🎓 10. Sınıf
📚 10. Sınıf Matematik
💡 10. Sınıf Matematik: Dik Üçgende Trigonometrik Oranlar ve Özdeşlikler Çözümlü Örnekler
10. Sınıf Matematik: Dik Üçgende Trigonometrik Oranlar ve Özdeşlikler Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Bir dik üçgende, dik olmayan açılardan birinin ölçüsü \( \alpha \) olsun. Bu \( \alpha \) açısının karşısındaki dik kenar uzunluğu 8 birim ve komşu dik kenar uzunluğu 6 birimdir. Buna göre, \( \sin(\alpha) \) ve \( \cos(\alpha) \) değerlerini bulunuz. 💡
Çözüm:
Bu soruyu çözmek için öncelikle dik üçgenin hipotenüsünü bulmamız gerekiyor.
- Pisagor Teoremi: Dik üçgende dik kenarların kareleri toplamı, hipotenüsün karesine eşittir. \( a^2 + b^2 = c^2 \)
- Verilen dik kenar uzunlukları: \( a = 8 \) ve \( b = 6 \). Hipotenüs \( c \) olsun.
- Hesaplama: \( 8^2 + 6^2 = c^2 \)
- \( 64 + 36 = c^2 \)
- \( 100 = c^2 \)
- \( c = \sqrt{100} = 10 \) birim.
- Trigonometrik Oranlar:
- \( \sin(\alpha) = \frac{\text{karşı dik kenar}}{\text{hipotenüs}} \)
- \( \sin(\alpha) = \frac{8}{10} = \frac{4}{5} \)
- \( \cos(\alpha) = \frac{\text{komşu dik kenar}}{\text{hipotenüs}} \)
- \( \cos(\alpha) = \frac{6}{10} = \frac{3}{5} \)
Örnek 2:
Bir \( ABC \) dik üçgeninde \( \angle C = 90^\circ \) dir. \( |AC| = 5 \) birim ve \( |BC| = 12 \) birimdir. \( \angle BAC \) açısına \( \beta \) dersek, \( \tan(\beta) \) ve \( \cot(\beta) \) değerlerini hesaplayınız. 🤔
Çözüm:
Öncelikle \( ABC \) dik üçgeninin hipotenüsünü bulalım.
- Pisagor Teoremi: \( |AC|^2 + |BC|^2 = |AB|^2 \)
- \( 5^2 + 12^2 = |AB|^2 \)
- \( 25 + 144 = |AB|^2 \)
- \( 169 = |AB|^2 \)
- \( |AB| = \sqrt{169} = 13 \) birim.
- Şimdi \( \beta \) açısı için trigonometrik oranları yazalım:
- \( \tan(\beta) = \frac{\text{karşı dik kenar}}{\text{komşu dik kenar}} \)
- \( \tan(\beta) = \frac{|BC|}{|AC|} = \frac{12}{5} \)
- \( \cot(\beta) = \frac{\text{komşu dik kenar}}{\text{karşı dik kenar}} \)
- \( \cot(\beta) = \frac{|AC|}{|BC|} = \frac{5}{12} \)
Örnek 3:
Bir dik üçgende, \( \sin(x) = \frac{3}{5} \) olarak verilmiştir. \( x \) açısı dar açı olduğuna göre, \( \cos(x) \) ve \( \tan(x) \) değerlerini bulunuz. 🧐
Çözüm:
Bu soruyu çözmek için Pisagor teoremini kullanabiliriz. \( \sin(x) = \frac{\text{karşı}}{\text{hipotenüs}} \) olduğundan, karşı dik kenar 3 birim ve hipotenüs 5 birim olarak düşünülebilir.
- Bir dik üçgen çizelim veya zihnimizde canlandıralım. Karşı dik kenar \( 3 \) ve hipotenüs \( 5 \) olsun.
- Pisagor Teoremi ile komşu dik kenarı bulma: \( \text{karşı}^2 + \text{komşu}^2 = \text{hipotenüs}^2 \)
- \( 3^2 + \text{komşu}^2 = 5^2 \)
- \( 9 + \text{komşu}^2 = 25 \)
- \( \text{komşu}^2 = 25 - 9 = 16 \)
- \( \text{komşu} = \sqrt{16} = 4 \) birim.
- Şimdi \( \cos(x) \) ve \( \tan(x) \) değerlerini hesaplayabiliriz:
- \( \cos(x) = \frac{\text{komşu dik kenar}}{\text{hipotenüs}} = \frac{4}{5} \)
- \( \tan(x) = \frac{\text{karşı dik kenar}}{\text{komşu dik kenar}} = \frac{3}{4} \)
Örnek 4:
\( \sin^2(x) + \cos^2(x) \) trigonometrik özdeşliğinin değerini bulunuz. Bu özdeşlik her \( x \) açısı için geçerlidir. 💯
Çözüm:
Bu soru, trigonometrinin en temel ve önemli özdeşliklerinden birini sormaktadır.
- Temel Trigonometrik Özdeşlik: \( \sin^2(x) + \cos^2(x) = 1 \)
- Bu özdeşlik, birim çember kullanılarak veya dik üçgenin kenarları arasındaki ilişkiden türetilebilir.
