Bu nedenle, 72 sayısının 12 tane pozitif tam böleni vardır. ✅
3
Çözümlü Örnek
Orta Seviye
150 sayısının kaç tane asal çarpanı olduğunu ve bu asal çarpanların toplamını bulunuz. 🧐
Çözüm ve Açıklama
Önce 150 sayısını asal çarpanlarına ayırmamız gerekiyor.
Adım 1: 150 sayısını en küçük asal sayıdan başlayarak bölelim.
150 ÷ 2 = 75
75 ÷ 3 = 25
25 ÷ 5 = 5
5 ÷ 5 = 1
150 sayısının asal çarpanlarına ayrılmış hali 2¹ × 3¹ × 5² şeklindedir.
Bu sayının asal çarpanları 2, 3 ve 5'tir.
Dolayısıyla, 150 sayısının 3 tane asal çarpanı vardır.
Asal çarpanların toplamı: 2 + 3 + 5 = 10'dur. 💯
4
Çözümlü Örnek
Yeni Nesil Soru
Bir sepetteki elmalar 2, 3 veya 5'erli gruplandığında hiç elma artmamaktadır. Sepetteki elma sayısı 100'den az olduğuna göre, sepetteki elma sayısı en fazla kaç olabilir? 🍎
Çözüm ve Açıklama
Bu soruda, sepetteki elma sayısının 2, 3 ve 5'in ortak katı olması gerektiğini anlıyoruz.
Adım 1: 2, 3 ve 5 sayılarının en küçük ortak katını (EKOK) bulunuz.
Adım 2: Bulduğunuz EKOK'un 100'den küçük en büyük katını bulunuz.
2, 3 ve 5 asal sayılar olduğu için EKOK'ları bu sayıların çarpımına eşittir:
EKOK(2, 3, 5) = 2 × 3 × 5 = 30
Şimdi 30'un 100'den küçük en büyük katını bulalım:
30 × 1 = 30
30 × 2 = 60
30 × 3 = 90
30 × 4 = 120 (Bu 100'den büyük)
Bu nedenle, sepetteki elma sayısı en fazla 90 olabilir. 👍
5
Çözümlü Örnek
Günlük Hayattan Örnek
Bir manav, elindeki portakalları 6'şarlı, 8'erli ve 10'arlı paketlediğinde hiç portakal artmıyor. Manavın elinde en az kaç portakal vardır? 🍊
Çözüm ve Açıklama
Bu durum, manavın elindeki portakal sayısının 6, 8 ve 10'un ortak bir katı olması gerektiğini gösterir. En az portakal sayısını bulmak için bu sayıların en küçük ortak katını (EKOK) hesaplamalıyız.
Adım 1: 6, 8 ve 10 sayılarının asal çarpanlarını bulunuz.
Adım 2: Her asal çarpanın en yüksek üssünü alarak çarpınız.
Asal çarpanlara ayırma:
6 = 2 × 3
8 = 2³
10 = 2 × 5
EKOK(6, 8, 10) için tabanları (2, 3, 5) ve üsleri (en yüksek olanları) alırız:
EKOK(6, 8, 10) = 2³ × 3¹ × 5¹ = 8 × 3 × 5 = 120
Manavın elinde en az 120 portakal vardır. 📦
6
Çözümlü Örnek
Zor Seviye
360 sayısının pozitif tam bölenlerinin kaç tanesinin çift olduğunu bulunuz. 🔢
Çözüm ve Açıklama
Bir sayının çift bölenlerini bulmak için o sayının asal çarpanlarına ayrılmış halini kullanırız ve çift bölenlerin sayısını hesaplarız.
Adım 1: 360 sayısını asal çarpanlarına ayırın.
Adım 2: Çift bölenleri bulmak için 2'nin üssünü sabit tutup diğer asal çarpanların üslerini bir artırıp çarpın.
Çift bölenler, 2 çarpanını mutlaka içermelidir. Bu nedenle, 2'nin üssünü 1 olarak sabit tutarız (yani 2¹ çarpanı olmalı) ve diğer asal çarpanların (3 ve 5) üslerini birer artırırız.
2'nin üssü 3'tür. Çift bölenler için 2'nin üssü en az 1 olmalıdır. Bölenin çift olması için 2 çarpanı olmalı.
