💡 10. Sınıf Matematik: Dik Üçgende Trigonometrik Oranlar Çözümlü Örnekler

Soruyu adım adım çözerek trigonometrik oranları bulalım:

• 1. Adım: Hipotenüs Uzunluğunu Bulma
  ABC bir dik üçgen olduğundan Pisagor teoremini uygulayabiliriz:
  \[ |AC|^2 = |AB|^2 + |BC|^2 \] \[ |AC|^2 = 6^2 + 8^2 \] \[ |AC|^2 = 36 + 64 = 100 \] \[ |AC| = 10 \text{ cm} \]
  Bu üçgen, ünlü 3-4-5 özel dik üçgeninin 2 katı olan 6-8-10 üçgenidir.


• 2. Adım: Sinüs Değerini Hesaplama
  A açısının sinüs değeri, karşı dik kenar uzunluğunun hipotenüs uzunluğuna oranıdır:
  \[ \sin A = \frac{|BC|}{|AC|} \] \[ \sin A = \frac{8}{10} = \frac{4}{5} \]


• 3. Adım: Kosinüs Değerini Hesaplama
  A açısının kosinüs değeri, komşu dik kenar uzunluğunun hipotenüs uzunluğuna oranıdır:
  \[ \cos A = \frac{|AB|}{|AC|} \] \[ \cos A = \frac{6}{10} = \frac{3}{5} \]

Sonuç: \( \sin A = \frac{4}{5} \) ve \( \cos A = \frac{3}{5} \) olarak bulunur. ✅

Verilen trigonometrik orandan yola çıkarak diğer oranları bulmak için bir dik üçgen modelleyelim:

• 1. Adım: Dik Üçgeni Çizme ve Kenarları Belirleme
  Tanjant oranı, karşı dik kenarın komşu dik kenara oranıdır:
  \[ \tan x = \frac{\text{Karşı dik kenar}}{\text{Komşu dik kenar}} = \frac{5}{12} \]
  Bu durumda, \( x \) açısının karşısındaki kenarı \( 5 \) birim, komşusundaki kenarı \( 12 \) birim olarak alabiliriz.


• 2. Adım: Hipotenüsü Bulma
  Pisagor teoremini kullanarak hipotenüs uzunluğunu (\( h \)) hesaplayalım:
  \[ h^2 = 5^2 + 12^2 \] \[ h^2 = 25 + 144 = 169 \] \[ h = 13 \]
  Bu üçgen 5-12-13 özel dik üçgenidir.


• 3. Adım: İstenen Oranları Yazma ve Toplama
  Şimdi \( \sin x \) ve \( \cos x \) değerlerini bulalım:
  \[ \sin x = \frac{\text{Karşı}}{\text{Hipotenüs}} = \frac{5}{13} \] \[ \cos x = \frac{\text{Komşu}}{\text{Hipotenüs}} = \frac{12}{13} \]
  Bizden istenen toplam:
  \[ \sin x + \cos x = \frac{5}{13} + \frac{12}{13} = \frac{17}{13} \]

Sonuç: İşlemin sonucu \( \frac{17}{13} \) olarak elde edilir. 🎯

Bu soruyu çözmek için \( 30^\circ \), \( 45^\circ \) ve \( 60^\circ \)'lik özel açıların trigonometrik değerlerini hatırlayalım:

• Değerlerin Belirlenmesi:
  \[ \sin 30^\circ = \frac{1}{2} \] \[ \cos 60^\circ = \frac{1}{2} \] \[ \tan 45^\circ = 1 \]


• İşlem Adımları:
  Bulduğumuz değerleri soruda verilen denklemde yerine yazalım:
  \[ A = \frac{1}{2} + \left( \frac{1}{2} \cdot 1 \right) \]
  Öncelikle çarpma işlemini yapalım:
  \[ \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{2} \]
  Şimdi toplama işlemini gerçekleştirelim:
  \[ A = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1 \]

Sonuç: İşlemin sonucu \( 1 \) olarak bulunur. 🌟

Trigonometrik özdeşliklerden en önemlisi olan \( \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \) kuralını kullanarak bu soruyu çözebiliriz:

• 1. Adım: Her İki Tarafın Karesini Alma
  Verilen eşitliğin her iki yanının karesini alalım:
  \[ (\sin x - \cos x)^2 = \left( \frac{1}{3} \right)^2 \]
  Sol tarafın karesini açarsak:
  \[ \sin^2 x - 2 \cdot \sin x \cdot \cos x + \cos^2 x = \frac{1}{9} \]


• 2. Adım: Temel Özdeşliği Kullanma
  \( \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \) olduğunu biliyoruz. Bu ifadeyi denklemde yerine yazalım:
  \[ 1 - 2 \cdot \sin x \cdot \cos x = \frac{1}{9} \]


• 3. Adım: İstenen Çarpımı Yalnız Bırakma
  Denklemi düzenleyelim:
  \[ 1 - \frac{1}{9} = 2 \cdot \sin x \cdot \cos x \] \[ \frac{8}{9} = 2 \cdot \sin x \cdot \cos x \]
  Her iki tarafı da \( 2 \)'ye bölersek:
  \[ \sin x \cdot \cos x = \frac{4}{9} \]

Sonuç: Aradığımız çarpım değeri \( \frac{4}{9} \) olarak hesaplanır. ✅

Bu günlük hayat problemini dik üçgen yardımıyla modelleyelim:

• 1. Adım: Üçgeni Tanımlama
  Merdiven, duvar ve zemin bir dik üçgen oluşturur.
  - Hipotenüs (merdivenin boyu) \( = 12 \) metre.
  - Yerle yapılan açı \( = 60^\circ \).
  - Karşı dik kenar (yerden yükseklik) \( = h \) metre.


• 2. Adım: Uygun Trigonometrik Oranı Seçme
  Karşı kenarı bulmak istediğimiz ve hipotenüsü bildiğimiz için sinüs oranını kullanmalıyız:
  \[ \sin 60^\circ = \frac{\text{Karşı dik kenar}}{\text{Hipotenüs}} \] \[ \sin 60^\circ = \frac{h}{12} \]


• 3. Adım: Değeri Yerine Yazma ve Hesaplama
  \( \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \) olduğunu biliyoruz. Eşitliği kuralım:
  \[ \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{h}{12} \]
  İçler dışlar çarpımı yaparsak:
  \[ 2 \cdot h = 12\sqrt{3} \] \[ h = 6\sqrt{3} \text{ metre} \]

Sonuç: Merdivenin ulaştığı noktanın yerden yüksekliği \( 6\sqrt{3} \) metredir. 🏢

Soruyu çözmek için rampayı bir dik üçgen olarak modelleyelim:

• 1. Adım: Verilenleri Belirleme
  - Rampanın yüksekliği (karşı dik kenar) \( = 60 \) cm.
  - Rampanın yatay uzunluğu (komşu dik kenar) \( = x \) cm.
  - Eğim açısı \( = \alpha \) olsun.


• 2. Adım: Tanjant Oranını Kurma
  Eğim, açının tanjantına eşittir:
  \[ \tan \alpha = \frac{\text{Karşı dik kenar}}{\text{Komşu dik kenar}} \] \[ \tan \alpha = \frac{60}{x} \]


• 3. Adım: Sınır Değeri Hesaplama
  Yönetmeliğe göre maksimum eğim \( \frac{1}{12} \) olmalıdır. Yatay mesafenin en az olması için eğimi maksimum seçeriz:
  \[ \frac{60}{x} = \frac{1}{12} \]
  İçler dışlar çarpımı yaparsak:
  \[ x = 60 \cdot 12 \] \[ x = 720 \text{ cm} \]


• 4. Adım: Birim Dönüşümü
  Soru bizden cevabı metre cinsinden istemektedir:
  \[ 720 \text{ cm} = 7.2 \text{ metre} \]

Sonuç: Rampanın yatayda kaplayacağı mesafe en az \( 7.2 \) metre olmalıdır. 📏

Trigonometrik oranları hesaplayabilmek için öncelikle bir dik üçgene ihtiyacımız vardır. İkizkenar üçgende diklik oluşturmak için tabana dikme indirelim:

• 1. Adım: Yükseklik Çizme
  A köşesinden BC tabanına bir AH dikmesi (yükseklik) indirelim. İkizkenar üçgende tabana indirilen yükseklik, tabanı iki eş parçaya böler:
  \[ |BH| = |HC| = \frac{12}{2} = 6 \text{ cm} \]


• 2. Adım: Oluşan Dik Üçgeni İnceleme
  Oluşan ABH dik üçgeninde:
  - Hipotenüs \( |AB| = 10 \) cm'dir.
  - B açısının komşu dik kenarı \( |BH| = 6 \) cm'dir.


• 3. Adım: Kosinüs Oranını Hesaplama
  B açısının kosinüs değeri, komşu dik kenarın hipotenüse oranıdır:
  \[ \cos B = \frac{|BH|}{|AB|} \] \[ \cos B = \frac{6}{10} = \frac{3}{5} \]

Sonuç: \( \cos B \) değeri \( \frac{3}{5} \) olarak bulunur. ✅

Bu durumu bir dik üçgen çizerek modelleyebiliriz:

• 1. Adım: Üçgenin Elemanlarını Tanımlama
  - Tabletin ekranı dik üçgenin hipotenüsü olur. Uzunluğu \( = 25 \) cm.
  - Tabletin üst ucunun yerden yüksekliği karşı dik kenar olur. Bu uzunluğa \( h \) diyelim.
  - Yerle yapılan açı \( \alpha \)'dır.


• 2. Adım: Sinüs Oranını Kurma
  Sinüs tanımını yazalım:
  \[ \sin \alpha = \frac{\text{Karşı dik kenar}}{\text{Hipotenüs}} \] \[ \sin \alpha = \frac{h}{25} \]


• 3. Adım: Bilinen Değeri Yerine Yazma
  Soruda \( \sin \alpha = \frac{4}{5} \) olarak verilmiştir. Bu iki oranı birbirine eşitleyelim:
  \[ \frac{4}{5} = \frac{h}{25} \]
  Buradan içler dışlar çarpımı yaparak \( h \)'yi bulalım:
  \[ 5 \cdot h = 4 \cdot 25 \] \[ 5 \cdot h = 100 \] \[ h = 20 \text{ cm} \]

Sonuç: Tabletin üst ucunun yerden yüksekliği \( 20 \) cm olur. 🎯