- Dik Üçgen ile Açıklama:
- Bir dik üçgende, \( \sin(x) = \frac{a}{c} \) ve \( \cos(x) = \frac{b}{c} \) olsun (burada \( a \) karşı, \( b \) komşu dik kenar ve \( c \) hipotenüstür).
- \( \sin^2(x) + \cos^2(x) = \left(\frac{a}{c}\right)^2 + \left(\frac{b}{c}\right)^2 \)
- \( = \frac{a^2}{c^2} + \frac{b^2}{c^2} \)
- \( = \frac{a^2 + b^2}{c^2} \)
- Pisagor teoreminden \( a^2 + b^2 = c^2 \) olduğunu biliyoruz.
- \( = \frac{c^2}{c^2} = 1 \)
Örnek 5:
Bir inşaat mühendisi, 15 metre yüksekliğindeki bir binanın tepesinden, binanın tabanına 20 metre uzaklıktaki bir noktaya bakmaktadır. Mühendisin baktığı bu noktadan binanın tepesine çizilen görüş doğrusunun, yatay zeminle yaptığı açının tanjant değerini bulunuz. 🏗️
Çözüm:
Bu problemi bir dik üçgen modeliyle çözebiliriz.
- Üçgenin Tanımlanması:
- Dik üçgenin bir dik kenarı binanın yüksekliği olacaktır: \( 15 \) metre.
- Diğer dik kenarı, binanın tabanı ile bakılan nokta arasındaki yatay uzaklıktır: \( 20 \) metre.
- Aradığımız açı, bu iki dik kenar arasındaki açıdır.
- Tanjant Değerinin Hesaplanması:
- Tanjant, karşı dik kenarın komşu dik kenara oranıdır.
- \( \tan(\text{açı}) = \frac{\text{karşı dik kenar}}{\text{komşu dik kenar}} \)
- \( \tan(\text{açı}) = \frac{15 \text{ metre}}{20 \text{ metre}} \)
- \( \tan(\text{açı}) = \frac{15}{20} \)
- Kesri sadeleştirirsek: \( \tan(\text{açı}) = \frac{3}{4} \)
Örnek 6:
Bir yamaç paraşütü pilotu, yerden 500 metre yükseklikte süzülürken, başlangıç noktasının yatayda 1200 metre uzağındaki bir noktaya doğru alçalmaktadır. Pilotun alçalma rotasının yatay düzlemle yaptığı açının sinüs değerini hesaplayınız. 🪂
Çözüm:
Bu durumu bir dik üçgen ile modelleyelim.
- Dik Üçgenin Kenarları:
- Dik üçgenin dikey kenarı pilotun yüksekliğidir: \( 500 \) metre.
- Dik üçgenin yatay kenarı, başlangıç noktası ile pilotun bulunduğu noktanın yatay uzaklığıdır: \( 1200 \) metre.
- Pilotun alçalma rotası, bu dik üçgenin hipotenüsünü oluşturur.
- Hipotenüsün Hesaplanması:
- Pisagor teoremini kullanarak hipotenüsü bulalım: \( \text{yükseklik}^2 + \text{yatay uzaklık}^2 = \text{hipotenüs}^2 \)
- \( 500^2 + 1200^2 = \text{hipotenüs}^2 \)
- \( 250000 + 1440000 = \text{hipotenüs}^2 \)
- \( 1690000 = \text{hipotenüs}^2 \)
- \( \text{hipotenüs} = \sqrt{1690000} = 1300 \) metre.
- Sinüs Değerinin Hesaplanması:
- Sinüs, karşı dik kenarın (yükseklik) hipotenüse oranıdır.
- \( \sin(\text{açı}) = \frac{\text{karşı dik kenar}}{\text{hipotenüs}} \)
- \( \sin(\text{açı}) = \frac{500 \text{ metre}}{1300 \text{ metre}} \)
- \( \sin(\text{açı}) = \frac{500}{1300} = \frac{5}{13} \)
Örnek 7:
Bir merdiven, eğimi %75 olan bir duvara yaslanmıştır. Merdivenin duvara temas ettiği nokta ile yerdeki başlangıç noktası arasındaki uzaklık 6 metre olduğuna göre, merdivenin uzunluğunu bulunuz. 🪜
Çözüm:
Bu durumu bir dik üçgen olarak düşünebiliriz.
- Eğim Kavramı: Eğim, dikey mesafenin yatay mesafeye oranıdır. %75 eğim, \( \frac{75}{100} = \frac{3}{4} \) olarak ifade edilir.
- Bu, \( \tan(\text{açı}) = \frac{3}{4} \) anlamına gelir.
- Dik Üçgenin Kenarları:
- Merdivenin yerdeki başlangıç noktası ile duvar arasındaki uzaklık, dik üçgenin yatay kenarıdır: \( 6 \) metre.
- Merdivenin duvara yaslandığı nokta ile yer arasındaki uzaklık, dik üçgenin dikey kenarıdır.
- Merdivenin uzunluğu ise hipotenüstür.