Çift bölen sayısını bulmak için, 2'nin üssünü (3) sabit tutarak diğer asal çarpanların üslerini birer artırıp çarparız: (3) × (2+1) × (1+1) = 3 × 3 × 2 = 18.
Alternatif olarak, toplam bölen sayısından tek bölen sayısını çıkarabiliriz.
Tek bölenler sadece tek asal çarpanlardan oluşur. Yani 2 çarpanı olmaz: (2+1) × (1+1) = 3 × 2 = 6.
Çift bölen sayısı = Toplam bölen sayısı - Tek bölen sayısı = 24 - 6 = 18.
360 sayısının 18 tane çift böleni vardır. ⚙️
7
Çözümlü Örnek
Yeni Nesil Soru
Bir bilgisayar programı, girilen sayının asal çarpanlarını bulup bu çarpanların kaçar kez tekrar ettiğini listelemektedir. Eğer programa 840 sayısı girilirse, programın çıktısı ne olur? 💻
Çözüm ve Açıklama
Programın çıktısını verebilmek için 840 sayısını asal çarpanlarına ayırmalı ve her asal çarpanın kaç kez tekrar ettiğini belirlemeliyiz.
Adım 1: 840 sayısını asal çarpanlarına ayırın.
Adım 2: Her asal çarpanın kaç adet olduğunu sayın.
840 sayısını asal çarpanlarına ayıralım:
840 ÷ 2 = 420
420 ÷ 2 = 210
210 ÷ 2 = 105
105 ÷ 3 = 35
35 ÷ 5 = 7
7 ÷ 7 = 1
840 sayısının asal çarpanlarına ayrılmış hali 2³ × 3¹ × 5¹ × 7¹ şeklindedir.
Programın çıktısı şu şekilde olacaktır:
Asal Çarpanlar:
2: 3 kez
3: 1 kez
5: 1 kez
7: 1 kez
Bu, programın 840 sayısının asal çarpanlarını ve tekrar sayılarını doğru bir şekilde listelediğini gösterir. 📊
8
Çözümlü Örnek
Kolay Seviye
48 sayısının pozitif tam bölenlerinin kümesini yazınız. ✍️
Çözüm ve Açıklama
Bir sayının pozitif tam bölenlerini bulmak için, o sayıyı kalansız bölen tüm pozitif tam sayıları listelememiz gerekir.
Adım 1: 1'den başlayarak 48'e kadar olan sayıları deneyin.
Adım 2: 48'i tam bölen sayıları not alın.
48'i tam bölen sayılar şunlardır:
48 ÷ 1 = 48
48 ÷ 2 = 24
48 ÷ 3 = 16
48 ÷ 4 = 12
48 ÷ 6 = 8
48 ÷ 8 = 6
48 ÷ 12 = 4
48 ÷ 16 = 3
48 ÷ 24 = 2
48 ÷ 48 = 1
Bu nedenle, 48 sayısının pozitif tam bölenlerinin kümesi şudur: {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48}. 🌟
9
Çözümlü Örnek
Günlük Hayattan Örnek
Bir grup arkadaş, topladıkları fındıkları 4'erli, 6'şarlı ve 9'arlı gruplara ayırdıklarında hiç fındık artmıyor. Bu gruptaki fındık sayısı en az kaç olabilir? 🌰
Çözüm ve Açıklama
Bu problemde, fındık sayısının 4, 6 ve 9'un ortak katı olması gerektiğini anlıyoruz. En az fındık sayısını bulmak için bu sayıların en küçük ortak katını (EKOK) hesaplamalıyız.
Adım 1: 4, 6 ve 9 sayılarının asal çarpanlarını bulunuz.
Adım 2: Her asal çarpanın en yüksek üssünü alarak çarpınız.
Asal çarpanlara ayırma:
4 = 2²
6 = 2 × 3
9 = 3²
EKOK(4, 6, 9) için tabanları (2, 3) ve üsleri (en yüksek olanları) alırız:
EKOK(4, 6, 9) = 2² × 3² = 4 × 9 = 36
Bu gruptaki fındık sayısı en az 36 olabilir. 🐿️
10. Sınıf Matematik: Doğal Sayılar ile Asal Çarpanları ve Bölenleri Arasındaki İlişki Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
120 sayısının asal çarpanlarını bulunuz. 💡
Çözüm:
Bir sayının asal çarpanlarını bulmak için o sayıyı asal çarpanlarına ayırmamız gerekir.
