🎓 10. Sınıf
📚 10. Sınıf Matematik
💡 10. Sınıf Matematik: Dik Üçgende Trigonometrik Açılar Çözümlü Örnekler
10. Sınıf Matematik: Dik Üçgende Trigonometrik Açılar Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Bir dik üçgende, dik açının karşısındaki kenarın uzunluğu 13 birim ve komşu dik kenarlardan birinin uzunluğu 5 birimdir. Bu dik üçgende, 5 birim uzunluğundaki kenarın karşısındaki açının sinüs değeri kaçtır? 💡
Çözüm:
- Bir dik üçgende sinüs, karşı dik kenar uzunluğunun hipotenüs uzunluğuna oranı ile bulunur.
- Soruda verilenler:
- Hipotenüs uzunluğu = 13 birim
- Bir dik kenar uzunluğu = 5 birim
- Bu dik kenarın karşısındaki açıyı ele alalım. Bu açının karşısındaki dik kenar 5 birimdir.
- Sinüs değeri = (Karşı dik kenar) / (Hipotenüs)
- Sinüs değeri = 5 / 13
Örnek 2:
Bir ABC dik üçgeninde, \( \angle C = 90^\circ \). Eğer \( |AC| = 8 \) birim ve \( |BC| = 6 \) birim ise, \( \angle A \) açısının tanjant değeri kaçtır? 🤔
Çözüm:
- Bir dik üçgende tanjant, karşı dik kenar uzunluğunun komşu dik kenar uzunluğuna oranı ile bulunur.
- \( \angle A \) açısı için:
- Karşı dik kenar \( |BC| = 6 \) birimdir.
- Komşu dik kenar \( |AC| = 8 \) birimdir.
- Tanjant değeri = (Karşı dik kenar) / (Komşu dik kenar)
- \( \tan(\angle A) = \frac{|BC|}{|AC|} = \frac{6}{8} \)
- Bu kesri sadeleştirebiliriz: \( \frac{6}{8} = \frac{3}{4} \)
Örnek 3:
Bir ABC dik üçgeninde \( \angle B = 90^\circ \) ve \( \tan(\angle A) = \frac{12}{5} \) olarak verilmiştir. Eğer \( |AB| = 10 \) birim ise, \( |BC| \) kaç birimdir? 📏
Çözüm:
- Tanjant, karşı dik kenarın komşu dik kenara oranıdır.
- \( \angle A \) açısı için, karşı dik kenar \( |BC| \) ve komşu dik kenar \( |AB| \)'dir.
- Verilen \( \tan(\angle A) = \frac{12}{5} \) oranı, \( \frac{|BC|}{|AB|} \) oranına eşittir.
- Yani, \( \frac{|BC|}{|AB|} = \frac{12}{5} \).
- Soruda \( |AB| = 10 \) birim olarak verilmiş.
- \( \frac{|BC|}{10} = \frac{12}{5} \) denklemini kurarız.
- İçler dışlar çarpımı yaparak \( |BC| \) değerini buluruz:
- \( 5 \times |BC| = 12 \times 10 \)
- \( 5 \times |BC| = 120 \)
- \( |BC| = \frac{120}{5} \)
- \( |BC| = 24 \) birim
Örnek 4:
Bir dik üçgende, bir dik açının komşu kenarlarından biri 7 birim ve bu kenarın karşısındaki açının kotanjantı \( \frac{7}{24} \) olarak verilmiştir. Bu dik üçgenin hipotenüs uzunluğu kaç birimdir? 📐
Çözüm:
- Bir dik üçgende kotanjant, komşu dik kenar uzunluğunun karşı dik kenar uzunluğuna oranı ile bulunur.
- Soruda bir komşu dik kenarın 7 birim olduğu ve bu kenarın karşısındaki açının kotanjantının \( \frac{7}{24} \) olduğu belirtiliyor.
- Kotanjant değeri = (Komşu dik kenar) / (Karşı dik kenar)
- \( \frac{7}{24} = \frac{7}{\text{Karşı dik kenar}} \)
- Bu eşitlikten, karşı dik kenarın uzunluğu 24 birimdir.
