🎓 10. Sınıf
📚 10. Sınıf Matematik
💡 10. Sınıf Matematik: Dik Üçgende Trigonometrik Oranlar Çözümlü Örnekler
10. Sınıf Matematik: Dik Üçgende Trigonometrik Oranlar Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Bir ABC dik üçgeninde, B açısı 90 derecedir.
AB kenarının uzunluğu 6 birim, BC kenarının uzunluğu 8 birimdir.
Buna göre, A açısının sinüsünü (\( \sin A \)), kosinüsünü (\( \cos A \)) ve tanjantını (\( \tan A \)) bulunuz. 📐
AB kenarının uzunluğu 6 birim, BC kenarının uzunluğu 8 birimdir.
Buna göre, A açısının sinüsünü (\( \sin A \)), kosinüsünü (\( \cos A \)) ve tanjantını (\( \tan A \)) bulunuz. 📐
Çözüm:
Bu problemi adım adım çözelim:
-
📌 Hipotenüsü Bulma: Öncelikle, dik üçgende Pisagor Teoremi'ni kullanarak hipotenüs (AC kenarı) uzunluğunu bulmalıyız.
\[ AC^2 = AB^2 + BC^2 \] \[ AC^2 = 6^2 + 8^2 \] \[ AC^2 = 36 + 64 \] \[ AC^2 = 100 \] \[ AC = \sqrt{100} \] \[ AC = 10 \text{ birim} \] -
💡 Sinüs A'yı Hesaplama: Bir açının sinüsü, karşı dik kenar uzunluğunun hipotenüs uzunluğuna oranıdır.
A açısının karşısındaki dik kenar BC = 8 birimdir. Hipotenüs AC = 10 birimdir.
\[ \sin A = \frac{\text{Karşı Dik Kenar}}{\text{Hipotenüs}} = \frac{BC}{AC} = \frac{8}{10} = \frac{4}{5} \] -
💡 Kosinüs A'yı Hesaplama: Bir açının kosinüsü, komşu dik kenar uzunluğunun hipotenüs uzunluğuna oranıdır.
A açısının komşusundaki dik kenar AB = 6 birimdir. Hipotenüs AC = 10 birimdir.
\[ \cos A = \frac{\text{Komşu Dik Kenar}}{\text{Hipotenüs}} = \frac{AB}{AC} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5} \] -
💡 Tanjant A'yı Hesaplama: Bir açının tanjantı, karşı dik kenar uzunluğunun komşu dik kenar uzunluğuna oranıdır.
A açısının karşısındaki dik kenar BC = 8 birimdir. Komşu dik kenar AB = 6 birimdir.
\[ \tan A = \frac{\text{Karşı Dik Kenar}}{\text{Komşu Dik Kenar}} = \frac{BC}{AB} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3} \]
Örnek 2:
Bir dik üçgende dar açılardan biri olan \( \alpha \) için \( \tan \alpha = \frac{5}{12} \) olarak verilmiştir.
Buna göre, \( \sin \alpha \) ve \( \cot \alpha \) değerlerini bulunuz. 🤔
Buna göre, \( \sin \alpha \) ve \( \cot \alpha \) değerlerini bulunuz. 🤔
Çözüm:
Verilen tanjant değerinden yola çıkarak diğer oranları bulalım:
-
📌 Üçgeni Çizme ve Kenarları Belirleme:
Tanjant, karşı dik kenarın komşu dik kenara oranıdır. Yani, \( \tan \alpha = \frac{\text{Karşı Dik Kenar}}{\text{Komşu Dik Kenar}} = \frac{5}{12} \).
