💡 10. Sınıf Matematik: Dirençlerin Bağlanması Çözümlü Örnekler

• a) Eşdeğer Direncin Hesaplanması:

Seri bağlı dirençlerde eşdeğer direnç, tüm dirençlerin değerlerinin toplamına eşittir.

• Dirençler: \( R_1 = 3 \) Ohm, \( R_2 = 5 \) Ohm, \( R_3 = 2 \) Ohm
• Eşdeğer Direnç Formülü: \( R_{eş} = R_1 + R_2 + R_3 \)
• Hesaplama: \[ R_{eş} = 3 + 5 + 2 \] \[ R_{eş} = 10 \text{ Ohm} \]

✅ Devrenin eşdeğer direnci 10 Ohm'dur.

• b) Toplam Akımın Hesaplanması:

Ohm Kanunu'na göre, akım (\( I \)), gerilim (\( V \)) bölü direnç (\( R \)) formülüyle bulunur: \( I = \frac{V}{R} \).

• Gerilim: \( V = 20 \) Volt
• Eşdeğer Direnç: \( R_{eş} = 10 \) Ohm (a şıkkında bulduk)
• Hesaplama: \[ I_{toplam} = \frac{V}{R_{eş}} \] \[ I_{toplam} = \frac{20}{10} \] \[ I_{toplam} = 2 \text{ Amper} \]

✅ Ana koldan geçen toplam akım 2 Amper'dir.

• a) Eşdeğer Direncin Hesaplanması:

Paralel bağlı iki direnç için eşdeğer direnç formülü \( R_{eş} = \frac{R_1 \times R_2}{R_1 + R_2} \) olarak kullanılabilir.

• Dirençler: \( R_1 = 4 \) Ohm, \( R_2 = 12 \) Ohm
• Hesaplama: \[ R_{eş} = \frac{4 \times 12}{4 + 12} \] \[ R_{eş} = \frac{48}{16} \] \[ R_{eş} = 3 \text{ Ohm} \]

✅ Devrenin eşdeğer direnci 3 Ohm'dur.

• b) Toplam Akımın Hesaplanması:

Ohm Kanunu'na göre, akım (\( I \)), gerilim (\( V \)) bölü direnç (\( R \)) formülüyle bulunur: \( I = \frac{V}{R} \).

• Gerilim: \( V = 24 \) Volt
• Eşdeğer Direnç: \( R_{eş} = 3 \) Ohm (a şıkkında bulduk)
• Hesaplama: \[ I_{toplam} = \frac{V}{R_{eş}} \] \[ I_{toplam} = \frac{24}{3} \] \[ I_{toplam} = 8 \text{ Amper} \]

✅ Ana koldan geçen toplam akım 8 Amper'dir.

• Adım 1: Paralel Bağlı Dirençlerin Eşdeğer Direncini Hesaplama

Öncelikle 6 Ohm ve 3 Ohm'luk paralel bağlı dirençlerin eşdeğer direncini bulalım. İki direnç için özel formülü kullanabiliriz:

• Dirençler: \( R_1 = 6 \) Ohm, \( R_2 = 3 \) Ohm
• Formül: \( R_{paralel} = \frac{R_1 \times R_2}{R_1 + R_2} \)
• Hesaplama: \[ R_{paralel} = \frac{6 \times 3}{6 + 3} \] \[ R_{paralel} = \frac{18}{9} \] \[ R_{paralel} = 2 \text{ Ohm} \]

👉 Paralel grubun eşdeğer direnci 2 Ohm'dur.

• Adım 2: Toplam Eşdeğer Direnci Hesaplama

Şimdi bu 2 Ohm'luk eşdeğer direnç ile 4 Ohm'luk seri bağlı direnci toplayarak devrenin toplam eşdeğer direncini bulalım.

• Seri Dirençler: \( R_{paralel} = 2 \) Ohm, \( R_3 = 4 \) Ohm
• Formül: \( R_{eş} = R_{paralel} + R_3 \)
• Hesaplama: \[ R_{eş} = 2 + 4 \] \[ R_{eş} = 6 \text{ Ohm} \]

✅ Devrenin toplam eşdeğer direnci 6 Ohm'dur.

