💡 10. Sınıf Matematik: Doğal Sayıların Asal Çarpanları ve Bölenleri Çözümlü Örnekler

120 sayısının asal çarpanlarını bulmak için öncelikle sayıyı asal çarpanlarına ayırmamız gerekir.

• Adım 1: Sayıyı en küçük asal sayıdan başlayarak bölmeye başlayın.


• Adım 2: 120 ÷ 2 = 60
• 60 ÷ 2 = 30
• 30 ÷ 2 = 15


• Adım 3: 2'ye bölünemeyen 15'i bir sonraki asal sayı olan 3'e bölün.
• 15 ÷ 3 = 5


• Adım 4: 5 asal bir sayıdır, bu yüzden kendisine bölünür.
• 5 ÷ 5 = 1

Bu durumda 120 sayısının asal çarpanlarına ayrılmış hali \( 2^3 \times 3^1 \times 5^1 \) şeklindedir. Dolayısıyla 120 sayısının asal çarpanları 2, 3 ve 5'tir. ✅

Bir sayının pozitif bölenlerinin sayısını bulmak için öncelikle sayıyı asal çarpanlarına ayırırız. Ardından, asal çarpanların üslerini birer artırıp çarparız.

• Adım 1: 360 sayısını asal çarpanlarına ayıralım.


• 360 ÷ 2 = 180
• 180 ÷ 2 = 90
• 90 ÷ 2 = 45
• 45 ÷ 3 = 15
• 15 ÷ 3 = 5
• 5 ÷ 5 = 1


• Adım 2: 360 sayısının asal çarpanlarına ayrılmış hali \( 2^3 \times 3^2 \times 5^1 \) şeklindedir.


• Adım 3: Asal çarpanların üslerini birer artıralım:
• \( (3+1) \times (2+1) \times (1+1) \)


• Adım 4: Elde ettiğimiz sayıları çarpalım:
• \( 4 \times 3 \times 2 = 24 \)

Bu nedenle, 360 sayısının pozitif bölenlerinin sayısı 24'tür. 👉

Bu problemi çözmek için verilen bilgileri matematiksel ifadelere dökelim:

• Elma sayısı \( N \) olsun.
• \( 200 < N < 300 \)
• 12'şerli gruplandığında artmadığına göre, \( N \), 12'nin bir katıdır. Yani \( N = 12k \) (k bir tam sayı).
• 18'erli gruplandığında 6 elma arttığına göre, \( N \equiv 6 \pmod{18} \). Bu da \( N = 18m + 6 \) (m bir tam sayı) anlamına gelir.


• Adım 1: \( N = 12k \) ve \( N = 18m + 6 \) eşitliklerini birleştirelim.
• \( 12k = 18m + 6 \)
• Her tarafı 6'ya bölelim: \( 2k = 3m + 1 \)


• Adım 2: \( 2k = 3m + 1 \) denklemini sağlayan en küçük pozitif tam sayıları bulalım.
• Eğer \( m=1 \) ise \( 2k = 3(1) + 1 = 4 \implies k=2 \). Bu durumda \( N = 12 \times 2 = 24 \). Ancak bu 200'den küçük.
• Eğer \( m=3 \) ise \( 2k = 3(3) + 1 = 10 \implies k=5 \). Bu durumda \( N = 12 \times 5 = 60 \).
• Eğer \( m=5 \) ise \( 2k = 3(5) + 1 = 16 \implies k=8 \). Bu durumda \( N = 12 \times 8 = 96 \).
• Eğer \( m=7 \) ise \( 2k = 3(7) + 1 = 22 \implies k=11 \). Bu durumda \( N = 12 \times 11 = 132 \).
• Eğer \( m=9 \) ise \( 2k = 3(9) + 1 = 28 \implies k=14 \). Bu durumda \( N = 12 \times 14 = 168 \).
• Eğer \( m=11 \) ise \( 2k = 3(11) + 1 = 34 \implies k=17 \). Bu durumda \( N = 12 \times 17 = 204 \).


• Adım 3: Bulduğumuz \( N \) değerleri arasında 200 ile 300 arasında olan en küçük değeri seçelim.
• \( N=204 \) değeri \( 200 < 204 < 300 \) koşulunu sağlar.
• Ayrıca \( 204 \div 18 = 11 \) kalan 6'dır.

Bu nedenle, sepetteki elma sayısı en az 204 olabilir. 🎉

Bu soruda, hem 6'nın hem de 8'in ortak bir katını bulmamız gerekiyor. En az sayıda olması istendiği için en küçük ortak katı (EKOK) bulmalıyız.