Adım 1: Sayıyı en küçük asal sayıdan başlayarak bölmeye başlayın.
Adım 2: Bölüm asal bir sayı olana kadar devam edin.
120 sayısını asal çarpanlarına ayıralım:
120 ÷ 2 = 60
60 ÷ 2 = 30
30 ÷ 2 = 15
15 ÷ 3 = 5
5 ÷ 5 = 1
Bu durumda 120 sayısının asal çarpanları 2, 3 ve 5'tir. 🚀
Örnek 2:
72 sayısının pozitif tam bölenlerinin sayısını bulunuz. ➕
Çözüm:
Bir sayının pozitif tam bölenlerinin sayısını bulmak için öncelikle sayıyı asal çarpanlarına ayırmalıyız.
Adım 1: 72 sayısını asal çarpanlarına ayırın.
Adım 2: Asal çarpanların üslerini birer artırıp çarpın.
Bu nedenle, 72 sayısının 12 tane pozitif tam böleni vardır. ✅
Örnek 3:
150 sayısının kaç tane asal çarpanı olduğunu ve bu asal çarpanların toplamını bulunuz. 🧐
Çözüm:
Önce 150 sayısını asal çarpanlarına ayırmamız gerekiyor.
Adım 1: 150 sayısını en küçük asal sayıdan başlayarak bölelim.
150 ÷ 2 = 75
75 ÷ 3 = 25
25 ÷ 5 = 5
5 ÷ 5 = 1
150 sayısının asal çarpanlarına ayrılmış hali 2¹ × 3¹ × 5² şeklindedir.
Bu sayının asal çarpanları 2, 3 ve 5'tir.
Dolayısıyla, 150 sayısının 3 tane asal çarpanı vardır.
Asal çarpanların toplamı: 2 + 3 + 5 = 10'dur. 💯
Örnek 4:
Bir sepetteki elmalar 2, 3 veya 5'erli gruplandığında hiç elma artmamaktadır. Sepetteki elma sayısı 100'den az olduğuna göre, sepetteki elma sayısı en fazla kaç olabilir? 🍎
Çözüm:
Bu soruda, sepetteki elma sayısının 2, 3 ve 5'in ortak katı olması gerektiğini anlıyoruz.
Adım 1: 2, 3 ve 5 sayılarının en küçük ortak katını (EKOK) bulunuz.
Adım 2: Bulduğunuz EKOK'un 100'den küçük en büyük katını bulunuz.
2, 3 ve 5 asal sayılar olduğu için EKOK'ları bu sayıların çarpımına eşittir:
EKOK(2, 3, 5) = 2 × 3 × 5 = 30
Şimdi 30'un 100'den küçük en büyük katını bulalım:
30 × 1 = 30
30 × 2 = 60
30 × 3 = 90
30 × 4 = 120 (Bu 100'den büyük)
Bu nedenle, sepetteki elma sayısı en fazla 90 olabilir. 👍
Örnek 5:
Bir manav, elindeki portakalları 6'şarlı, 8'erli ve 10'arlı paketlediğinde hiç portakal artmıyor. Manavın elinde en az kaç portakal vardır? 🍊
Çözüm:
Bu durum, manavın elindeki portakal sayısının 6, 8 ve 10'un ortak bir katı olması gerektiğini gösterir. En az portakal sayısını bulmak için bu sayıların en küçük ortak katını (EKOK) hesaplamalıyız.
Adım 1: 6, 8 ve 10 sayılarının asal çarpanlarını bulunuz.
Adım 2: Her asal çarpanın en yüksek üssünü alarak çarpınız.
Asal çarpanlara ayırma:
6 = 2 × 3
8 = 2³
10 = 2 × 5
EKOK(6, 8, 10) için tabanları (2, 3, 5) ve üsleri (en yüksek olanları) alırız:
EKOK(6, 8, 10) = 2³ × 3¹ × 5¹ = 8 × 3 × 5 = 120
Manavın elinde en az 120 portakal vardır. 📦
Örnek 6:
360 sayısının pozitif tam bölenlerinin kaç tanesinin çift olduğunu bulunuz. 🔢
Çözüm:
Bir sayının çift bölenlerini bulmak için o sayının asal çarpanlarına ayrılmış halini kullanırız ve çift bölenlerin sayısını hesaplarız.
Adım 1: 360 sayısını asal çarpanlarına ayırın.