• Adım 1: Paralel Bağlı Dirençlerin Eşdeğer Direncini Hesaplama

İki adet 8 Ohm'luk direnç paralel bağlı. Aynı değerdeki dirençler paralel bağlandığında eşdeğer direnç, bir direncin değerinin direnç sayısına bölümüyle bulunur.

• Dirençler: \( R_1 = 8 \) Ohm, \( R_2 = 8 \) Ohm
• Formül: \( R_{paralel} = \frac{R}{n} \)
• Hesaplama: \[ R_{paralel} = \frac{8}{2} \] \[ R_{paralel} = 4 \text{ Ohm} \]

👉 Paralel grubun eşdeğer direnci 4 Ohm'dur.

• Adım 2: Toplam Eşdeğer Direnci Hesaplama

Şimdi bu 4 Ohm'luk eşdeğer direnç ile 6 Ohm'luk seri bağlı direnci toplayarak devrenin toplam eşdeğer direncini bulalım.

• Seri Dirençler: \( R_{paralel} = 4 \) Ohm, \( R_3 = 6 \) Ohm
• Formül: \( R_{eş} = R_{paralel} + R_3 \)
• Hesaplama: \[ R_{eş} = 4 + 6 \] \[ R_{eş} = 10 \text{ Ohm} \]

👉 Devrenin toplam eşdeğer direnci 10 Ohm'dur.

• a) Ana Koldan Geçen Toplam Akımın Hesaplanması:

Ohm Kanunu'nu kullanarak ana akımı bulalım.

• Gerilim: \( V_{toplam} = 36 \) Volt
• Eşdeğer Direnç: \( R_{eş} = 10 \) Ohm
• Hesaplama: \[ I_{toplam} = \frac{V_{toplam}}{R_{eş}} \] \[ I_{toplam} = \frac{36}{10} \] \[ I_{toplam} = 3.6 \text{ Amper} \]

✅ Ana koldan geçen toplam akım 3.6 Amper'dir.

• b) Paralel Bağlı Dirençlerden Birinin Üzerinden Geçen Akımın Hesaplanması:

Önce paralel kolun üzerindeki gerilimi bulmalıyız. Seri bağlı 6 Ohm'luk direnç üzerindeki gerilim düşümünü hesaplayalım:

• \( V_{6\Omega} = I_{toplam} \times R_{6\Omega} = 3.6 \times 6 = 21.6 \text{ Volt} \)

Paralel kolun üzerindeki gerilim (\( V_{paralel} \)), toplam gerilimden 6 Ohm'luk direnç üzerindeki gerilim düşümünün çıkarılmasıyla bulunur:

• \( V_{paralel} = V_{toplam} - V_{6\Omega} = 36 - 21.6 = 14.4 \text{ Volt} \)

Paralel bağlı dirençlerden birinin (\( R_1 = 8 \) Ohm) üzerinden geçen akımı bulalım:

• \( I_1 = \frac{V_{paralel}}{R_1} = \frac{14.4}{8} \)
• \( I_1 = 1.8 \text{ Amper} \)

✅ Paralel bağlı dirençlerden birinin üzerinden geçen akım 1.8 Amper'dir. (Diğer 8 Ohm'luk dirençten de 1.8 Amper geçer, çünkü dirençler eşit. Toplamları 1.8 + 1.8 = 3.6 Amper olup ana akıma eşittir.)

• Adım 1: Seri Bağlı Durumda Eşdeğer Direnci Hesaplama

İki adet 12 Ohm'luk direnç seri bağlandığında eşdeğer dirençleri toplamlarına eşit olur.

• Dirençler: \( R_1 = 12 \) Ohm, \( R_2 = 12 \) Ohm
• Formül: \( R_{seri} = R_1 + R_2 \)
• Hesaplama: \[ R_{seri} = 12 + 12 \] \[ R_{seri} = 24 \text{ Ohm} \]

👉 Seri bağlı durumda eşdeğer direnç 24 Ohm'dur.

• Adım 2: Paralel Bağlı Durumda Eşdeğer Direnci Hesaplama

İki adet 12 Ohm'luk direnç paralel bağlandığında, aynı değerdeki dirençler için eşdeğer direnç bir direncin değerinin direnç sayısına bölümüyle bulunur.

