💡 10. Sınıf Matematik: Doğal Sayılar ile Asal Çarpanları ve Bölenleri Arasındaki İlişki Çözümlü Örnekler

Bir sayının asal çarpanlarını bulmak için o sayıyı asal çarpanlarına ayırmamız gerekir.

• Adım 1: Sayıyı en küçük asal sayıdan başlayarak bölmeye başlayın.
• Adım 2: Bölüm asal bir sayı olana kadar devam edin.

120 sayısını asal çarpanlarına ayıralım:

120 ÷ 2 = 60

60 ÷ 2 = 30

30 ÷ 2 = 15

15 ÷ 3 = 5

5 ÷ 5 = 1

Bu durumda 120 sayısının asal çarpanları 2, 3 ve 5'tir. 🚀

Bir sayının pozitif tam bölenlerinin sayısını bulmak için öncelikle sayıyı asal çarpanlarına ayırmalıyız.

• Adım 1: 72 sayısını asal çarpanlarına ayırın.
• Adım 2: Asal çarpanların üslerini birer artırıp çarpın.

72 sayısının asal çarpanlarına ayrılmış hali:

72 = 2 × 36 = 2 × 2 × 18 = 2 × 2 × 2 × 9 = 2³ × 3²

Şimdi asal çarpanların üslerini birer artıralım:

Üsler sırasıyla 3 ve 2'dir.

(3 + 1) × (2 + 1) = 4 × 3 = 12

Bu nedenle, 72 sayısının 12 tane pozitif tam böleni vardır. ✅

Önce 150 sayısını asal çarpanlarına ayırmamız gerekiyor.

• Adım 1: 150 sayısını en küçük asal sayıdan başlayarak bölelim.

150 ÷ 2 = 75

75 ÷ 3 = 25

25 ÷ 5 = 5

5 ÷ 5 = 1

150 sayısının asal çarpanlarına ayrılmış hali 2¹ × 3¹ × 5² şeklindedir.

Bu sayının asal çarpanları 2, 3 ve 5'tir.

Dolayısıyla, 150 sayısının 3 tane asal çarpanı vardır.

Asal çarpanların toplamı: 2 + 3 + 5 = 10'dur. 💯

Bu soruda, sepetteki elma sayısının 2, 3 ve 5'in ortak katı olması gerektiğini anlıyoruz.

• Adım 1: 2, 3 ve 5 sayılarının en küçük ortak katını (EKOK) bulunuz.
• Adım 2: Bulduğunuz EKOK'un 100'den küçük en büyük katını bulunuz.

2, 3 ve 5 asal sayılar olduğu için EKOK'ları bu sayıların çarpımına eşittir:

EKOK(2, 3, 5) = 2 × 3 × 5 = 30

Şimdi 30'un 100'den küçük en büyük katını bulalım:

30 × 1 = 30

30 × 2 = 60

30 × 3 = 90

30 × 4 = 120 (Bu 100'den büyük)

Bu nedenle, sepetteki elma sayısı en fazla 90 olabilir. 👍

Bu durum, manavın elindeki portakal sayısının 6, 8 ve 10'un ortak bir katı olması gerektiğini gösterir. En az portakal sayısını bulmak için bu sayıların en küçük ortak katını (EKOK) hesaplamalıyız.

• Adım 1: 6, 8 ve 10 sayılarının asal çarpanlarını bulunuz.
• Adım 2: Her asal çarpanın en yüksek üssünü alarak çarpınız.

Asal çarpanlara ayırma:

6 = 2 × 3

8 = 2³

10 = 2 × 5

EKOK(6, 8, 10) için tabanları (2, 3, 5) ve üsleri (en yüksek olanları) alırız:

EKOK(6, 8, 10) = 2³ × 3¹ × 5¹ = 8 × 3 × 5 = 120

Manavın elinde en az 120 portakal vardır. 📦

Bir sayının çift bölenlerini bulmak için o sayının asal çarpanlarına ayrılmış halini kullanırız ve çift bölenlerin sayısını hesaplarız.

• Adım 1: 360 sayısını asal çarpanlarına ayırın.
• Adım 2: Çift bölenleri bulmak için 2'nin üssünü sabit tutup diğer asal çarpanların üslerini bir artırıp çarpın.

360 sayısının asal çarpanlarına ayrılmış hali:

360 = 36 × 10 = (6²) × (2 × 5) = (2 × 3)² × 2 × 5 = 2² × 3² × 2 × 5 = 2³ × 3² × 5¹

Çift bölenler, 2 çarpanını mutlaka içermelidir. Bu nedenle, 2'nin üssünü 1 olarak sabit tutarız (yani 2¹ çarpanı olmalı) ve diğer asal çarpanların (3 ve 5) üslerini birer artırırız.

2'nin üssü 3'tür. Çift bölenler için 2'nin üssü en az 1 olmalıdır. Bölenin çift olması için 2 çarpanı olmalı.

Çift bölen sayısını bulmak için, 2'nin üssünü (3) sabit tutarak diğer asal çarpanların üslerini birer artırıp çarparız: (3) × (2+1) × (1+1) = 3 × 3 × 2 = 18.

Alternatif olarak, toplam bölen sayısından tek bölen sayısını çıkarabiliriz.

Toplam bölen sayısı: (3+1) × (2+1) × (1+1) = 4 × 3 × 2 = 24.

Tek bölenler sadece tek asal çarpanlardan oluşur. Yani 2 çarpanı olmaz: (2+1) × (1+1) = 3 × 2 = 6.

Çift bölen sayısı = Toplam bölen sayısı - Tek bölen sayısı = 24 - 6 = 18.

360 sayısının 18 tane çift böleni vardır. ⚙️

Programın çıktısını verebilmek için 840 sayısını asal çarpanlarına ayırmalı ve her asal çarpanın kaç kez tekrar ettiğini belirlemeliyiz.

• Adım 1: 840 sayısını asal çarpanlarına ayırın.
• Adım 2: Her asal çarpanın kaç adet olduğunu sayın.

840 sayısını asal çarpanlarına ayıralım:

840 ÷ 2 = 420

420 ÷ 2 = 210

210 ÷ 2 = 105

105 ÷ 3 = 35

35 ÷ 5 = 7

7 ÷ 7 = 1

840 sayısının asal çarpanlarına ayrılmış hali 2³ × 3¹ × 5¹ × 7¹ şeklindedir.

Programın çıktısı şu şekilde olacaktır:

Asal Çarpanlar:
2: 3 kez
3: 1 kez
5: 1 kez
7: 1 kez

Bu, programın 840 sayısının asal çarpanlarını ve tekrar sayılarını doğru bir şekilde listelediğini gösterir. 📊

Bir sayının pozitif tam bölenlerini bulmak için, o sayıyı kalansız bölen tüm pozitif tam sayıları listelememiz gerekir.

• Adım 1: 1'den başlayarak 48'e kadar olan sayıları deneyin.
• Adım 2: 48'i tam bölen sayıları not alın.

48'i tam bölen sayılar şunlardır:

48 ÷ 1 = 48

48 ÷ 2 = 24

48 ÷ 3 = 16

48 ÷ 4 = 12

48 ÷ 6 = 8

48 ÷ 8 = 6

48 ÷ 12 = 4

48 ÷ 16 = 3

48 ÷ 24 = 2

48 ÷ 48 = 1

Bu nedenle, 48 sayısının pozitif tam bölenlerinin kümesi şudur: {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48}. 🌟

Bu problemde, fındık sayısının 4, 6 ve 9'un ortak katı olması gerektiğini anlıyoruz. En az fındık sayısını bulmak için bu sayıların en küçük ortak katını (EKOK) hesaplamalıyız.

• Adım 1: 4, 6 ve 9 sayılarının asal çarpanlarını bulunuz.
• Adım 2: Her asal çarpanın en yüksek üssünü alarak çarpınız.

Asal çarpanlara ayırma:

4 = 2²

6 = 2 × 3

9 = 3²

EKOK(4, 6, 9) için tabanları (2, 3) ve üsleri (en yüksek olanları) alırız:

EKOK(4, 6, 9) = 2² × 3² = 4 × 9 = 36

Bu gruptaki fındık sayısı en az 36 olabilir. 🐿️