• Adım 1: 6 ve 8 sayılarının asal çarpanlarını bulalım.


• 6 = \( 2 \times 3 \)
• 8 = \( 2^3 \)


• Adım 2: EKOK'u bulmak için, asal çarpanların en yüksek üslerini alıp çarpalım.
• EKOK(6, 8) = \( 2^3 \times 3^1 \)


• Adım 3: Hesaplamayı yapalım.
• EKOK(6, 8) = \( 8 \times 3 = 24 \)

Dolayısıyla, hem kek hem de börek paketlerinin tam olarak dolması için en az 24 adet olması gerekir. Bu, 24 adet kekin 4 paket (6'şarlı) ve 24 adet böreğin 3 paket (8'li) yapılması anlamına gelir. 👍

72 sayısının pozitif bölenlerini bulmak için, 72'yi tam bölen tüm pozitif tam sayıları sırayla bulmalıyız.

• Adım 1: 1'den başlayarak 72'ye kadar olan sayıları deneyelim.


• 72 ÷ 1 = 72
• 72 ÷ 2 = 36
• 72 ÷ 3 = 24
• 72 ÷ 4 = 18
• 72 ÷ 6 = 12
• 72 ÷ 8 = 9


• Adım 2: Bölme işlemi tam olarak gerçekleştiğinde, hem böleni hem de bölümü bölen olarak listeye ekleriz.
• 72 ÷ 9 = 8 (9 ve 8'i zaten bulduk)
• 72 ÷ 12 = 6 (12 ve 6'yı zaten bulduk)

72 sayısının pozitif bölenleri şunlardır: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 72. ✨

Bir sayının asal çarpanlarını bulmak için sayıyı asal çarpanlarına ayırmamız gerekir.

• Adım 1: 450 sayısını en küçük asal sayıdan başlayarak bölelim.


• 450 ÷ 2 = 225


• Adım 2: 225 sayısı 2'ye bölünmez. Bir sonraki asal sayı olan 3'e bölelim.
• 225 ÷ 3 = 75
• 75 ÷ 3 = 25


• Adım 3: 25 sayısı 3'e bölünmez. Bir sonraki asal sayı olan 5'e bölelim.
• 25 ÷ 5 = 5
• 5 ÷ 5 = 1


• Adım 4: 450 sayısının asal çarpanlarına ayrılmış hali \( 2^1 \times 3^2 \times 5^2 \) şeklindedir.

Bu sayının asal çarpanları 2, 3 ve 5'tir. Dolayısıyla, 450 sayısının 3 tane asal çarpanı vardır. 💯

Bu problemde, hem 15'in hem de 20'nin ortak bir katını bulmamız isteniyor. En az sayıda domates olması gerektiği için 15 ve 20'nin en küçük ortak katını (EKOK) bulmalıyız.

• Adım 1: 15 ve 20 sayılarının asal çarpanlarını bulalım.


• 15 = \( 3 \times 5 \)
• 20 = \( 2^2 \times 5 \)


• Adım 2: EKOK'u bulmak için, her iki sayının asal çarpanlarının en yüksek üslerini alıp çarparız.
• EKOK(15, 20) = \( 2^2 \times 3^1 \times 5^1 \)


• Adım 3: Hesaplamayı yapalım.
• EKOK(15, 20) = \( 4 \times 3 \times 5 = 60 \)

Bu nedenle, çiftçinin topladığı domates sayısı en az 60 olabilir. Bu miktar, 4 kasa (15'erli) veya 3 çuval (20'şerli) domates anlamına gelir. 🧺

Bu durumda, okulun toplam öğrenci sayısının hem 4'ün hem de 6'nın bir katı olması gerekiyor. En az öğrenci sayısı sorulduğu için 4 ve 6'nın en küçük ortak katını (EKOK) bulmalıyız.

• Adım 1: 4 ve 6 sayılarının asal çarpanlarını bulalım.


• 4 = \( 2^2 \)
• 6 = \( 2 \times 3 \)


• Adım 2: EKOK'u bulmak için, ortak olan ve olmayan tüm asal çarpanların en yüksek üslerini alıp çarparız.
• EKOK(4, 6) = \( 2^2 \times 3^1 \)


• Adım 3: Hesaplamayı yapalım.
• EKOK(4, 6) = \( 4 \times 3 = 12 \)

Yani, okulun toplam öğrenci sayısı en az 12 olabilir. Bu, 12 öğrencinin 3 grup (4'erli) veya 2 grup (6'şarlı) halinde etkinliklere katılabileceği anlamına gelir. 🧑‍🤝‍🧑