💡 10. Sınıf Matematik: Dik Üçgende Trigonometrik Oranlar Ve Trigonometrik Özdeşlikler Çözümlü Örnekler

• 📌 Pisagor Teoremi: Dik kenarların kareleri toplamı, hipotenüsün karesine eşittir.
• AB = 8 birim (C açısının karşı kenarı)
• BC = 15 birim (C açısının komşu kenarı)
• AC = Hipotenüs

Şimdi hipotenüsü hesaplayalım:

Hipotenüs uzunluğu 17 birimdir. Şimdi C açısının trigonometrik oranlarını bulalım:

• 💡 Sinüs (karşı / hipotenüs):
\[ \sin(C) = \frac{\text{AB}}{\text{AC}} = \frac{8}{17} \]
• 💡 Kosinüs (komşu / hipotenüs):
\[ \cos(C) = \frac{\text{BC}}{\text{AC}} = \frac{15}{17} \]
• 💡 Tanjant (karşı / komşu):
\[ \tan(C) = \frac{\text{AB}}{\text{BC}} = \frac{8}{15} \]
• 💡 Kotanjant (komşu / karşı):
\[ \cot(C) = \frac{\text{BC}}{\text{AB}} = \frac{15}{8} \]

✅ Sonuç: C açısının sinüs değeri \( \frac{8}{17} \), kosinüs değeri \( \frac{15}{17} \), tanjant değeri \( \frac{8}{15} \) ve kotanjant değeri \( \frac{15}{8} \) dir.

1. Dik Üçgen Çizerek Çözüm:
• 👉 Bir dik üçgen düşünelim ve dar açılardan birine \(x\) diyelim.
• Sinüs, "karşı dik kenar uzunluğu / hipotenüs uzunluğu" olduğundan, \(x\) açısının karşısındaki dik kenar 3 birim, hipotenüs ise 5 birim olabilir.
• Pisagor Teoremi'ni kullanarak komşu dik kenarı bulalım:
\[ a^2 + 3^2 = 5^2 \] \[ a^2 + 9 = 25 \] \[ a^2 = 16 \] \[ a = 4 \text{ birim} \]
• Şimdi \( \cos(x) \) ve \( \tan(x) \) değerlerini bulabiliriz:
• 💡 Kosinüs (komşu / hipotenüs):
\[ \cos(x) = \frac{4}{5} \]
• 💡 Tanjant (karşı / komşu):
\[ \tan(x) = \frac{3}{4} \]
2. Trigonometrik Özdeşlik Kullanarak Çözüm:
• 📌 En temel trigonometrik özdeşliklerden biri \( \sin^2(x) + \cos^2(x) = 1 \) dir.
• Verilen \( \sin(x) = \frac{3}{5} \) değerini bu özdeşlikte yerine koyalım:
\[ \left(\frac{3}{5}\right)^2 + \cos^2(x) = 1 \] \[ \frac{9}{25} + \cos^2(x) = 1 \] \[ \cos^2(x) = 1 - \frac{9}{25} \] \[ \cos^2(x) = \frac{25-9}{25} \] \[ \cos^2(x) = \frac{16}{25} \]
• \(x\) bir dar açı olduğu için \( \cos(x) \) pozitif olmalıdır:
\[ \cos(x) = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5} \]
• Şimdi \( \tan(x) \) değerini bulalım. Tanjant, \( \frac{\sin(x)}{\cos(x)} \) özdeşliği ile hesaplanır:
\[ \tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)} = \frac{\frac{3}{5}}{\frac{4}{5}} \] \[ \tan(x) = \frac{3}{5} \times \frac{5}{4} \] \[ \tan(x) = \frac{3}{4} \]

✅ Sonuç: Her iki yöntemle de \( \cos(x) = \frac{4}{5} \) ve \( \tan(x) = \frac{3}{4} \) bulunur.

Değerleri hatırlayalım:

• \( \sin(30^\circ) = \frac{1}{2} \)
• \( \cos(60^\circ) = \frac{1}{2} \)
• \( \tan(45^\circ) = 1 \)
• \( \cot(45^\circ) = 1 \)

Şimdi bu değerleri verilen ifadede yerine koyalım:

✅ Sonuç: Verilen ifadenin değeri \(0\) dır.

• 📌 Tümler Açı İlişkisi: İki açının toplamı \(90^\circ\) ise bu açılar tümler açılardır. Tümler açılarda birinin sinüsü diğerinin kosinüsüne, birinin tanjantı diğerinin kotanjantına eşittir.
  Yani, \( \sin(90^\circ - \alpha) = \cos(\alpha) \) ve \( \cos(90^\circ - \alpha) = \sin(\alpha) \).
  Aynı şekilde, \( \tan(90^\circ - \alpha) = \cot(\alpha) \) ve \( \cot(90^\circ - \alpha) = \tan(\alpha) \).
• 📌 Temel Özdeşlik: \( \tan(\alpha) \cdot \cot(\alpha) = 1 \) dir.

