💡 10. Sınıf Matematik: Doğal sayılar, asal çarpanlar ve bölenler arasındaki ilişkiler ile ebob ekok Çözümlü Örnekler

Asal çarpanları bulmak için sayıyı sırasıyla en küçük asal sayılardan başlayarak böleriz.

• 120 ÷ 2 = 60
• 60 ÷ 2 = 30
• 30 ÷ 2 = 15
• 15 ÷ 3 = 5
• 5 ÷ 5 = 1

Bu durumda 120 sayısının asal çarpanları 2, 3 ve 5'tir. Asal çarpanlarına ayrılmış hali ise \( 2^3 \times 3^1 \times 5^1 \) şeklindedir. 💡

Öncelikle 48 sayısını asal çarpanlarına ayırırız: \( 48 = 2^4 \times 3^1 \) Pozitif bölen sayısını bulmak için asal çarpanların üslerini birer artırıp çarparız.

• Üsler: 4 ve 1
• Yeni üsler: (4+1) ve (1+1)
• Bölen sayısı = \( (4+1) \times (1+1) = 5 \times 2 = 10 \)

48 sayısının 10 tane pozitif böleni vardır. ✅

İki sayının EBOB'unu bulmak için öncelikle her iki sayıyı da asal çarpanlarına ayırırız:

• \( 18 = 2^1 \times 3^2 \)
• \( 24 = 2^3 \times 3^1 \)

Ortak olan asal çarpanların en küçük üslü olanlarını alır ve çarparız.

• Ortak asal çarpanlar: 2 ve 3
• En küçük üsler: \( 2^1 \) ve \( 3^1 \)
• EBOB(18, 24) = \( 2^1 \times 3^1 = 2 \times 3 = 6 \)

18 ve 24 sayılarının EBOB'u 6'dır. 👉

İki sayının EKOK'unu bulmak için öncelikle her iki sayıyı da asal çarpanlarına ayırırız:

• \( 12 = 2^2 \times 3^1 \)
• \( 15 = 3^1 \times 5^1 \)

Her iki sayının asal çarpanlarına ayrılmış hallerinde bulunan tüm asal çarpanların en büyük üslü olanlarını alır ve çarparız.

• Tüm asal çarpanlar: 2, 3 ve 5
• En büyük üsler: \( 2^2 \), \( 3^1 \) ve \( 5^1 \)
• EKOK(12, 15) = \( 2^2 \times 3^1 \times 5^1 = 4 \times 3 \times 5 = 60 \)

12 ve 15 sayılarının EKOK'u 60'tır. 💡

Soruda verilen bilgilere göre öğrenci sayısı hem 3'ün hem de 4'ün ortak katı olmalıdır. Bu nedenle, 3 ve 4 sayılarının EKOK'unu bulmalıyız.

• 3 asal sayıdır.
• \( 4 = 2^2 \)
• EKOK(3, 4) = \( 3^1 \times 2^2 = 3 \times 4 = 12 \)

Öğrenci sayısı EKOK olan 12'nin katları olabilir. Sınıftaki öğrenci sayısı 20'den az olduğu için, 12'nin 20'den küçük tek katı 12'dir. Bu sınıfta 12 öğrenci olabilir. ✅

İki pozitif tam sayının çarpımı ile EKOK ve EBOB'u arasında önemli bir ilişki vardır: \[ a \times b = EBOB(a, b) \times EKOK(a, b) \] Soruda verilenler:

• \( a \times b = 180 \)
• EBOB(a, b) = 6

Bu formülü kullanarak EKOK'u bulabiliriz: \[ 180 = 6 \times EKOK(a, b) \] \[ EKOK(a, b) = \frac{180}{6} \] \[ EKOK(a, b) = 30 \] Bu iki sayının EKOK'u 30'dur. 💡

Manavın elindeki elma sayısı hem 6'ya hem de 8'e tam bölünebildiğine göre, bu sayı 6 ve 8'in ortak katı olmalıdır. En az elma sayısını bulmak için 6 ve 8'in EKOK'unu hesaplarız.

• 6'nın asal çarpanlarına ayrılmış hali: \( 6 = 2^1 \times 3^1 \)
• 8'in asal çarpanlarına ayrılmış hali: \( 8 = 2^3 \)

EKOK(6, 8) için tüm asal çarpanların en büyük üslülerini alırız:

• EKOK(6, 8) = \( 2^3 \times 3^1 = 8 \times 3 = 24 \)

Manavın elinde en az 24 elma vardır. 👉

Bu problemde tahta parçasının uzunluğu (45 cm) eşit uzunluktaki parçalara tam bölünebilmelidir. Dolayısıyla, parça uzunlukları 45'in bölenleri olmalıdır. a) En Fazla Parça Uzunluğu: En fazla parça uzunluğu, 45'in en büyük bölenine eşittir. Bir sayının en büyük böleni kendisidir.

• 45'in bölenleri: 1, 3, 5, 9, 15, 45
• En büyük bölen: 45 cm

Bu durumda marangoz, tahtayı 45 cm'lik 1 parça halinde bırakabilir. ✅ b) En Az Parça Uzunluğu (1 cm'den büyük): 1 cm'den büyük en az parça uzunluğunu bulmak için 45'in bölenleri arasından 1'den büyük en küçük böleni seçeriz.

• 45'in bölenleri: 1, 3, 5, 9, 15, 45
• 1'den büyük en küçük bölen: 3 cm

Bu durumda marangoz, tahtayı 3 cm'lik 15 parça halinde ayırabilir. 💡