olarak listeye ekleriz.
Bir sayının asal çarpanlarını bulmak için sayıyı asal çarpanlarına ayırmamız gerekir.
Adım 1: 450 sayısını en küçük asal sayıdan başlayarak bölelim.
450 ÷ 2 = 225
Adım 2: 225 sayısı 2'ye bölünmez. Bir sonraki asal sayı olan 3'e bölelim.
225 ÷ 3 = 75
75 ÷ 3 = 25
Adım 3: 25 sayısı 3'e bölünmez. Bir sonraki asal sayı olan 5'e bölelim.
25 ÷ 5 = 5
5 ÷ 5 = 1
Adım 4: 450 sayısının asal çarpanlarına ayrılmış hali \( 2^1 \times 3^2 \times 5^2 \) şeklindedir.
Bu sayının asal çarpanları 2, 3 ve 5'tir. Dolayısıyla, 450 sayısının 3 tane asal çarpanı vardır. 💯
Örnek 7:
Bir çiftçi, tarlasındaki domatesleri 15'erli kasalara veya 20'şerli çuvallara doldurabiliyor. Çiftçi, tarlasından topladığı domatesleri hiç artmayacak şekilde kasalara veya çuvallara doldurabildiğine göre, çiftçinin topladığı domates sayısı en az kaç olabilir? 🧑🌾
Çözüm:
Bu problemde, hem 15'in hem de 20'nin ortak bir katını bulmamız isteniyor. En az sayıda domates olması gerektiği için 15 ve 20'nin en küçük ortak katını (EKOK) bulmalıyız.
Adım 1: 15 ve 20 sayılarının asal çarpanlarını bulalım.
15 = \( 3 \times 5 \)
20 = \( 2^2 \times 5 \)
Adım 2: EKOK'u bulmak için, her iki sayının asal çarpanlarının en yüksek üslerini alıp çarparız.
EKOK(15, 20) = \( 2^2 \times 3^1 \times 5^1 \)
Adım 3: Hesaplamayı yapalım.
EKOK(15, 20) = \( 4 \times 3 \times 5 = 60 \)
Bu nedenle, çiftçinin topladığı domates sayısı en az 60 olabilir. Bu miktar, 4 kasa (15'erli) veya 3 çuval (20'şerli) domates anlamına gelir. 🧺
Örnek 8:
Bir okulda, öğrenciler 4'erli gruplar halinde veya 6'şarlı gruplar halinde etkinliklere katılabiliyorlar. Okuldaki toplam öğrenci sayısı hem 4'e hem de 6'ya tam bölünebildiğine göre, öğrenci sayısı en az kaç olabilir? 🏫
Çözüm:
Bu durumda, okulun toplam öğrenci sayısının hem 4'ün hem de 6'nın bir katı olması gerekiyor. En az öğrenci sayısı sorulduğu için 4 ve 6'nın en küçük ortak katını (EKOK) bulmalıyız.
Adım 1: 4 ve 6 sayılarının asal çarpanlarını bulalım.
4 = \( 2^2 \)
6 = \( 2 \times 3 \)
Adım 2: EKOK'u bulmak için, ortak olan ve olmayan tüm asal çarpanların en yüksek üslerini alıp çarparız.
EKOK(4, 6) = \( 2^2 \times 3^1 \)
Adım 3: Hesaplamayı yapalım.
EKOK(4, 6) = \( 4 \times 3 = 12 \)
Yani, okulun toplam öğrenci sayısı en az 12 olabilir. Bu, 12 öğrencinin 3 grup (4'erli) veya 2 grup (6'şarlı) halinde etkinliklere katılabileceği anlamına gelir. 🧑🤝🧑