• Dirençler: \( R_1 = 12 \) Ohm, \( R_2 = 12 \) Ohm
• Formül: \( R_{paralel} = \frac{R}{n} \)
• Hesaplama: \[ R_{paralel} = \frac{12}{2} \] \[ R_{paralel} = 6 \text{ Ohm} \]

👉 Paralel bağlı durumda eşdeğer direnç 6 Ohm'dur.

• Adım 3: Eşdeğer Dirençlerin Oranını Hesaplama

Şimdi bulduğumuz eşdeğer dirençleri oranlayalım.

• Oran: \( \frac{R_{seri}}{R_{paralel}} \)
• Hesaplama: \[ \frac{R_{seri}}{R_{paralel}} = \frac{24}{6} \] \[ \frac{R_{seri}}{R_{paralel}} = 4 \]

✅ Seri bağlı durumdaki eşdeğer direncin, paralel bağlı durumdaki eşdeğer dirence oranı 4'tür.

• Adım 1: Her İki Durumdaki Eşdeğer Direnci Karşılaştırma

Lambaların dirençleri özdeş olduğu için her bir lambanın direncini \( R \) kabul edelim.

• Durum 1 (Seri Bağlı):

Üç lamba seri bağlandığında eşdeğer dirençleri:

\[ R_{seri} = R + R + R = 3R \]
• Durum 2 (Paralel Bağlı):

Üç lamba paralel bağlandığında eşdeğer dirençleri:

\[ R_{paralel} = \frac{R}{3} \]

Görüldüğü gibi, \( R_{seri} \) değeri \( R_{paralel} \) değerinden çok daha büyüktür.

• Adım 2: Devrenin Toplam Akımını ve Gücünü Karşılaştırma

Güç kaynağının gerilimi (\( V \)) sabittir. Devrenin toplam gücü \( P = \frac{V^2}{R_{eş}} \) formülüyle bulunur.

• Durum 1 (Seri Bağlı):

Eşdeğer direnç yüksek (\( 3R \)) olduğu için devrenin toplam gücü düşük olur.

\[ P_{seri} = \frac{V^2}{3R} \]

Seri bağlı devrede her lambadan aynı akım geçer ve bu akım \( I_{seri} = \frac{V}{3R} \) olacaktır. Her bir lambanın gücü \( P_{lamba, seri} = I_{seri}^2 \times R = (\frac{V}{3R})^2 \times R = \frac{V^2}{9R} \).

• Durum 2 (Paralel Bağlı):

Eşdeğer direnç düşük (\( \frac{R}{3} \)) olduğu için devrenin toplam gücü yüksek olur.

\[ P_{paralel} = \frac{V^2}{\frac{R}{3}} = \frac{3V^2}{R} \]

Paralel bağlı devrede her lambanın uçları arasındaki gerilim \( V \) olduğu için her bir lambanın gücü \( P_{lamba, paralel} = \frac{V^2}{R} \).

• Sonuç: Parlaklık Karşılaştırması

Her bir lambanın harcadığı gücü karşılaştırdığımızda:

\[ P_{lamba, paralel} = \frac{V^2}{R} \] \[ P_{lamba, seri} = \frac{V^2}{9R} \]

Görülüyor ki, paralel bağlı durumda her bir lamba \( \frac{V^2}{R} \) kadar güç harcarken, seri bağlı durumda her bir lamba \( \frac{V^2}{9R} \) kadar güç harcar. Bu da paralel bağlı durumda lambaların 9 kat daha parlak yanacağı anlamına gelir.

✅ Durum 2'de (Paralel Bağlı) lambalar daha parlak yanacaktır. Çünkü paralel bağlantıda her bir lambanın üzerindeki gerilim doğrudan güç kaynağının gerilimine eşit olur ve bu da her bir lambanın daha fazla güç harcamasını sağlar. Seri bağlantıda ise gerilim lambalar arasında paylaşılır ve her bir lambanın üzerine daha az gerilim düşer, dolayısıyla daha az güç harcayarak daha sönük yanarlar.