Bu durumda, \( \alpha \) açısının karşısındaki dik kenar 5 birim, komşu dik kenar ise 12 birim olarak alınabilir. -
💡 Hipotenüsü Bulma: Pisagor Teoremi'ni kullanarak hipotenüs uzunluğunu bulalım.
\[ \text{Hipotenüs}^2 = 5^2 + 12^2 \] \[ \text{Hipotenüs}^2 = 25 + 144 \] \[ \text{Hipotenüs}^2 = 169 \] \[ \text{Hipotenüs} = \sqrt{169} \] \[ \text{Hipotenüs} = 13 \text{ birim} \] -
💡 Sinüs \( \alpha \)'yı Hesaplama: Sinüs, karşı dik kenarın hipotenüse oranıdır.
\[ \sin \alpha = \frac{\text{Karşı Dik Kenar}}{\text{Hipotenüs}} = \frac{5}{13} \] -
💡 Kotanjant \( \alpha \)'yı Hesaplama: Kotanjant, komşu dik kenarın karşı dik kenara oranıdır. Aynı zamanda tanjantın çarpımsal tersidir.
\[ \cot \alpha = \frac{\text{Komşu Dik Kenar}}{\text{Karşı Dik Kenar}} = \frac{12}{5} \] Veya
\[ \cot \alpha = \frac{1}{\tan \alpha} = \frac{1}{\frac{5}{12}} = \frac{12}{5} \]
Örnek 3:
Bir ABC dik üçgeninde, B açısı 90 derecedir.
A açısının ölçüsü 30 derecedir ve AB kenarının uzunluğu \( 4\sqrt{3} \) birimdir.
Buna göre, BC kenarının uzunluğunu ve AC kenarının uzunluğunu bulunuz. 📏
A açısının ölçüsü 30 derecedir ve AB kenarının uzunluğu \( 4\sqrt{3} \) birimdir.
Buna göre, BC kenarının uzunluğunu ve AC kenarının uzunluğunu bulunuz. 📏
Çözüm:
Bu 30-60-90 özel üçgeni problemidir. Adımları takip edelim:
-
📌 Açıları Belirleme:
ABC bir dik üçgen ve B açısı 90 derecedir. A açısı 30 derece verildiğine göre, C açısı \( 180^\circ - 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ \) olacaktır. Bu bir 30-60-90 üçgenidir. -
💡 Tanjant Kullanarak BC'yi Bulma:
A açısı için karşı dik kenar BC, komşu dik kenar AB'dir.
\[ \tan A = \frac{BC}{AB} \] \[ \tan 30^\circ = \frac{BC}{4\sqrt{3}} \] \( \tan 30^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}} \) olduğunu biliyoruz.
\[ \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{BC}{4\sqrt{3}} \] İçler dışlar çarpımı yaparak veya her iki tarafı \( 4\sqrt{3} \) ile çarparak BC'yi buluruz:
\[ BC = \frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{3}} \] \[ BC = 4 \text{ birim} \] -
💡 Kosinüs Kullanarak AC'yi Bulma:
A açısı için komşu dik kenar AB, hipotenüs AC'dir.
\[ \cos A = \frac{AB}{AC} \] \[ \cos 30^\circ = \frac{4\sqrt{3}}{AC} \] \( \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \) olduğunu biliyoruz.
\[ \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{4\sqrt{3}}{AC} \] İçler dışlar çarpımı yapalım:
\[ AC \cdot \sqrt{3} = 2 \cdot 4\sqrt{3} \] \[ AC \cdot \sqrt{3} = 8\sqrt{3} \] Her iki tarafı \( \sqrt{3} \) ile bölelim:
\[ AC = 8 \text{ birim} \]
Örnek 4:
Bir ABCD dikdörtgeninde, AB kenarının uzunluğu 12 birim, BC kenarının uzunluğu 5 birimdir.
Köşegen AC çizilmiştir.
Buna göre, \( \sin(\angle DAC) \) değerini bulunuz. 🖼️
Köşegen AC çizilmiştir.
Buna göre, \( \sin(\angle DAC) \) değerini bulunuz. 🖼️
Çözüm:
Bu problemde dikdörtgenin özelliklerini ve dik üçgeni kullanacağız:
-
📌 Dik Üçgeni Belirleme:
ABCD bir dikdörtgen olduğu için tüm iç açıları 90 derecedir.
DAC açısı, ADC dik üçgeninin bir açısıdır (D açısı 90 derecedir). -
💡 Kenar Uzunluklarını Belirleme:
Dikdörtgenin karşılıklı kenarları eşit olduğundan:
AB = CD = 12 birim.
BC = AD = 5 birim.