Şimdi ifadeyi adım adım sadeleştirelim:

1. İlk terimi inceleyelim: \( \frac{\sin(25^\circ)}{\cos(65^\circ)} \)
• 👉 \(25^\circ\) ve \(65^\circ\) açılarının toplamı \(25^\circ + 65^\circ = 90^\circ\) olduğu için bu açılar tümlerdir.
• Bu durumda \( \cos(65^\circ) = \sin(90^\circ - 65^\circ) = \sin(25^\circ) \) dir.
• O halde, \( \frac{\sin(25^\circ)}{\cos(65^\circ)} = \frac{\sin(25^\circ)}{\sin(25^\circ)} = 1 \) olur.
2. İkinci terimi inceleyelim: \( \tan(10^\circ) \cdot \cot(10^\circ) \)
• 👉 Tanjant ve kotanjantın aynı açı için çarpımı her zaman 1'e eşittir.
• Yani, \( \tan(10^\circ) \cdot \cot(10^\circ) = 1 \) dir.
3. Şimdi her iki terimi toplayalım:
\[ 1 + 1 = 2 \]

✅ Sonuç: Verilen ifadenin en sade hali \(2\) dir.

• 📌 Pisagor Özdeşliği: \( \sin^2(x) + \cos^2(x) = 1 \) dir.
• Bu özdeşlikten \( 1 - \sin^2(x) \) ifadesini elde edebiliriz:
\[ \cos^2(x) = 1 - \sin^2(x) \]

Şimdi bu özdeşliği verilen ifadede yerine koyalım:

1. Pay kısmındaki \( 1 - \sin^2(x) \) yerine \( \cos^2(x) \) yazalım:
\[ \frac{\cos^2(x)}{\cos(x)} \]
2. Pay kısmındaki \( \cos^2(x) \) ifadesi \( \cos(x) \cdot \cos(x) \) anlamına gelir.
\[ \frac{\cos(x) \cdot \cos(x)}{\cos(x)} \]
3. Pay ve paydadaki ortak terim olan \( \cos(x) \) sadeleşir ( \( \cos(x) \neq 0 \) varsayımıyla):
\[ \cos(x) \]

✅ Sonuç: Verilen ifadenin en sade hali \( \cos(x) \) dir.

Durumu bir dik üçgen olarak hayal edelim:

• 👉 Mühendisin durduğu nokta ile binanın tabanı arasındaki uzaklık, dik üçgenin komşu dik kenarıdır. Bu, 50 metredir.
• 👉 Binanın yüksekliği, mühendisin baktığı açının karşı dik kenarıdır. Bu, bulmamız gereken değerdir (h).
• 👉 Görüş açısı \(37^\circ\) dir.

Tanjant, "karşı dik kenar / komşu dik kenar" oranı olduğu için bu formülü kullanacağız:

Verilen değerleri yerine koyalım:

Şimdi \(h\) değerini bulmak için denklemi çözelim:

✅ Sonuç: Binanın yaklaşık yüksekliği 37.5 metredir.

Her iki durumda da, güneş ışınlarının yerle yaptığı açının tanjant değeri aynı olacaktır:

• 📌 Tanjant (açı) = Karşı dik kenar / Komşu dik kenar

Önce direk için açının tanjantını bulalım:

1. Direk için:
• Direğin yüksekliği (karşı kenar) = 2 metre
• Gölge boyu (komşu kenar) = 4 metre
• Açının tanjantı = \( \frac{2}{4} = \frac{1}{2} = 0.5 \)
2. Ağaç için:
• Ağacın yüksekliği (karşı kenar) = \(h\) (bilinmiyor)
• Gölge boyu (komşu kenar) = 10 metre
• Güneş ışınlarının yerle yaptığı açı aynı olduğu için, ağaç için de tanjant değeri 0.5 olmalıdır.
3. Şimdi ağacın yüksekliğini hesaplayalım:
\[ \tan(\text{açı}) = \frac{\text{Ağacın Yüksekliği}}{\text{Ağacın Gölge Boyu}} \] \[ 0.5 = \frac{h}{10} \] \[ h = 0.5 \times 10 \] \[ h = 5 \]

✅ Sonuç: Ağacın yüksekliği 5 metredir.

1. Önce parantezli ifadenin karesini açalım: \( (\sin(x) + \cos(x))^2 \)
• 📌 \( (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \) özdeşliğini kullanalım.
\[ (\sin(x) + \cos(x))^2 = \sin^2(x) + 2\sin(x)\cos(x) + \cos^2(x) \]
• Şimdi \( \sin^2(x) + \cos^2(x) = 1 \) temel özdeşliğini uygulayalım:
\[ \sin^2(x) + \cos^2(x) + 2\sin(x)\cos(x) = 1 + 2\sin(x)\cos(x) \]
2. Şimdi ikinci terimi inceleyelim: \( 2 \tan(x) \cdot \cos^2(x) \)
• 📌 \( \tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)} \) özdeşliğini kullanalım.
\[ 2 \cdot \frac{\sin(x)}{\cos(x)} \cdot \cos^2(x) \]
• \( \cos^2(x) = \cos(x) \cdot \cos(x) \) olduğu için bir tane \( \cos(x) \) sadeleşir:
\[ 2 \cdot \sin(x) \cdot \cos(x) \]
3. Son olarak, ilk terimden ikinci terimi çıkaralım:
\[ (1 + 2\sin(x)\cos(x)) - (2\sin(x)\cos(x)) \] \[ = 1 + 2\sin(x)\cos(x) - 2\sin(x)\cos(x) \] \[ = 1 \]

✅ Sonuç: Verilen ifadenin en sade hali \(1\) dir.