• Her Cihazın Bağımsız Çalışması:

Paralel bağlantıda, her bir cihaz (lamba, buzdolabı, televizyon vb.) güç kaynağına bağımsız olarak bağlanır. Bu sayede, bir cihazı açtığımızda veya kapattığımızda diğer cihazların çalışması etkilenmez. Örneğin, yatak odasındaki lambayı söndürdüğümüzde salondaki televizyon çalışmaya devam eder. Eğer seri bağlı olsalardı, bir cihazı kapattığımızda tüm devre kesilir ve diğer cihazlar da çalışmazdı.

• Tüm Cihazların Aynı Gerilimi Alması:

Paralel bağlantıda, tüm cihazların uçları arasındaki gerilim eşittir ve şebeke gerilimine (Türkiye'de yaklaşık 220 Volt) eşittir. Bu, her cihazın tam potansiyelinde çalışmasını sağlar. Eğer seri bağlı olsalardı, gerilim cihazlar arasında paylaşılacak ve her bir cihaz daha düşük bir gerilimle çalışacağı için verimsiz veya hiç çalışmayabilirdi (örneğin lambalar çok sönük yanabilirdi).

• Arıza Durumunda Kolaylık:

Paralel bağlantıda, bir cihaz arızalandığında veya bozulduğunda (örneğin bir lamba patladığında), sadece o cihaz çalışmayı durdurur. Devrenin diğer kısımları ve diğer cihazlar çalışmaya devam eder. Eğer seri bağlı olsalardı, bir cihazın arızalanması tüm devreyi açar ve hiçbir cihaz çalışmaz hale gelirdi, bu da arızanın tespitini ve giderilmesini zorlaştırırdı.

• Daha Fazla Cihaz Ekleme Esnekliği:

Paralel bağlantı, mevcut bir devreye yeni cihazlar eklemeyi kolaylaştırır. Her yeni cihaz, ana hatta paralel olarak bağlanabilir ve diğer cihazların çalışmasını veya gerilimini etkilemez.

✅ Kısacası, evlerde paralel bağlantı, bağımsız çalışma, tam verimlilik, arıza durumunda süreklilik ve kullanım kolaylığı gibi kritik avantajlar sunar. Bu nedenlerle seri bağlantı yerine paralel bağlantı tercih edilir.

• Tüm Zincirin Çalışmaması Sorunu:

Seri bağlı bir devrede, akım tüm dirençlerin (ampullerin) üzerinden sırayla geçer. Devrenin herhangi bir noktasında bir kesinti olursa (örneğin bir ampulün teli koptuğunda veya "patladığında"), akım akışı durur. Bu durumda, zincirdeki tüm ampuller söner.

• Fiziksel Neden (Ohm Kanunu ve Devre Akımı):

Seri bağlı bir devrede, her bir ampul bir direnç gibi davranır. Devreden geçen akım, devrenin toplam eşdeğer direncine ve uygulanan gerilime bağlıdır (\( I = \frac{V}{R_{eş}} \)). Bir ampul bozulduğunda, genellikle içindeki filaman (teli) kopar. Bu kopma, devrede açık devre oluşturur. Açık devrede akım akışı imkansız hale gelir çünkü akımın devreyi tamamlayacak bir yolu kalmaz. Akım sıfıra indiği için, zincirdeki hiçbir ampul ışık veremez.

• Arıza Tespiti Zorluğu:

Bu durumun en büyük günlük hayattaki dezavantajı, hangi ampulün bozulduğunu bulmanın çok zor olmasıydı. Tüm zincir söndüğünde, kullanıcı tek tek her bir ampulü kontrol etmek zorunda kalırdı. Bu da genellikle saatler süren, sabır gerektiren bir işti.

• Gerilim Paylaşımı ve Parlaklık Sorunu:

Seri bağlı ampullerde, toplam gerilim ampuller arasında paylaşılır. Bu, her bir ampulün üzerine daha az gerilim düşmesi anlamına gelir. Sonuç olarak, ampuller genellikle daha sönük yanar ve tam potansiyellerine ulaşamazlar. Bu durum, dekoratif ışıklandırmanın istenen parlaklıkta olmamasına neden olabilirdi.

