💡 10. Sınıf Matematik: Dik Üçgende Trigonometrik Oranlar Ve Trigonometrik Özdeşlikler Çözümlü Örnekler

Soruyu adım adım çözerek trigonometrik oranları bulalım:

• 1. Adım: Hipotenüs uzunluğunu bulalım.
  Pisagor teoremini kullanarak \(|AC|\) (hipotenüs) uzunluğunu hesaplarız:
  \[ |AC|^2 = |AB|^2 + |BC|^2 \] \[ |AC|^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 \] \[ |AC| = 10 \text{ cm} \] (Bu üçgen, ünlü \(3-4-5\) özel üçgeninin \(2\) katı olan \(6-8-10\) üçgenidir.)


• 2. Adım: Sinüs değerini hesaplayalım.
  \(A\) açısının sinüs değeri, karşı dik kenar uzunluğunun hipotenüs uzunluğuna oranıdır:
  \[ \sin(A) = \frac{|BC|}{|AC|} = \frac{8}{10} = \frac{4}{5} \]


• 3. Adım: Kosinüs değerini hesaplayalım.
  \(A\) açısının kosinüs değeri, komşu dik kenar uzunluğunun hipotenüs uzunluğuna oranıdır:
  \[ \cos(A) = \frac{|AB|}{|AC|} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5} \]


• 4. Adım: İstenen toplamı bulalım.
  \[ \sin(A) + \cos(A) = \frac{4}{5} + \frac{3}{5} = \frac{7}{5} \]

Trigonometrik oranlardan biri verildiğinde diğerlerini bulmak için bir dik üçgen çizeriz:

• 1. Adım: Dik üçgeni kurgulayalım.
  Bir açısı \(x\) olan dik üçgende, sinüs oranı karşı/hipotenüs olduğundan:
  Karşı dik kenar = \(5\) birim
  Hipotenüs = \(13\) birim olsun.


• 2. Adım: Komşu dik kenarı bulalım.
  Pisagor teoreminden komşu dik kenara \(b\) dersek:
  \[ 5^2 + b^2 = 13^2 \] \[ 25 + b^2 = 169 \implies b^2 = 144 \implies b = 12 \] (Bu üçgen \(5-12-13\) özel dik üçgenidir.)


• 3. Adım: \(\tan(x)\) ve \(\cot(x)\) değerlerini bulalım.
  Tanjant, karşı dik kenarın komşu dik kenara oranıdır:
  \[ \tan(x) = \frac{5}{12} \] Kotanjant, komşu dik kenarın karşı dik kenara oranıdır:
  \[ \cot(x) = \frac{12}{5} \]


• 4. Adım: Toplama işlemini yapalım.
  \[ \tan(x) + \cot(x) = \frac{5}{12} + \frac{12}{5} \] Paydaları \(60\) sayısında eşitleyelim:
  \[ \frac{25}{60} + \frac{144}{60} = \frac{169}{60} \]

Temel trigonometrik özdeşlikleri hatırlayarak adımları uygulayalım:

• 1. Adım: \(\cot(x)\) ifadesini sinüs ve kosinüs cinsinden yazalım.
  \[ \cot(x) = \frac{\cos(x)}{\sin(x)} \] Bu ifadeyi pay kısmında yerine yazarsak:
  \[ \sin(x) \cdot \cot(x) = \sin(x) \cdot \frac{\cos(x)}{\sin(x)} = \cos(x) \]


• 2. Adım: Paydadaki ifadeyi sadeleştirelim.
  En temel özdeşliğimiz olan \(\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1\) eşitliğinden yararlanalım:
  \[ 1 - \sin^2(x) = \cos^2(x) \]


• 3. Adım: Bulduğumuz değerleri ana kesirde yerine koyalım.
  \[ \frac{\cos(x)}{\cos^2(x)} \]


• 4. Adım: Sadeleştirme işlemini yapalım.
  Pay ve paydayı \(\cos(x)\) ile sadeleştirdiğimizde:
  \[ \frac{1}{\cos(x)} \] elde edilir.

Yükseklik çizildiğinde iki adet dik üçgen oluşur: \(ABD\) ve \(ADC\) dik üçgenleri.

• 1. Adım: \(ABD\) dik üçgenini inceleyelim.
  \([AD] \perp [BC]\) olduğundan \(ADB\) açısı \(90^\circ\) dir.
  \[ \tan(B) = \frac{|AD|}{|BD|} \] Bize verilen değerleri yerine yazalım:
  \[ \frac{3}{4} = \frac{12}{|BD|} \] İçler dışlar çarpımı yaparsak:
  \[ 3 \cdot |BD| = 48 \implies |BD| = 16 \text{ cm} \]


• 2. Adım: \(ADC\) dik üçgenini inceleyelim.
  \(ADC\) açısı \(90^\circ\) dir.
  \[ \cos(C) = \frac{|CD|}{|AC|} = \frac{12}{13} \] Bu durumda \(|CD| = 12k\) ve \(|AC| = 13k\) diyebiliriz.
  Pisagor teoreminden (veya \(5-12-13\) özel üçgeninden) karşı kenar olan \(|AD| = 5k\) olur.
  Soruda \(|AD| = 12\) cm olarak verilmiştir:
  \[ 5k = 12 \implies k = \frac{12}{5} = 2.4 \] Buradan \(|CD|\) uzunluğunu bulalım:
  \[ |CD| = 12k = 12 \cdot 2.4 = 28.8 \text{ cm} \]


• 3. Adım: Toplam uzunluğu hesaplayalım.
  \(|BC| = |BD| + |CD|\) olduğuna göre:
  \[ |BC| = 16 + 28.8 = 44.8 \text{ cm} \]

Bu problem günlük hayatta trigonometrinin nirengi (ölçüm) işlemlerinde nasıl kullanıldığını gösterir:

• 1. Adım: Durumu bir dik üçgen olarak modelleyelim.
  Direğin boyuna \(h\) diyelim (karşı dik kenar).
  Mühendisin direğe olan mesafesi \(10\sqrt{3}\) metredir (komşu dik kenar).
  Yer ile yapılan açı \(30^\circ\) dir.