- Şimdi dik kenarları bilinen bir dik üçgenin hipotenüsünü bulmak için Pisagor teoremini kullanabiliriz: \( a^2 + b^2 = c^2 \), burada \( a \) ve \( b \) dik kenarlar, \( c \) ise hipotenüstür.
- \( 7^2 + 24^2 = c^2 \)
- \( 49 + 576 = c^2 \)
- \( 625 = c^2 \)
- \( c = \sqrt{625} \)
- \( c = 25 \) birim
Örnek 5:
Bir inşaat mühendisi, eğimi \( \frac{3}{4} \) olan bir rampanın tasarımını yapmaktadır. Bu rampa, yer seviyesinden belirli bir yüksekliğe çıkmaktadır. Eğer rampanın yatayda kapladığı mesafe 12 metre ise, rampanın eğim açısının tanjantı ile sinüsünün toplamı kaçtır? 🏗️
Çözüm:
- Rampanın eğimi, tanjant değeri ile ifade edilir. Yani, \( \tan(\theta) = \frac{3}{4} \), burada \( \theta \) rampanın eğim açısıdır.
- Eğim \( \frac{\text{dikey yükseklik}}{\text{yatay mesafe}} \) olarak tanımlanır.
- Bize yatay mesafenin 12 metre olduğu verilmiş.
- \( \tan(\theta) = \frac{\text{dikey yükseklik}}{12} = \frac{3}{4} \)
- Dikey yüksekliği bulmak için:
- \( 4 \times \text{dikey yükseklik} = 3 \times 12 \)
- \( 4 \times \text{dikey yükseklik} = 36 \)
- \( \text{Dikey yükseklik} = \frac{36}{4} = 9 \) metre
- Şimdi bir dik üçgenimiz var: yatay kenar 12 m, dikey kenar 9 m. Hipotenüsü (rampanın uzunluğunu) Pisagor teoremi ile bulalım:
- \( 12^2 + 9^2 = \text{hipotenüs}^2 \)
- \( 144 + 81 = \text{hipotenüs}^2 \)
- \( 225 = \text{hipotenüs}^2 \)
- \( \text{Hipotenüs} = \sqrt{225} = 15 \) metre
- Eğim açısının sinüsünü bulalım: \( \sin(\theta) = \frac{\text{dikey yükseklik}}{\text{hipotenüs}} = \frac{9}{15} = \frac{3}{5} \)
- Soruda tanjant ile sinüsün toplamı isteniyor:
- \( \tan(\theta) + \sin(\theta) = \frac{3}{4} + \frac{3}{5} \)
- Bu kesirleri toplamak için paydaları eşitleriz (ortak payda 20):
- \( \frac{3 \times 5}{4 \times 5} + \frac{3 \times 4}{5 \times 4} = \frac{15}{20} + \frac{12}{20} = \frac{15+12}{20} = \frac{27}{20} \)
Örnek 6:
Bir bayrak direğinin gölgesi, güneşin ufka göre açısı 30 derece olduğunda 15 metre uzunluğundadır. Bayrak direğinin yüksekliği kaç metredir? ☀️
Çözüm:
- Bu durumu bir dik üçgen olarak düşünebiliriz.
- Bayrak direği dikey kenarı, gölgesi yatay kenarı ve güneş ışınlarının oluşturduğu çizgi hipotenüsü temsil eder.
- Güneşin ufka göre açısı, bayrak direğinin tepesinden gölge ucuna inen ışın ile yer arasındaki açıdır. Bu açı, bayrak direğinin karşısındaki açıdır.
- Soruda verilenler:
- Gölge uzunluğu (yatay kenar) = 15 metre
- Karşıdaki açının tanjantı (eğim açısı) = \( 30^\circ \)
- Tanjant formülünü kullanırız: \( \tan(\text{açı}) = \frac{\text{karşı dik kenar}}{\text{komşu dik kenar}} \)
- \( \tan(30^\circ) = \frac{\text{Bayrak direğinin yüksekliği}}{15} \)
- \( \tan(30^\circ) \) değerinin \( \frac{1}{\sqrt{3}} \) veya \( \frac{\sqrt{3}}{3} \) olduğunu biliyoruz.
- \( \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{\text{Bayrak direğinin yüksekliği}}{15} \)
- Bayrak direğinin yüksekliğini bulmak için denklemi çözeriz:
- \( \text{Bayrak direğinin yüksekliği} = 15 \times \frac{\sqrt{3}}{3} \)
- \( \text{Bayrak direğinin yüksekliği} = 5\sqrt{3} \) metre
Örnek 7:
Bir ABC dik üçgeninde \( \angle C = 90^\circ \), \( |AC| = 6 \) birim ve \( |BC| = 8 \) birimdir. Bu üçgenin kenarlarına dıştan teğet olan bir çemberin yarıçapı \( r \) ise, \( \frac{r}{|AC|} \) oranı kaçtır? (Not: Bu soru, dik üçgenin iç teğet çemberi ile ilgilidir ve yarıçapı \( r = \frac{a+b-c}{2} \) formülü ile bulunur, burada \( a \) ve \( b \) dik kenarlar, \( c \) hipotenüstür.) ⭕
Çözüm:
- Öncelikle hipotenüs \( |AB| \) uzunluğunu Pisagor teoremi ile bulalım:
- \( |AB|^2 = |AC|^2 + |BC|^2 \)
- \( |AB|^2 = 6^2 + 8^2 \)
- \( |AB|^2 = 36 + 64 \)
- \( |AB|^2 = 100 \)
- \( |AB| = \sqrt{100} = 10 \) birim
- Şimdi dik üçgenin iç teğet çemberinin yarıçapını bulmak için verilen formülü kullanalım: \( r = \frac{a+b-c}{2} \), burada \( a = |BC| = 8 \), \( b = |AC| = 6 \) ve \( c = |AB| = 10 \).
- \( r = \frac{8+6-10}{2} \)
- \( r = \frac{14-10}{2} \)
- \( r = \frac{4}{2} \)
- \( r = 2 \) birim
- Soruda \( \frac{r}{|AC|} \) oranı soruluyor.
- \( \frac{r}{|AC|} = \frac{2}{6} \)
- Bu kesri sadeleştirelim: \( \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \)
Örnek 8:
Bir gözlemci, yerden 100 metre yükseklikteki bir kuleden, yere dik duran bir ağaca bakmaktadır. Gözlemcinin bakış açısı ile ağacın en üst noktası arasındaki açı \( 45^\circ \) dir. Eğer gözlemcinin bulunduğu kulenin tabanı ile ağacın tabanı arasındaki yatay mesafe 50 metre ise, ağacın yüksekliği kaç metredir? 🌳
Çözüm:
- Bu problemi iki dik üçgene ayırabiliriz.
- Birinci Dik Üçgen: Gözlemcinin bulunduğu kule ve yer.
- Kulenin yüksekliği = 100 metre (dikey kenar).
- Kulenin tabanı ile ağacın tabanı arasındaki yatay mesafe = 50 metre (yatay kenar).
- Bu üçgende, gözlemcinin bakış açısı ile kulenin tabanı arasındaki açı \( \alpha \) olsun.
- \( \tan(\alpha) = \frac{\text{Kulenin yüksekliği}}{\text{Yatay mesafe}} = \frac{100}{50} = 2 \)
- İkinci Dik Üçgen: Gözlemcinin bakış açısı, ağacın tepesi ve gözlemcinin bulunduğu seviyedeki yatay çizgi.
- Bu üçgende, gözlemcinin bakış açısı ile ağacın en üst noktası arasındaki açı \( 45^\circ \) olarak verilmiş.
- Bu açının karşısındaki dik kenar, ağacın yerden yüksekliği ile gözlemcinin bulunduğu kulenin yüksekliği arasındaki farktır.
- Bu açının komşu dik kenarı ise kulenin tabanı ile ağacın tabanı arasındaki yatay mesafedir, yani 50 metredir.
- \( \tan(45^\circ) = \frac{\text{Ağacın yüksekliği} - \text{Kulenin yüksekliği}}{\text{Yatay mesafe}} \)
- \( \tan(45^\circ) = 1 \) olduğunu biliyoruz.
- \( 1 = \frac{\text{Ağacın yüksekliği} - 100}{50} \)
- Denklemi çözersek:
- \( 50 \times 1 = \text{Ağacın yüksekliği} - 100 \)
- \( 50 = \text{Ağacın yüksekliği} - 100 \)
- \( \text{Ağacın yüksekliği} = 50 + 100 \)
- \( \text{Ağacın yüksekliği} = 150 \) metre
Örnek 9:
Bir fotoğrafçı, bir binanın tepesinden, binanın önündeki bir arabaya bakmaktadır. Fotoğrafçının göz seviyesi binanın tepesinden 1.5 metre aşağıdadır. Arabanın fotoğrafçıya olan yatay mesafesi 60 metredir. Fotoğrafçı, arabaya \( 30^\circ \) aşağıya doğru bakıyorsa, binanın yüksekliği kaç metredir? 🚗
Çözüm:
- Bu durumu bir dik üçgen olarak modelleyebiliriz.
- Fotoğrafçının göz seviyesinden arabaya olan bakış açısı, bir eğim oluşturur.
- Yatay mesafe (arabaya olan uzaklık) = 60 metre.
- Aşağıya doğru bakış açısı = \( 30^\circ \).
- Bu \( 30^\circ \) açının karşısındaki dik kenar, fotoğrafçının göz seviyesinden arabanın seviyesine olan dikey mesafeyi temsil eder.
- Tanjant formülünü kullanırız: \( \tan(\text{açı}) = \frac{\text{karşı dik kenar}}{\text{komşu dik kenar}} \)
- \( \tan(30^\circ) = \frac{\text{Göz seviyesinden araba seviyesine dikey mesafe}}{60} \)
- \( \tan(30^\circ) \) değerinin \( \frac{1}{\sqrt{3}} \) veya \( \frac{\sqrt{3}}{3} \) olduğunu biliyoruz.
- \( \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{\text{Göz seviyesinden araba seviyesine dikey mesafe}}{60} \)
- Göz seviyesinden araba seviyesine dikey mesafeyi bulalım:
- Göz seviyesinden araba seviyesine dikey mesafe = \( 60 \times \frac{\sqrt{3}}{3} = 20\sqrt{3} \) metre
- Şimdi binanın toplam yüksekliğini hesaplayalım. Bina yüksekliği = (Göz seviyesinden araba seviyesine dikey mesafe) + (Fotoğrafçının göz seviyesinin binanın tepesinden aşağıda olduğu mesafe).
- Binanın yüksekliği = \( 20\sqrt{3} + 1.5 \) metre.
Örnek 10:
Bir ABC dik üçgeninde \( \angle C = 90^\circ \). \( \sin(\angle A) = \frac{3}{5} \) olarak verilmiştir. Eğer \( |AB| = 20 \) birim ise, \( |BC| \times |AC| \) çarpımı kaçtır? ✖️
Çözüm:
- \( \sin(\angle A) = \frac{\text{Karşı dik kenar}}{\text{Hipotenüs}} \) formülünü biliyoruz.
- Burada \( \angle A \) açısının karşısındaki dik kenar \( |BC| \) ve hipotenüs \( |AB| \)'dir.
- Verilenler: \( \sin(\angle A) = \frac{3}{5} \) ve \( |AB| = 20 \).
- \( \frac{|BC|}{|AB|} = \frac{3}{5} \)
- \( \frac{|BC|}{20} = \frac{3}{5} \)
- \( |BC| \) değerini bulalım:
- \( 5 \times |BC| = 3 \times 20 \)
- \( 5 \times |BC| = 60 \)
- \( |BC| = \frac{60}{5} = 12 \) birim
- Şimdi \( |AC| \) kenarını bulmak için Pisagor teoremini kullanabiliriz: \( |AC|^2 + |BC|^2 = |AB|^2 \).
- \( |AC|^2 + 12^2 = 20^2 \)
- \( |AC|^2 + 144 = 400 \)
- \( |AC|^2 = 400 - 144 \)
- \( |AC|^2 = 256 \)
- \( |AC| = \sqrt{256} = 16 \) birim
- Soruda \( |BC| \times |AC| \) çarpımı soruluyor.
- \( |BC| \times |AC| = 12 \times 16 \)
- \( 12 \times 16 = 192 \)
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/10-sinif-matematik-dik-ucgende-trigonometrik-acilar/sorular