✅ Günümüzde üretilen Noel ağacı ışıkları genellikle paralel bağlantı veya her bir ampulün içinde bir şönt (bypass) devresi bulunan özel seri bağlantılarla tasarlanır. Bu sayede bir ampul bozulsa bile diğerleri çalışmaya devam eder ve arıza tespiti kolaylaşır.

• a) Eşdeğer Direncin Hesaplanması:

Paralel bağlı dirençlerde eşdeğer direncin tersi, dirençlerin terslerinin toplamına eşittir.

• Dirençler: \( R_1 = 12 \) Ohm, \( R_2 = 6 \) Ohm, \( R_3 = 4 \) Ohm
• Eşdeğer Direnç Formülü: \( \frac{1}{R_{eş}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \frac{1}{R_3} \)
• Hesaplama: \[ \frac{1}{R_{eş}} = \frac{1}{12} + \frac{1}{6} + \frac{1}{4} \]

  Paydaları eşitleyelim (ortak payda 12):

  \[ \frac{1}{R_{eş}} = \frac{1}{12} + \frac{2}{12} + \frac{3}{12} \] \[ \frac{1}{R_{eş}} = \frac{1+2+3}{12} \] \[ \frac{1}{R_{eş}} = \frac{6}{12} \] \[ \frac{1}{R_{eş}} = \frac{1}{2} \]

  Buradan \( R_{eş} \) değerini buluruz:

  \[ R_{eş} = 2 \text{ Ohm} \]

✅ Devrenin eşdeğer direnci 2 Ohm'dur.

• b) Gerilimin Hesaplanması:

Ohm Kanunu'nu kullanarak gerilimi bulalım: \( V = I \times R \).

• Ana Akım: \( I_{toplam} = 5 \) Amper
• Eşdeğer Direnç: \( R_{eş} = 2 \) Ohm (a şıkkında bulduk)
• Hesaplama: \[ V_{toplam} = I_{toplam} \times R_{eş} \] \[ V_{toplam} = 5 \times 2 \] \[ V_{toplam} = 10 \text{ Volt} \]

✅ Paralel bağlı direnç grubunun uçları arasındaki gerilim 10 Volt'tur. (Paralel bağlı kollarda gerilim eşit olduğundan, her bir direncin üzerindeki gerilim de 10 Volt olacaktır.)

• Adım 1: En İçteki Paralel Grubu Hesaplama

Önce 6 Ohm ve 3 Ohm'luk paralel bağlı dirençlerin eşdeğer direncini bulalım.

• Dirençler: \( R_A = 6 \) Ohm, \( R_B = 3 \) Ohm
• Formül: \( R_{paralel1} = \frac{R_A \times R_B}{R_A + R_B} \)
• Hesaplama: \[ R_{paralel1} = \frac{6 \times 3}{6 + 3} \] \[ R_{paralel1} = \frac{18}{9} \] \[ R_{paralel1} = 2 \text{ Ohm} \]

👉 İlk paralel grubun eşdeğer direnci 2 Ohm'dur.

• Adım 2: Bir Sonraki Paralel Grubu Hesaplama

Şimdi bu 2 Ohm'luk eşdeğer direnç ile 12 Ohm'luk direncin paralel bağlantısını hesaplayalım.

• Dirençler: \( R_C = 12 \) Ohm, \( R_{paralel1} = 2 \) Ohm
• Formül: \( R_{paralel2} = \frac{R_C \times R_{paralel1}}{R_C + R_{paralel1}} \)
• Hesaplama: \[ R_{paralel2} = \frac{12 \times 2}{12 + 2} \] \[ R_{paralel2} = \frac{24}{14} \] \[ R_{paralel2} = \frac{12}{7} \text{ Ohm} \]

👉 İkinci paralel grubun eşdeğer direnci \( \frac{12}{7} \) Ohm'dur.

• Adım 3: Devrenin Toplam Eşdeğer Direncini Hesaplama

Bu \( \frac{12}{7} \) Ohm'luk eşdeğer direnç ile 4 Ohm'luk seri bağlı direnci toplayalım.

• Seri Dirençler: \( R_{paralel2} = \frac{12}{7} \) Ohm, \( R_D = 4 \) Ohm
• Formül: \( R_{eş} = R_{paralel2} + R_D \)
• Hesaplama: \[ R_{eş} = \frac{12}{7} + 4 \] \[ R_{eş} = \frac{12}{7} + \frac{28}{7} \] \[ R_{eş} = \frac{40}{7} \text{ Ohm} \]

👉 Devrenin toplam eşdeğer direnci \( \frac{40}{7} \) Ohm'dur.

• Adım 4: Ana Koldan Geçen Toplam Akımı Hesaplama

Devrenin toplam gerilimi ve eşdeğer direncini kullanarak ana akımı bulalım.

• Gerilim: \( V_{toplam} = 45 \) Volt
• Eşdeğer Direnç: \( R_{eş} = \frac{40}{7} \) Ohm
• Hesaplama: \[ I_{toplam} = \frac{V_{toplam}}{R_{eş}} \] \[ I_{toplam} = \frac{45}{\frac{40}{7}} \] \[ I_{toplam} = 45 \times \frac{7}{40} \] \[ I_{toplam} = \frac{9 \times 5 \times 7}{8 \times 5} \] \[ I_{toplam} = \frac{63}{8} \text{ Amper} \]

👉 Ana koldan geçen toplam akım \( \frac{63}{8} \) Amper'dir.

• Adım 5: 4 Ohm'luk Direnç Üzerindeki Gerilim Düşümünü Hesaplama

Ana akım, 4 Ohm'luk seri direncin üzerinden de geçer.

• \( V_{4\Omega} = I_{toplam} \times R_{4\Omega} = \frac{63}{8} \times 4 \] \[ V_{4\Omega} = \frac{63}{2} \text{ Volt} \]

👉 4 Ohm'luk direnç üzerindeki gerilim düşümü \( \frac{63}{2} \) Volt'tur.

• Adım 6: Büyük Paralel Kolun Gerilimini Hesaplama

İkinci paralel grubun (\( R_{paralel2} \)) uçları arasındaki gerilim, toplam gerilimden 4 Ohm'luk direnç üzerindeki gerilim düşümünün çıkarılmasıyla bulunur.

• \( V_{paralel2} = V_{toplam} - V_{4\Omega} = 45 - \frac{63}{2} \)
\[ V_{paralel2} = \frac{90}{2} - \frac{63}{2} \] \[ V_{paralel2} = \frac{27}{2} \text{ Volt} \]

👉 Büyük paralel kolun üzerindeki gerilim \( \frac{27}{2} \) Volt'tur.

• Adım 7: 12 Ohm ve İlk Paralel Grubun Akımlarını Hesaplama

Bu \( V_{paralel2} \) gerilimi, 12 Ohm'luk direncin ve ilk paralel grubun (\( R_{paralel1} \)) üzerindeki gerilimdir.

İlk paralel grubun üzerinden geçen akımı bulalım:

• \( I_{paralel1} = \frac{V_{paralel2}}{R_{paralel1}} = \frac{\frac{27}{2}}{2} \)
\[ I_{paralel1} = \frac{27}{4} \text{ Amper} \]

👉 İlk paralel grubun üzerinden geçen akım \( \frac{27}{4} \) Amper'dir.

• Adım 8: 6 Ohm'luk Direncin Üzerinden Geçen Akımı Hesaplama

Bu \( I_{paralel1} \) akımı, 6 Ohm ve 3 Ohm'luk dirençler arasında paylaşılır. Bu iki direncin uçları arasındaki gerilim \( V_{paralel1} \) ise \( V_{paralel1} = I_{paralel1} \times R_{paralel1} = \frac{27}{4} \times 2 = \frac{27}{2} \) Volttur.

Şimdi 6 Ohm'luk direncin üzerinden geçen akımı bulalım:

• \( I_{6\Omega} = \frac{V_{paralel1}}{R_{6\Omega}} = \frac{\frac{27}{2}}{6} \)
\[ I_{6\Omega} = \frac{27}{12} \] \[ I_{6\Omega} = \frac{9}{4} \text{ Amper} \]

✅ 6 Ohm'luk direncin üzerinden geçen akım \( \frac{9}{4} \) Amper'dir (yani 2.25 Amper).