• 2. Adım: Uygun trigonometrik oranı seçelim.
  Karşı ve komşu kenarlar işin içinde olduğu için tanjant oranını kullanırız:
  \[ \tan(30^\circ) = \frac{\text{Karşı Kenar}}{\text{Komşu Kenar}} \] \[ \tan(30^\circ) = \frac{h}{10\sqrt{3}} \]


• 3. Adım: \(\tan(30^\circ)\) değerini yerine yazalım.
  \(30^\circ-60^\circ-90^\circ\) üçgeninden bildiğimiz üzere:
  \[ \tan(30^\circ) = \frac{1}{\sqrt{3}} \]


• 4. Adım: Denklemi çözelim.
  \[ \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{h}{10\sqrt{3}} \] Her iki tarafı \(10\sqrt{3}\) ile çarparsak:
  \[ h = \frac{10\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 10 \text{ metre} \]

Soruyu çözmek için tepe noktasından yere bir dikme indirerek iki adet dik üçgen oluşturalım:

• 1. Adım: Tepe noktasını ve yüksekliği belirleyelim.
  Tepe noktası \(A\) olsun. Yer üzerindeki dik izdüşümü \(H\) olsun.
  \(|AH| = h\) (kaydırağın yerden yüksekliği) olsun.


• 2. Adım: Merdiven tarafındaki dik üçgeni çözelim.
  Merdivenin uzunluğu hipotenüstür ve \(4\) metredir. Yerle yaptığı açı \(60^\circ\) dir.
  \[ \sin(60^\circ) = \frac{h}{4} \] \[ \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{h}{4} \implies h = 2\sqrt{3} \text{ metre} \]


• 3. Adım: Kaydırak tarafındaki dik üçgeni çözelim.
  Kaydırak yüzeyinin uzunluğuna \(L\) diyelim. Yerle yaptığı açı \(45^\circ\) dir.
  \[ \sin(45^\circ) = \frac{h}{L} \] \[ \sin(45^\circ) = \frac{2\sqrt{3}}{L} \] \(\sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}\) değerini yerine yazalım:
  \[ \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{2\sqrt{3}}{L} \] \[ L \cdot \sqrt{2} = 4\sqrt{3} \] \[ L = \frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{6} \text{ metre} \]

Bu soru, trigonometrik özdeşlikler ile temel cebirsel özdeşliklerin harika bir birleşimidir:

• 1. Adım: Verilen eşitliğin her iki tarafının karesini alalım.
  \[ (\tan(x) + \cot(x))^2 = 4^2 \]


• 2. Adım: Tam kare açılımını uygulayalım.
  \[ \tan^2(x) + 2 \cdot \tan(x) \cdot \cot(x) + \cot^2(x) = 16 \]


• 3. Adım: Temel trigonometrik özdeşliği kullanalım.
  Aynı açının tanjantı ile kotanjantının çarpımının \(1\) olduğunu biliyoruz:
  \[ \tan(x) \cdot \cot(x) = 1 \] Bu değeri denklemde yerine yazalım:
  \[ \tan^2(x) + 2 \cdot (1) + \cot^2(x) = 16 \] \[ \tan^2(x) + \cot^2(x) + 2 = 16 \]


• 4. Adım: İstenen ifadeyi yalnız bırakalım.
  Eşitliğin her iki tarafından \(2\) çıkarırsak:
  \[ \tan^2(x) + \cot^2(x) = 14 \]

Günlük hayatta erişilebilirlik standartlarını belirlemek için trigonometrik oranlar kullanılır:

• 1. Adım: Problemi görselleştirelim ve modelleyelim.
  Rampanın yüksekliği (karşı kenar) \(h = 0.8\) metredir.
  Rampanın uzunluğu (hipotenüs) \(L\) metredir.
  Rampanın yerle yaptığı açı \(\alpha\) olsun.


• 2. Adım: Sinüs oranını yazalım.
  \[ \sin(\alpha) = \frac{\text{Karşı Kenar}}{\text{Hipotenüs}} = \frac{0.8}{L} \]


• 3. Adım: Güvenlik şartını uygulayalım.
  Güvenlik kuralına göre sinüs değeri en fazla \(\frac{1}{10}\) olmalıdır:
  \[ \sin(\alpha) \le \frac{1}{10} \] \[ \frac{0.8}{L} \le \frac{1}{10} \]


• 4. Adım: Eşitsizliği çözerek en küçük \(L\) değerini bulalım.
  Rampanın boyu \(L\) pozitif bir değer olduğundan içler dışlar yönü değişmez:
  \[ 0.8 \cdot 10 \le L \] \[ 8 \le L \] Buradan rampanın uzunluğunun alabileceği en küçük değer \(8\) metredir.