Adım 2: Çift bölenleri bulmak için 2'nin üssünü sabit tutup diğer asal çarpanların üslerini bir artırıp çarpın.
Çift bölenler, 2 çarpanını mutlaka içermelidir. Bu nedenle, 2'nin üssünü 1 olarak sabit tutarız (yani 2¹ çarpanı olmalı) ve diğer asal çarpanların (3 ve 5) üslerini birer artırırız.
2'nin üssü 3'tür. Çift bölenler için 2'nin üssü en az 1 olmalıdır. Bölenin çift olması için 2 çarpanı olmalı.
Çift bölen sayısını bulmak için, 2'nin üssünü (3) sabit tutarak diğer asal çarpanların üslerini birer artırıp çarparız: (3) × (2+1) × (1+1) = 3 × 3 × 2 = 18.
Alternatif olarak, toplam bölen sayısından tek bölen sayısını çıkarabiliriz.
Tek bölenler sadece tek asal çarpanlardan oluşur. Yani 2 çarpanı olmaz: (2+1) × (1+1) = 3 × 2 = 6.
Çift bölen sayısı = Toplam bölen sayısı - Tek bölen sayısı = 24 - 6 = 18.
360 sayısının 18 tane çift böleni vardır. ⚙️
Örnek 7:
Bir bilgisayar programı, girilen sayının asal çarpanlarını bulup bu çarpanların kaçar kez tekrar ettiğini listelemektedir. Eğer programa 840 sayısı girilirse, programın çıktısı ne olur? 💻
Çözüm:
Programın çıktısını verebilmek için 840 sayısını asal çarpanlarına ayırmalı ve her asal çarpanın kaç kez tekrar ettiğini belirlemeliyiz.
Adım 1: 840 sayısını asal çarpanlarına ayırın.
Adım 2: Her asal çarpanın kaç adet olduğunu sayın.
840 sayısını asal çarpanlarına ayıralım:
840 ÷ 2 = 420
420 ÷ 2 = 210
210 ÷ 2 = 105
105 ÷ 3 = 35
35 ÷ 5 = 7
7 ÷ 7 = 1
840 sayısının asal çarpanlarına ayrılmış hali 2³ × 3¹ × 5¹ × 7¹ şeklindedir.
Programın çıktısı şu şekilde olacaktır:
Asal Çarpanlar:
2: 3 kez
3: 1 kez
5: 1 kez
7: 1 kez
Bu, programın 840 sayısının asal çarpanlarını ve tekrar sayılarını doğru bir şekilde listelediğini gösterir. 📊
Örnek 8:
48 sayısının pozitif tam bölenlerinin kümesini yazınız. ✍️
Çözüm:
Bir sayının pozitif tam bölenlerini bulmak için, o sayıyı kalansız bölen tüm pozitif tam sayıları listelememiz gerekir.
Adım 1: 1'den başlayarak 48'e kadar olan sayıları deneyin.
Adım 2: 48'i tam bölen sayıları not alın.
48'i tam bölen sayılar şunlardır:
48 ÷ 1 = 48
48 ÷ 2 = 24
48 ÷ 3 = 16
48 ÷ 4 = 12
48 ÷ 6 = 8
48 ÷ 8 = 6
48 ÷ 12 = 4
48 ÷ 16 = 3
48 ÷ 24 = 2
48 ÷ 48 = 1
Bu nedenle, 48 sayısının pozitif tam bölenlerinin kümesi şudur: {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48}. 🌟
Örnek 9:
Bir grup arkadaş, topladıkları fındıkları 4'erli, 6'şarlı ve 9'arlı gruplara ayırdıklarında hiç fındık artmıyor. Bu gruptaki fındık sayısı en az kaç olabilir? 🌰
Çözüm:
Bu problemde, fındık sayısının 4, 6 ve 9'un ortak katı olması gerektiğini anlıyoruz. En az fındık sayısını bulmak için bu sayıların en küçük ortak katını (EKOK) hesaplamalıyız.
Adım 1: 4, 6 ve 9 sayılarının asal çarpanlarını bulunuz.
Adım 2: Her asal çarpanın en yüksek üssünü alarak çarpınız.
Asal çarpanlara ayırma:
4 = 2²
6 = 2 × 3
9 = 3²
EKOK(4, 6, 9) için tabanları (2, 3) ve üsleri (en yüksek olanları) alırız: