🎓 10. Sınıf
📚 10. Sınıf Matematik
💡 10. Sınıf Matematik: Doğal Sayılar ve Çarpanları İle Bölenleri Arasındaki İlişkiler Çözümlü Örnekler
10. Sınıf Matematik: Doğal Sayılar ve Çarpanları İle Bölenleri Arasındaki İlişkiler Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
120 sayısının pozitif tam bölenlerini bulunuz. 💡
Çözüm:
120 sayısının pozitif tam bölenlerini bulmak için öncelikle sayıyı asal çarpanlarına ayırmalıyız.
- Asal Çarpanlara Ayırma: \( 120 = 2^3 \times 3^1 \times 5^1 \)
- Bölen Sayısını Bulma: Asal çarpanların üslerini birer artırıp çarparak pozitif tam bölen sayısını buluruz. \( (3+1) \times (1+1) \times (1+1) = 4 \times 2 \times 2 = 16 \)
- Bölenleri Listeleme: Asal çarpanların farklı kombinasyonlarını oluşturarak bölenleri bulabiliriz. Bu bölenler şunlardır: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 20, 24, 30, 40, 60, 120. ✅
Örnek 2:
24 sayısının pozitif tam bölenlerinin toplamını bulunuz. ➕
Çözüm:
24 sayısının pozitif tam bölenlerinin toplamını bulmak için asal çarpanlarına ayırma yöntemini kullanırız.
- Asal Çarpanlara Ayırma: \( 24 = 2^3 \times 3^1 \)
- Bölen Toplamı Formülü: Asal çarpanlara ayrılmış bir \( n = p_1^{a_1} \times p_2^{a_2} \times \dots \times p_k^{a_k} \) sayısının pozitif tam bölenlerinin toplamı şu formülle bulunur: \( (1 + p_1 + p_1^2 + \dots + p_1^{a_1}) \times (1 + p_2 + p_2^2 + \dots + p_2^{a_2}) \times \dots \times (1 + p_k + p_k^2 + \dots + p_k^{a_k}) \)
- Uygulama: \( (1 + 2 + 2^2 + 2^3) \times (1 + 3^1) = (1 + 2 + 4 + 8) \times (1 + 3) = 15 \times 4 = 60 \)
Örnek 3:
Bir sepetteki elmalar, 3'erli gruplandığında 2 elma artıyor, 5'erli gruplandığında ise 3 elma artıyor. Sepetteki elma sayısı 100'den az olduğuna göre, bu sayı en fazla kaç olabilir? 🍎
Çözüm:
Bu tür problemler, bölünebilme kuralları ve kalanlı bölme kavramlarını içerir.
- Problemi Matematiksel İfade Etme: Elma sayısını \( x \) ile gösterirsek, verilen bilgiler şu şekilde ifade edilebilir:
\( x \equiv 2 \pmod{3} \) (x'in 3'e bölümünden kalan 2'dir.)
\( x \equiv 3 \pmod{5} \) (x'in 5'e bölümünden kalan 3'tür.) - Kalanları Eşitleme Yöntemi: Kalanları eşitlemek için sayılarla oynayalım. İlk ifadeyi 5 ile, ikinci ifadeyi 3 ile çarparsak (veya uygun sayılar ekleyip çıkarırsak) ortak bir noktaya ulaşabiliriz.
\( x \equiv 2 \pmod{3} \implies x+1 \equiv 3 \equiv 0 \pmod{3} \) (x+1 sayısı 3'ün katıdır.)
\( x \equiv 3 \pmod{5} \implies x+2 \equiv 5 \equiv 0 \pmod{5} \) (x+2 sayısı 5'in katıdır.)
Bu yöntem doğrudan işe yaramadı. Farklı bir yaklaşım deneyelim.
\( x = 3k + 2 \) ve \( x = 5m + 3 \) - Ortak Katları Bulma: İlk denklemden \( x \) yerine \( 3k+2 \) koyalım: \( 3k + 2 = 5m + 3 \implies 3k = 5m + 1 \). Buradan \( k \) ve \( m \) tam sayıları için çözümler bulmalıyız. \( m=1 \) için \( 3k=6 \implies k=2 \). Bu durumda \( x = 3(2) + 2 = 8 \). Kontrol edelim: \( 8 \div 3 = 2 \) kalan 2, \( 8 \div 5 = 1 \) kalan 3. Bu bir çözümdür.
- Genel Çözüm: \( x \) sayısı hem 3'e hem de 5'e bölündüğünde belirli kalanları veren sayılardır. Bu tür problemler genellikle \( x \equiv a \pmod{n} \) ve \( x \equiv b \pmod{m} \) şeklindedir. Eğer \( a+c \) ve \( b+c \) ortak bir kat ise, \( x+c \) bu ortak katın katı olur. Bizim örneğimizde \( x \equiv 2 \pmod{3} \) ve \( x \equiv 3 \pmod{5} \) idi. Eğer \( x+7 \) düşünürsek, \( x+7 \equiv 2+7 \equiv 9 \equiv 0 \pmod{3} \) ve \( x+7 \equiv 3+7 \equiv 10 \equiv 0 \pmod{5} \). Yani \( x+7 \) sayısı hem 3'ün hem de 5'in katıdır. Dolayısıyla \( x+7 \), 3 ve 5'in en küçük ortak katı olan 15'in katı olmalıdır. \( x+7 = 15n \implies x = 15n - 7 \).
- En Büyük Değeri Bulma: \( x < 100 \) koşulunu sağlayan en büyük \( x \) değerini bulalım.
\( 15n - 7 < 100 \implies 15n < 107 \). \( n \) tam sayısı için \( 15 \times 7 = 105 \) olduğundan, \( n=7 \) en büyük değerdir.
\( x = 15 \times 7 - 7 = 105 - 7 = 98 \).
Örnek 4:
Bir pastanede kekler 6'lı paketler halinde satılmaktadır. Bir müşteri, sipariş ettiği keklerin 4'ünü arkadaşlarına dağıttığında elinde 2 kek kaldığını söylüyor. Bu müşterinin sipariş ettiği toplam kek sayısı en az kaç olabilir? 🎂
Çözüm:
Bu problemde de bölünebilme ve kalan kavramları kullanılmaktadır.
- Problemi Anlama: Müşteri \( x \) kek sipariş etmiştir. Bu \( x \) kek, 6'lı paketler halinde satıldığına göre \( x \) sayısı 6'nın bir katı olmalıdır. Yani \( x = 6k \) şeklinde yazılabilir.
- Dağıtım Sonrası Kalan: Müşteri 4 kek dağıttığında elinde 2 kek kalıyor. Bu, sipariş edilen toplam kek sayısının 4 fazlasının 2'ye eşit olduğu anlamına gelmez. Bu, dağıttıktan sonra kalan miktarı ifade eder.
- Matematiksel İfade: Sipariş edilen kek sayısı \( x \) olsun. Müşteri 4 kek dağıttığında 2 kek kalıyorsa, bu durumda sipariş edilen kek sayısı \( x \) , 4'e bölündüğünde 2 kalanını verir. \( x \equiv 2 \pmod{4} \).
- Ortak Koşulları Sağlama: Hem \( x \) sayısı 6'nın katı olmalı hem de 4'e bölündüğünde 2 kalanını vermelidir.
\( x = 6k \) ve \( x = 4m + 2 \) - Değerleri Deneme: \( x \) için 6'nın katlarını deneyelim ve 4'e bölümünden kalanı kontrol edelim:
\( x=6 \implies 6 \div 4 = 1 \) kalan 2. ✅ - En Az Değeri Bulma: Sipariş edilen kek sayısı en az 6 olabilir.
Örnek 5:
\( n \) bir doğal sayı olmak üzere, \( 3^n \times 5^{n-1} \times 7^2 \) sayısının 18 tane pozitif tam böleni olduğuna göre, \( n \) kaçtır? 🤔
Çözüm:
Bir sayının pozitif tam bölen sayısını bulmak için asal çarpanlarına ayırma yöntemini kullanırız.
- Verilen Sayı: \( A = 3^n \times 5^{n-1} \times 7^2 \)
- Bölen Sayısı Formülü: Eğer bir sayının asal çarpanlarına ayrılmış hali \( p_1^{a_1} \times p_2^{a_2} \times \dots \times p_k^{a_k} \) ise, pozitif tam bölen sayısı \( (a_1+1)(a_2+1)\dots(a_k+1) \) formülüyle bulunur.
- Uygulama: Sayımızın asal çarpanları 3, 5 ve 7'dir. Üsleri sırasıyla \( n \), \( n-1 \) ve 2'dir.
- Bölen Sayısını Hesaplama: Bölen sayısı \( (n+1) \times ((n-1)+1) \times (2+1) \) olmalıdır.
- Denklemi Kurma: Soruda bölen sayısının 18 olduğu verilmiş. O halde:
\( (n+1) \times (n-1+1) \times (2+1) = 18 \) - Denklemi Sadeleştirme ve Çözme: \( (n+1) \times n \times 3 = 18 \) \( n(n+1) \times 3 = 18 \) \( n(n+1) = 6 \)
- Değer Bulma: Ardışık iki doğal sayının çarpımının 6 olduğu durumları düşünelim. \( n=2 \) için \( 2 \times (2+1) = 2 \times 3 = 6 \) olur.
Örnek 6:
72 sayısının asal çarpanları nelerdir? 🔍
Çözüm:
Bir sayının asal çarpanlarını bulmak için sayıyı sırasıyla en küçük asal sayılardan başlayarak böleriz.
- Asal Çarpanlara Ayırma: \( 72 \div 2 = 36 \) \( 36 \div 2 = 18 \) \( 18 \div 2 = 9 \) \( 9 \div 3 = 3 \) \( 3 \div 3 = 1 \)
- Asal Çarpanları Belirleme: Bölme işleminde kullandığımız asal sayılar 2 ve 3'tür.
Örnek 7:
\( 100 \) sayısının pozitif tam bölenlerinin kaç tanesi çift sayıdır? 🔢
Çözüm:
Bir sayının çift bölenlerini bulmak için öncelikle sayıyı asal çarpanlarına ayırmalıyız.
- Asal Çarpanlara Ayırma: \( 100 = 2^2 \times 5^2 \)
- Çift Bölenleri Anlama: Bir bölenin çift olabilmesi için asal çarpanları arasında en az bir tane 2 çarpanı bulunmalıdır.
- Çift Bölenleri Oluşturma: Sayının çift bölenleri \( 2^a \times 5^b \) şeklinde yazılabilir. Burada \( a \) değeri 1, 2 olabilir (çünkü \( 2^0 \) çift bölen oluşturmaz) ve \( b \) değeri 0, 1, 2 olabilir.
- Çift Bölen Sayısını Hesaplama: \( a \) için 2 seçenek (1 ve 2) ve \( b \) için 3 seçenek (0, 1 ve 2) vardır. Bu seçenekleri çarparak çift bölen sayısını buluruz: \( 2 \times 3 = 6 \).
- Alternatif Yöntem: Toplam bölen sayısından tek bölen sayısını çıkarabiliriz. Tek bölenler sadece 5'in kuvvetleri şeklinde oluşur: \( 5^0, 5^1, 5^2 \). Tek bölen sayısı \( (2+1) = 3 \) tanedir. Toplam bölen sayısı \( (2+1)(2+1) = 3 \times 3 = 9 \) tanedir. Çift bölen sayısı = Toplam bölen sayısı - Tek bölen sayısı = \( 9 - 3 = 6 \).
Örnek 8:
Bir çiftçi, tarlasındaki ürünleri 8'li kasalara veya 12'li kasalara tam olarak yerleştirebilmektedir. Çiftçinin topladığı ürün sayısı 100'den fazla ve 150'den az olduğuna göre, bu sayı en az kaç olabilir? 🌾
Çözüm:
Bu problem, sayının birden fazla sayının ortak katı olma durumunu inceler.
- Problemi Matematiksel İfade Etme: Çiftçinin topladığı ürün sayısını \( x \) ile gösterelim. Ürünler hem 8'li kasalara hem de 12'li kasalara tam olarak yerleştirilebildiğine göre, \( x \) sayısı hem 8'in hem de 12'nin bir katı olmalıdır.
- Ortak Katları Bulma: \( x \) sayısı, 8 ve 12'nin en küçük ortak katı (EKOK) olan sayının katı olmalıdır.
EKOK(8, 12) Hesaplanması:
\( 8 = 2^3 \)
\( 12 = 2^2 \times 3^1 \)
EKOK(8, 12) = \( 2^3 \times 3^1 = 8 \times 3 = 24 \). - Ürün Sayısının Katları: Dolayısıyla, \( x \) sayısı 24'ün katı olmalıdır. \( x = 24k \), burada \( k \) bir doğal sayıdır.
- Verilen Aralığı Kullanma: Soruda ürün sayısının 100'den fazla ve 150'den az olduğu belirtilmiş. Yani \( 100 < x < 150 \).
- En Az Değeri Bulma: 24'ün katlarını deneyerek bu aralığa düşen en küçük sayıyı bulalım:
\( 24 \times 1 = 24 \)
\( 24 \times 2 = 48 \)
\( 24 \times 3 = 72 \)
\( 24 \times 4 = 96 \)
\( 24 \times 5 = 120 \). Bu değer aralığa düşmektedir (100 < 120 < 150).
\( 24 \times 6 = 144 \). Bu değer de aralığa düşmektedir. - En Küçük Değeri Seçme: Aralıktaki en küçük değer 120'dir.
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/10-sinif-matematik-dogal-sayilar-ve-carpanlari-ile-bolenleri-arasindaki-iliskiler/sorular