- Oranlardan Hipotenüsü Bulma:
- \( \tan(\text{açı}) = \frac{\text{dikey kenar}}{\text{yatay kenar}} \)
- \( \frac{3}{4} = \frac{\text{dikey kenar}}{6 \text{ metre}} \)
- Buradan dikey kenarı bulalım: \( \text{dikey kenar} = \frac{3}{4} \times 6 = \frac{18}{4} = 4.5 \) metre.
- Şimdi merdivenin uzunluğunu (hipotenüsü) Pisagor teoremi ile bulalım:
- \( \text{yatay kenar}^2 + \text{dikey kenar}^2 = \text{merdiven uzunluğu}^2 \)
- \( 6^2 + (4.5)^2 = \text{merdiven uzunluğu}^2 \)
- \( 36 + 20.25 = \text{merdiven uzunluğu}^2 \)
- \( 56.25 = \text{merdiven uzunluğu}^2 \)
- \( \text{merdiven uzunluğu} = \sqrt{56.25} = 7.5 \) metre.
Örnek 8:
Bir \( ABC \) dik üçgeninde \( \angle B = 90^\circ \) dir. \( |AB| = 7 \) birim ve \( |BC| = 24 \) birimdir. \( \angle BAC = \alpha \) olduğuna göre, \( \frac{\sin(\alpha) + \cos(\alpha)}{\tan(\alpha)} \) ifadesinin değerini hesaplayınız. 🚀
Çözüm:
Öncelikle \( ABC \) dik üçgeninin hipotenüsünü bulalım.
- Pisagor Teoremi: \( |AB|^2 + |BC|^2 = |AC|^2 \)
- \( 7^2 + 24^2 = |AC|^2 \)
- \( 49 + 576 = |AC|^2 \)
- \( 625 = |AC|^2 \)
- \( |AC| = \sqrt{625} = 25 \) birim.
- Şimdi \( \alpha \) açısı için trigonometrik oranları hesaplayalım:
- \( \sin(\alpha) = \frac{\text{karşı}}{\text{hipotenüs}} = \frac{|BC|}{|AC|} = \frac{24}{25} \)
- \( \cos(\alpha) = \frac{\text{komşu}}{\text{hipotenüs}} = \frac{|AB|}{|AC|} = \frac{7}{25} \)
- \( \tan(\alpha) = \frac{\text{karşı}}{\text{komşu}} = \frac{|BC|}{|AB|} = \frac{24}{7} \)
- Şimdi verilen ifadeyi hesaplayalım:
- \( \frac{\sin(\alpha) + \cos(\alpha)}{\tan(\alpha)} = \frac{\frac{24}{25} + \frac{7}{25}}{\frac{24}{7}} \)
- Pay kısmını toplayalım: \( \frac{24}{25} + \frac{7}{25} = \frac{31}{25} \)
- Şimdi bölme işlemini yapalım: \( \frac{\frac{31}{25}}{\frac{24}{7}} = \frac{31}{25} \times \frac{7}{24} \)
- \( = \frac{31 \times 7}{25 \times 24} = \frac{217}{600} \)
Örnek 9:
Bir \( ABC \) dik üçgeninde \( \angle C = 90^\circ \) dir. \( \tan(A) = \frac{5}{12} \) olduğuna göre, \( \sin(A) \times \cos(B) + \cos(A) \times \sin(B) \) ifadesinin değerini bulunuz. 🧠
Çözüm:
Bu soruyu çözmek için öncelikle \( A \) açısının trigonometrik oranlarını bulalım ve ardından \( B \) açısı ile ilişkisini kullanalım.
- Tanjanttan Diğer Oranları Bulma:
- \( \tan(A) = \frac{\text{karşı}}{\text{komşu}} = \frac{5}{12} \)
- Karşı dik kenar \( 5k \), komşu dik kenar \( 12k \) ve hipotenüs \( 13k \) olur (Pisagor'dan \( (5k)^2 + (12k)^2 = (13k)^2 \)).
- \( \sin(A) = \frac{\text{karşı}}{\text{hipotenüs}} = \frac{5k}{13k} = \frac{5}{13} \)
- \( \cos(A) = \frac{\text{komşu}}{\text{hipotenüs}} = \frac{12k}{13k} = \frac{12}{13} \)
- A ve B Açıları Arasındaki İlişki:
- Bir dik üçgende, iki dar açının toplamı \( 90^\circ \) dir. Yani \( A + B = 90^\circ \).
- Bu durumda, \( \cos(B) = \sin(A) \) ve \( \sin(B) = \cos(A) \) olur.
- Bu bilgileri kullanarak ifadeyi yeniden yazalım:
- \( \sin(A) \times \cos(B) + \cos(A) \times \sin(B) = \sin(A) \times \sin(A) + \cos(A) \times \cos(A) \)
- \( = \sin^2(A) + \cos^2(A) \)
- Temel Trigonometrik Özdeşlik:
- Her \( A \) açısı için \( \sin^2(A) + \cos^2(A) = 1 \) olduğunu biliyoruz.
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/10-sinif-matematik-dik-ucgende-trigonometrik-oranlar-ve-ozdeslikler/sorular