ADC dik üçgeninde, AD = 5 birim (DAC açısının komşu dik kenarı) ve CD = 12 birim (DAC açısının karşı dik kenarı). -
💡 Hipotenüsü (AC) Bulma:
ADC dik üçgeninde Pisagor Teoremi'ni uygulayalım:
\[ AC^2 = AD^2 + CD^2 \] \[ AC^2 = 5^2 + 12^2 \] \[ AC^2 = 25 + 144 \] \[ AC^2 = 169 \] \[ AC = \sqrt{169} \] \[ AC = 13 \text{ birim} \] -
💡 Sinüs \( \angle DAC \)'yı Hesaplama:
DAC açısı için karşı dik kenar CD, hipotenüs AC'dir.
\[ \sin(\angle DAC) = \frac{\text{Karşı Dik Kenar}}{\text{Hipotenüs}} = \frac{CD}{AC} \] \[ \sin(\angle DAC) = \frac{12}{13} \]
Örnek 5:
Bir mühendis, bir binanın yüksekliğini ölçmek için binadan 20 metre uzaklaşmış ve binanın tepesine baktığında, göz hizasından itibaren 45 derecelik bir açı ölçmüştür. Mühendisin göz hizası yerden 1.7 metre yükseklikte olduğuna göre, binanın yaklaşık yüksekliği kaç metredir? (Gözle ölçülen açı, yer düzlemi ile mühendisin gözünden binanın tepesine çizilen doğru arasındaki açıdır.) 🏗️
Çözüm:
Bu problemi bir dik üçgen oluşturarak çözebiliriz:
-
📌 Dik Üçgeni Kurma:
Mühendisin bulunduğu nokta ile binanın tabanı arasındaki yatay mesafe (20 metre), dik üçgenin bir dik kenarını oluşturur.
Mühendisin göz hizasından binanın tepesine kadar olan dikey mesafe, diğer dik kenarı oluşturur.
Göz hizasından ölçülen açı 45 derecedir. -
💡 Dik Üçgendeki Yüksekliği Bulma:
Açımız 45 derece, komşu dik kenar 20 metre. Karşı dik kenarı (binanın göz hizasından üst kısmı) bulmak için tanjant oranını kullanırız.
\[ \tan 45^\circ = \frac{\text{Karşı Dik Kenar}}{\text{Komşu Dik Kenar}} \] \[ \tan 45^\circ = \frac{\text{Binanın Göz Hizasından Üst Kısmı}}{20} \] \( \tan 45^\circ = 1 \) olduğunu biliyoruz.
\[ 1 = \frac{\text{Binanın Göz Hizasından Üst Kısmı}}{20} \] \[ \text{Binanın Göz Hizasından Üst Kısmı} = 20 \text{ metre} \] -
💡 Toplam Bina Yüksekliğini Hesaplama:
Binanın toplam yüksekliği, mühendisin göz hizasından üst kısmının yüksekliği ile mühendisin göz hizasının yerden yüksekliğinin toplamıdır.
Toplam Bina Yüksekliği = (Binanın Göz Hizasından Üst Kısmı) + (Mühendisin Göz Hizasının Yüksekliği)
Toplam Bina Yüksekliği = \( 20 + 1.7 \)
Toplam Bina Yüksekliği = \( 21.7 \text{ metre} \)
Örnek 6:
Bir oyun parkında kaydırak yapmak için 5 metre uzunluğunda bir merdiven kullanılmıştır. Merdivenin yerle yaptığı açı 53 derecedir. ( \( \sin 53^\circ \approx 0.8 \), \( \cos 53^\circ \approx 0.6 \), \( \tan 53^\circ \approx 1.33 \) alınız.)
Buna göre, kaydırağın en yüksek noktasının yerden yüksekliği yaklaşık kaç metredir? 🎢
Buna göre, kaydırağın en yüksek noktasının yerden yüksekliği yaklaşık kaç metredir? 🎢
Çözüm:
Kaydırak merdiveni, yer ve yüksekliği ile bir dik üçgen oluşturur.
-
📌 Dik Üçgeni Tanımlama:
Merdivenin uzunluğu, dik üçgenin hipotenüsüdür (5 metre).
Merdivenin yerle yaptığı açı, dik üçgenin bir dar açısıdır (53 derece).
Kaydırağın yüksekliği, 53 derecelik açının karşı dik kenarıdır. -
💡 Yüksekliği Bulmak İçin Sinüs Kullanımı:
Bir açının sinüsü, karşı dik kenarın hipotenüse oranıdır.
\[ \sin 53^\circ = \frac{\text{Kaydırağın Yüksekliği}}{\text{Merdiven Uzunluğu}} \] \[ 0.8 = \frac{\text{Kaydırağın Yüksekliği}}{5} \] -
💡 Hesaplama:
Kaydırağın Yüksekliği \( = 0.8 \times 5 \)
Kaydırağın Yüksekliği \( = 4 \text{ metre} \)
Örnek 7:
Bir deniz feneri, deniz seviyesinden 30 metre yüksekliktedir. Fenerden 50 metre uzakta bulunan bir tekneden fenerin tepesine bakıldığında, gözlem açısı yaklaşık olarak kaç derecedir? ( \( \tan \alpha = 0.6 \) için \( \alpha \approx 31^\circ \) olduğunu varsayınız.) ⚓
Çözüm:
Bu senaryoyu bir dik üçgen olarak modelleyebiliriz:
-
📌 Dik Üçgeni Oluşturma:
Deniz fenerinin yüksekliği (30 metre), dik üçgenin bir dik kenarıdır.
Teknenin fenerden uzaklığı (50 metre), dik üçgenin diğer dik kenarıdır.
Gözlem açısı ( \( \alpha \) ), teknenin bulunduğu yerden fenerin tepesine bakıldığında oluşan açıdır. Bu açı için fenerin yüksekliği karşı dik kenar, teknenin uzaklığı ise komşu dik kenardır. -
💡 Tanjant Oranını Kullanma:
Gözlem açısını bulmak için tanjant oranını kullanırız:
\[ \tan \alpha = \frac{\text{Karşı Dik Kenar}}{\text{Komşu Dik Kenar}} \] \[ \tan \alpha = \frac{\text{Fenerin Yüksekliği}}{\text{Teknenin Uzaklığı}} \] \[ \tan \alpha = \frac{30}{50} \] \[ \tan \alpha = \frac{3}{5} \] \[ \tan \alpha = 0.6 \] -
💡 Açıyı Belirleme:
Soruda \( \tan \alpha = 0.6 \) olduğunda \( \alpha \approx 31^\circ \) olduğu belirtilmiştir.
Bu durumda, gözlem açısı yaklaşık 31 derecedir.
Örnek 8:
Bir teleferik hattının başlangıç noktası ile bitiş noktası arasındaki yatay mesafe 400 metredir. Teleferik hattının eğim açısı 25 derecedir. ( \( \sin 25^\circ \approx 0.42 \), \( \cos 25^\circ \approx 0.91 \), \( \tan 25^\circ \approx 0.47 \) alınız.)
Buna göre, teleferik hattının bitiş noktasının başlangıç noktasına göre yüksekliği yaklaşık kaç metredir? 🚠
Buna göre, teleferik hattının bitiş noktasının başlangıç noktasına göre yüksekliği yaklaşık kaç metredir? 🚠
Çözüm:
Teleferik hattı, yatay mesafe ve yükseklik ile bir dik üçgen oluşturur.
-
📌 Dik Üçgeni Kurma:
Yatay mesafe (400 metre), dik üçgenin komşu dik kenarıdır.
Eğim açısı (25 derece), dik üçgenin bir dar açısıdır.
Bitiş noktasının yüksekliği, 25 derecelik açının karşı dik kenarıdır. -
💡 Yüksekliği Bulmak İçin Tanjant Kullanımı:
Bir açının tanjantı, karşı dik kenarın komşu dik kenara oranıdır.
\[ \tan 25^\circ = \frac{\text{Yükseklik}}{\text{Yatay Mesafe}} \] \[ 0.47 = \frac{\text{Yükseklik}}{400} \] -
💡 Hesaplama:
Yükseklik \( = 0.47 \times 400 \)
Yükseklik \( = 188 \text{ metre} \)
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/10-sinif-matematik-dik-ucgende-trigonometrik-oranlar/sorular